函数的模型及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的模型及应用”专题，依据高考评价体系梳理了一次、二次、指数、对数、幂函数及“对勾”函数模型的构建与应用，通过考点清单明确“已知模型求参数”“构造模型解决实际问题”等高频题型，对接高考对数学建模和应用能力的考查要求。 课件亮点在于“知识点梳理+真题变式+解题技巧”的系统备考策略，如以典例1还款比例问题展示指数模型参数求解，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维进行逻辑推理的素养。特设“即练即清”和“易错点分析”，通过2024北京卷生物丰富度指数等真题变式训练，帮助学生掌握分段函数构建等解题技巧，教师可据此实施针对性复习，提升学生高考冲刺效率。

2.8 函数的模型及应用 返回目录 知识清单 知识点　函数模型 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0) “对勾”函数模型 y=x+ (a>0) 返回目录 2.指数、对数、幂函数模型性质比较 性质 函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴平行 随n值 变化而 各有不同 函数值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 返回目录 提醒　“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量 越来越大,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. ( ) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. ( ) (3)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售后因库存积压降价,若按九折出售, 则每件还能获利. ( )     ✕         ✕         ✕     返回目录 2.有一组实验数据如表所示, x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 现有函数模型:①y= ,②y= ×2x,③y=log2x,④y=2x-3.则体现这组数据的最佳函数模型 是______. 　②     返回目录 3.(易错题)某商品在最近30天内的单价f(t)(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+ 10(0<t≤30,t∈N),销售量g(t)(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系是g(t)=-t+35(0<t≤30, t∈N),则在最近30天内,这种商品的日销售金额最高为___________元.     506     返回目录 考点清单 考点　函数模型 角度1　已知函数模型的实际问题 典例1　小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军,一直以 来,融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据,建立了小微企 业实际还款比例P与小微企业的年收入x(单位:万元)的关系为P= (k∈R).已知 小微企业的年收入为80万元时,其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%, 则小微企业的年收入约为(参考数据:ln 3≈1.098 6,ln 2≈0.693 1)( ) A.46.49万元　　    B.53.56万元 C.64.43万元　　    D.71.12万元     A     返回目录 解析　由题意知50%= ,化简得e-0.968+80k=1, 故-0.968+80k=0,解得k=0.012 1. 则当P=40%时,40%= ,化简得e-0.968+0.012 1x= ,两边同时取对数,得-0.968+0.012 1x =ln 2-ln 3≈0.693 1-1.098 6=-0.405 5,得x≈46.49,故当实际还款比例为40%时,小微企业的 年收入约为46.49万元.故选A. 返回目录 解题技巧　已知函数模型解决实际问题的关键 1.认清所给函数模型,如需选择,则根据题中信息确定函数的有关性质,进而选择函数模 型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知条件利用待定系数法确定模型中的系数. 3.利用函数模型求解实际问题. 返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(2024北京,7,4分)生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价 指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水 质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物 丰富度指数由2.1提高到3.15,则( ) A.3N2=2N1　　  B.2N2=3N1 C. = 　　    D. =      D     返回目录 解析　根据题意,2.1= ①,3.15= ②, 得 = = , ∴3ln N2=2ln N1,∴ln  =ln  , ∴ = ,故选D. 返回目录 角度2　构造函数模型的实际问题 典例2　某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力,设计 了一种活性炭污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0(单位:mg/L),测得污水通过 长度为l(单位:m)的净化装置后污染物的含量W如下表: l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数 模型是 ( ) A.W=W0+0.5l　　    B.W=W0·log0.5(l+1) C.W=0.5W0l　　     D.W=W0·(0.5)l     D     返回目录 解析　当l=0时,W=W0,排除B,C;当l=1时,W=0.5W0,排除A,故选D. 解题技巧　解函数应用问题的步骤 1.审题:弄清题意,识别条件与结论,弄清数量关系,初步选择数学模型; 2.建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用已有知识建立相 应的数学模型; 3.解模:求解数学模型,得出结论; 4.还原:将数学问题还原为实际问题. 返回目录 变式训练 2.(情境模型变式)2025年世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体 育盛会,于8月7日至8月17日在中国四川成都举行,是中国大陆第一次承办的非奥项目 国际综合性赛事.据调查,国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物,需要固定 投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出,若以80元的单价出售,可售出15万件,且 每降价1元,销量增加5 000件.若购进该产品数量不超过30万件,则经销商按照每件30元 成本收费;若购进30万件以上,则直接与玩具公司合作,以全新方式进行销售,此时利润 W(x)(万元)与销量x(万件)的关系为W(x)=-x- +1 000. (1)当购进产品数量为10万件时,利润是多少?(利润=销售收入-成本) (2)写出利润W(x)(万元)关于购进产品数量x(万件)的函数解析式; 返回目录 (3)购进并销售产品多少万件时,利润最大?此时利润是多少? 解析    (1)(80-30)×10-300=200(万元).所以当购进产品数量为10万件时,利润是200万元. (2)当0<x≤15时,W(x)=(80-30)x-300=50x-300; 当15<x≤30时,不妨设降价t元, 则15+0.5t=x,得到t=2x-30, 所以W(x)=[80-(2x-30)]x-30x-300=-2x2+80x-300; 当x>30时,W(x)=-x- +1 000, 返回目录 所以W(x)=  (3)由(2)知,当0<x≤15时,W(x)=50x-300, 当x=15时,利润最大,此时利润是450万元; 当15<x≤30时,W(x)=-2x2+80x-300=-2(x-20)2+500,当x=20时,利润最大,此时利润是500万 元; 当x>30时,W(x)=-x- +1 000=- +1 010 返回目录 ≤-2 +1 010=910, 当且仅当x+10= ,即x=40时,利润最大,此时利润是910万元. 因为910>500>450,所以当购进并销售产品40万件时,利润最大,此时利润是910万元. 返回目录 $