第二节第4课时函数性质的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

第二节 第二章　函数与基本初等函数 函数的基本性质 第4课时　函数性质的综合应用 第二节 考点一 函数单调性与奇偶性的应用 解析 (-∞,1) 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小. (2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去“f”变成常规不等式,转化为x1<x2(或x1>x2)求解. 【训练1】　已知奇函数f(x)在R上单调递减,若f(m)+f(m-2)<f(0),则m的取值范围为(　　) A. B.(-∞,1) C. D.(1,+∞) 因为奇函数f(x)在R上有定义,所以f(0)=0,所以f(m-2)<-f(m)=f(-m),所以m-2>-m,解得m>1.所以m的取值范围为(1,+∞).故选D. 解析 【例2】　(1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f=(　　) A.- B.- C. D. 考点二 函数奇偶性与周期性的应用 解析 (2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x-,则f(20+log225)=(　　) A. B.- C. D. 解析 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 【训练2】　已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+3)+f(-x+1)=0,且f(1)=3,则f(2 025)+f(2 026)=____. 因为f(x+3)+f(-x+1)=0,且函数f(x)为奇函数,所以f(x+3)=-f(-x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x-1+1)=f(x+3+1)=f(x+4),所以f(x)的周期T=4,所以f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2).因为f(x+3)+f(-x+1)=0,所以f(2)+f(2)=0,所以f(2)=0,则f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)=3. 解析 3 【例3】　已知函数f(x)满足:①定义域为R,②f(x+1)为偶函数,③f(x+2)为奇函数,④对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有>0,则f,f,f的大小关系是(　　) A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f 考点三 函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用 解析 所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在一个周期内的草图如图所示,又f=f=f=f= f,f=f=f, 所以f<f<f,即:f<f <f,故选C. 解析 利用奇偶性及其周期性将自变量值化为同一单调区间,然后利用单调性比较大小. 解析 解析 1.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B. -1 C.1 D. 2 由题意可得f(x)的定义域为{x|x≠0}且a≠0.因为f(x)=为偶函数,则f(x)-f(-x)=-==0,又因为x≠0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D. 解析 解析 3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 因为f(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2).又因为f(2x+1)为奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),所以f(1)=-f(1),可得f(1)=0,所以f(-1)=-f(3)=-f(1)= 0.故B正确. 解析 当x>0时,f(x)=1-ex,-x<0,f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);当x<0时,f(x)=e-x-1,-x>0,f(-x)=1-e-x=-f(x);当x=0时,f(x)=0,因此函数f(x)为奇函数,函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在R上单调递减,则f(2x)+f(x-3)>0 ⇔f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),于是2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1). 【例1】　已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0的解集是_____________. 由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立,于是f=f=f= 5-2×=-.故选A. 因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是一个周期为4的周期函数.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(20+log225)=f(log225-4)=f= f.因为0=log21<log2<log24=2,所以-2<-log2<0,所以f=-=-=.所以f(20+log225)=.故选A. 因为f(x+1)在R上为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)关于x=1对称.因为f(x+2)在R上为奇函数,所以f(x+2)+f(-x+2)=0,所以f(x)关于(2,0)对称,且f(2)=0,因为f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)=f(-x+2)(将上式中的x换成x-1)　①,又因为f(x+2)+f(-x+2)=0,所以f(-x+2)=-f(x+2)　②,所以由①②得:f(x)=-f(x+2)　③,所以由③得:f(x+2)=-f(x+4)　④(将③中的x换成x+2),所以由③④得:f(x)=f(x+4),所以f(x)的一个周期为T=4,且f(0)=0,f(x)关于(0,0)对称,又因为对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0, 【训练3】　定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x+2)为奇函数,已知当0≤x≤1时,f(x)=ex-1 ,则下列结论正确的是(　　) A.f(x+2)=f(x) B.f(x)在区间[9,11]上单调递增 C.f<f D.f(i)=e-1 由f(x+2)为奇函数有:f(-x+2)=-f(x+2),即f(2-x)+f(2+x)=0,又f(1+x)=f(1-x),所以f(2+x)=f(-x),所以f(2-x)+f(-x)=0,即f(2+x)+f(x)=0,所以f(x+4)+f(x+2)= 0,所以f(x+4)=f(x),故A错误;由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的图象关于x=1对称,又f(2-x)+f(2+x)=0,所以f(x)的图象关于(2,0)对称,当0≤x≤1时,f(x)=ex-1,作出函数f(x)的图象:由图可知f(x)在(1,3)单调递减,又f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(x)=f(x-2×4)=f(x-8),所以当9≤x≤11, 1≤x-8≤3,即f(x)在[9,11]的图象与[1,3]的图象一致,所以f(x)在[9,11]上 单调递减,故B错误;由f=f=f=f,又1<<<3,f(x)在(1,3)单调递减,所以f=f>f,故C错误;由于f(1)=e-1,f(2)=0,f(3)= f(1+2)=-f(2-1)=-f(1)=1-e,f(4)=f(0)=e0-1=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,且f(x)是以4为周期的 周期函数,所以=506[f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)]+f(1)+f(2)=506×0+f(1)+f(2)=e-1,故D正确, 故选D. 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y),f(1)=1,则f(k)=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).故f(x+2)=f(x+1)-f(x)　①,f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)　②.①+②,得f(x+3)=-f(x),所以f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2.所以f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+ f(21)+f(22)=3×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3.故选A. $