第4节函数的奇偶性与周期性课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1. 了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2. 会依据函数的性质进行简单的应用. 目录/ CONTENTS 考点一 函数的周期性 01 考点二 函数的奇偶性 02 提能点 函数奇偶性的综合应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 函数的周期性 目 录 1. 周期函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零 常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ⁠ ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的 周期. 2. 最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ⁠ 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. f（x＋T）＝f （x）　 最小　 高中总复习·数学 目 录 结论：对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝ ，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－ ，则T＝2a（a＞0）. 高中总复习·数学 目 录 （1）（2025·重庆一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f （x）－2，则下列是周期函数的是（　D　） A. y＝f（x）－x B. y＝f（x）＋x C. y＝f（x）－2x D. y＝f（x）＋2x 解析： 依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2， 所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期 为1的周期函数. D 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且当x∈[0，1]时，f （x）＝ ，则f（23）＝（　B　） A. －1 B. － C. 0 D. 解析：由f（x＋2）＝－f（x），可得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f （x），所以f（x）是周期为4的周期函数，f（23）＝f（23－4×6）＝f （－1）.因为f（－1＋2）＝－f（－1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝ ，所以f（－1）＝－f（1）＝－ ＝－ ，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数 的周期. 2. 周期性的应用主要有两方面.①求值：借助周期将自变量的值转化为已 知的函数值或转化为解析式已知的区间上，代入求值；②求解析式：求函 数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数的 周期将自变量的值转化到解析式已知的区间上，同时结合函数的奇偶性得 到所求解析式. 高中总复习·数学 目 录 练1 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025） ＝（　　） A. 1 B. C. D. 7 √ 解析： 　因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝ ，所以f （x＋4）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f （2 025）＝f（1）＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 函数的奇偶性 目 录 偶函数 奇函数 前提 定义域关于 ⁠对称 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D， 都有 ∈D 且f（－x）＝ ⁠ ，那么函数f（x） 就叫做偶函数 且f（－x）＝ ⁠ ，那么函数f （x）就叫做奇函数 图象特征 关于 ⁠对称 关于 ⁠对称 原点　 －x　 f （x）　 －f （x）　 y轴　 原点　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f （0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（－x）＝f（｜ x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. 高中总复习·数学 目 录 〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　法一（定义法）　对于A，f（－x）＝ ＝ ≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为 {x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－ x）＝ ＝ ＝－ ＝－f（x），故f（x）是 奇函数.故选B. 高中总复习·数学 目 录 法二（特殊值法）　对于A，f（1）＝ ＝ ，f（－1）＝ ＝ ，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f （x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函 数；对于D，f（π）＝ ＝ ，f（－π）＝ ＝ ，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 高中总复习·数学 目 录 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A， 由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B， y＝ cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定 义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝ sin x＋ 4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算 中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0 （奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒　设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共 定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇 ×偶＝奇. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g （x）≠0，则下列说法正确的是（　D　） A. f（x）＋g（x）为R上的奇函数 B. f（x）－g（x）为R上的偶函数 C. 为R上的偶函数 D. ｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数 D 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－ x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f （x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g （x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N （x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f （x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C， x∈R，g（x）≠0，设M（x）＝ ，M（－x）＝ ＝－ ＝－M（x）≠M（x），故错误；对于D，x∈R，设H（x）＝｜f（x）g（x）｜，H（－x）＝｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜f（x）g（x）｜＝H（x），所以H（x）为偶函数，故正确. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕函数f（x）＝ 为 函数.（填 “奇”或“偶”） 偶 解析：法一（图象法）　画出函数f（x）＝ 的图象如图所示，图象关于y轴对称，故 f（x）为偶函数. 高中总复习·数学 目 录 法二（定义法）　易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称， 当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）； 当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 函数奇偶性的综合应用 目 录 角度1　求值（解析式） （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且 周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－ ）＝ （　A　） A. － B. － C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析： 法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当 x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝ 1＋2x，所以f（－ ）＝1－ ＝－ .故选A. 法二（优解）　f（－ ）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝ － . 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x ＋1，则函数f（x）的解析式为 ⁠. 解析：当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋ 1，因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f （x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，综上，函 数f（x）的解析式为f（x）＝ f（x）＝ 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值 求解. 2. 求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性 求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式 （组），从而得到f（x）的解析式. 高中总复习·数学 目 录 角度2　解不等式 已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等 式xf（x－2）＞0的解集为（　　） A. （1，3） B. （3，＋∞） C. （－3，－1）∪（3，＋∞） D. （0，1）∪（3，＋∞） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上 单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－ 2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以 x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜ 0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所 以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法步骤 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a） ln 为偶函数，则a＝（　B　） A. －1 B. 0 C. D. 1 B 高中总复习·数学 目 录 解析： 法一　要使函数f（x）有意义，必须满足 ＞0，解得x＜－ 或x＞ .因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－ ）∪ （ ，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln ＝（x＋ a）ln ，则（x－a）ln ＝（x＋a）ln 对任意x∈（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 高中总复习·数学 目 录 法二　因为f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a ＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·陕西西安质检）已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x≥0 时，f（x）＝log2（x＋3）＋a，则f（－3）＝ ，当x＜0时，f （x）＝ ⁠. －1 log2 解析：由题意，知f（0）＝log23＋a＝0.解得a＝－log23.所以f（x）＝ log2（x＋3）－log23（x≥0）.所以f（3）＝log26－log23＝log22＝1，所 以f（－3）＝－f（3）＝－1.当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－log2 （－x＋3）＋log23＝log2 . 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的 值是（　　） A. － B. C. D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝ ，∴a＋b＝ . 高中总复习·数学 目 录 2. 下列函数中为偶函数的是（　　） A. y＝｜ln x｜ B. y＝e－x C. y＝x sin x D. y＝x cos x √ 解析： 　A项，函数定义域为x∈（0，＋∞），不关于原点对称，不可 能为偶函数；B项，由e－（－x）＝ex≠e－x，故y＝e－x不为偶函数；C项， （－x） sin （－x）＝x sin x，且定义域为R，故y＝x sin x为偶函数；D 项，（－x） cos （－x）＝－x cos x，且定义域为R，故y＝x cos x为奇函 数.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2， 则f（2 025）＝（　　） A. 2 B. 0 C. －2 D. －4 √ 解析： 　因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f （x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－ 1）＝－2，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·安徽阜阳模拟）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当 x≥0时，f（x）＝2x＋x－1，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A. 2－x－x－1 B. 2－x＋x＋1 C. －2－x－x－1 D. －2－x＋x＋1 √ 解析： 　当x＜0时，－x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f （－x）＝－2－x＋x＋1，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 设f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则使f （x）＞0的x的取值范围是（　　） A. {x｜x＞1} B. {x｜－1＜x＜0} C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜1＜x＜0或x＞1} √ 解析： 　∵当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1单调递 增，又∵f（x）为偶函数，故可以作出f（x）的图象如图 所示.由图象可知，若f（x）＞0，则x＜－1或x＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2] 时，f（x）＝2x－2，则（　　） A. f（2 026）＝2 B. f（x）的值域为[－1，2] C. f（x）在[4，6]上单调递减 D. f（x）在[－6，6]上有8个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当 x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值 域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1， 2]，且f（x）在[4，6]上单调递增，所以B正确，C错误；令f（x）＝2x －2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所 以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6] 上有6个零点，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函 数，则（　　） A. f（x－1）为奇函数 B. f（x）为周期函数 C. f（x＋3）为奇函数 D. f（x＋2）为偶函数 √ √ √ 解析： 　由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f （x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋ 1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－ 1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝ f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知函数f ＝2x2＋ax＋2，若f 是偶函数，则a＝ ⁠ ⁠. 解析：因为f 是偶函数，所以f ＝f ，所以 2 ＋a ＋2＝2 ＋a ＋2，即8x＝－2ax， 解得a＝－4. － 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋ ＋2且f（2 026）＝16，则f（－2 026）＝ ⁠. 解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋ ，则g（x）的定义域为{x｜ x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋ ＝－ax3－ ＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝ 0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上 式，可得f（－2 026）＝－12. －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（2026·广东茂名模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且 对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x －x2. （1）求证：f（x）是周期函数； 解： 证明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2） ＝f（x）.∴f（x）是周期为4的周期函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式. 解： 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f（－x）＝2（－ x）－（－x）2＝－2x－x2. 又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.∴f（x）＝x2 ＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－ 4）. 又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2 （x－4）＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 设函数f（x）＝ ，则下列函数为奇函数的是（　　） A. f（x－1）－1 B. f（x－1）＋1 C. f（x＋1）－1 D. f（x＋1）＋1 √ 解析： 　由题意可得f（x）＝ ＝－1＋ .对于A，f（x－1）－1＝ －2不是奇函数；对于B，f（x－1）＋1＝ 是奇函数；对于C，f（x＋ 1）－1＝ －2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f（x＋ 1）＋1＝ ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝ 0，则（　　） A. f（3）＝0 B. f（3）＝f（5） C. f（x＋3）＝f（x－1） D. f（x＋2）＋f（x＋1）＝1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－ x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f （x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f （x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝ －f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3 －4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时 根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等 又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2） ＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f （x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为 ⁠. 解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是 奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝ 3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f （x）＝ex＋2e－x≥2 ＝2 ，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ ln 2 时等号成立，故函数f（x）的最小值为2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）函数f（x）的定义域为D＝{x｜x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）. （1）求f（1）的值； 解： 因为对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）， 所以令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论； 解： f（x）为偶函数.证明如下： 令x1＝x2＝－1，有f（1）＝f（－1）＋f（－1）， 所以f（－1）＝ f（1）＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f（－x）＝f（－1）＋f（x），所以f（－x）＝f（x），所以f（x） 为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）如果f（4）＝1，f（x－1）＜2，且f（x）在（0，＋∞）上单调递 增，求x的取值范围. 解： 依题意有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，由（2）知，f（x） 是偶函数，所以f（x－1）＜2⇔f（｜x－1｜）＜f（16）. 又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以0＜｜x－1｜＜16，解得－15 ＜x＜17且x≠1. 所以x的取值范围是{x｜－15＜x＜17且x≠1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $