第7节三角函数图象与性质的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

第7节　三角函数图象与性质的综合应用 课标要求 　　会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画 事物周期变化的数学模型. 目录/ CONTENTS 提能点一 三角函数图象与性质的综合应用 01 提能点二 三角函数模型的应用 02 课时跟踪训练 03 01 PART 提能点一 三角函数图象与性 质的综合应用 目 录 （2025·天津高考8题）f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜ π）在［－ ， ］上单调递增，且x＝ 为f（x）图象的一条对称轴， （ ，0）是f（x）图象的一个对称中心，当x∈［0， ］时，f（x）的 最小值为（　　） A. － B. － C. －1 D. 0 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x）在 上单调递增且x＝ 为f（x）图象的 一条对称轴，所以 × ≥ －（ － ），f（ ）＝ sin （ ω＋φ）＝ 1，得0＜ω≤2，且 ω＋φ＝ ＋2k1π（k1∈Z）①.因为（ ，0）是f （x）图象的一个对称中心，所以f（ ）＝ sin （ ω＋φ）＝0，得 ω＋φ ＝k2π（ k2∈Z）②，由①②得ω＝－2＋4（ k2－2k1）（ k1，k2∈Z），结合 0＜ω≤2，得ω＝2，则φ＝ ＋2k1π（ k1∈Z），又－π＜φ＜π，所以φ＝ ，故f（x）＝ sin （ 2x＋ ）.当x∈ 时，2x＋ ∈ ，所 以f（x）的最小值为f（ ）＝ sin ＝－ ，故选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 研究y＝A sin （ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元 法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. 2. 与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）常通过函数与方程思想转 化为图象交点问题，再借助图象分析. 高中总复习·数学 目 录 练1 已知关于x的方程2 sin 2x－ sin 2x＋m－1＝0在（ ，π）上有两个 不同的实数根，则m的取值范围是 ⁠. 解析：方程2 sin 2x－ sin 2x＋m－1＝0可转 化为m＝1－2 sin 2x＋ sin 2x＝ cos 2x＋ sin 2x＝2 sin （2x＋ ），x∈（ ，π）.设2x＋ ＝t，则t∈（ ， ），所以题目条件可转化为 ＝ sin t，t∈（ ， ）有两个不同 的实数根.即直线y＝ 和函数y＝ sin t，t∈（ ， ）的图象有两个不同的交点，作出y＝ ，y＝ sin t的图象，如图中实线部分所示.由图象观察知， 的取值范围是（－1，－ ），故m的取值范围是（－2，－1）. （－2，－1） 高中总复习·数学 目 录 02 PART 提能点二 三角函数模型的应用 目 录 〔多选〕如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米， 已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中 点P0）开始计时，则（　　） A. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析 式为h＝4 cos （ t＋ ）＋2 B. 点P第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式 为h＝A sin （ωt＋φ）＋B（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ），由题意得 解得 故h＝4 sin （ t－ ）＋2＝－4 cos （ t＋ ）＋2，故A错误；对于B，令h＝6， 即h＝4 sin （ t－ ）＋2＝6，解得t＝20，故B正确；对于C，令t＝155，代入h＝4 sin （ t－ ）＋2，解得h＝2，故C正确；对于D，令t＝50，代入h＝4 sin （ t－ ）＋2，解得h＝－2，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 三角函数模型的应用 （1）已知函数模型求解数学问题； （2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数 的有关知识解决问题. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y＝ sin （ ωt＋ ）（ω ＞0），其中t表示振动的时间，y表示振动的位移，当t∈[0，2]时，该振 子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该 振子离平衡位置的距离最远的次数为（　D　） A. 3 B. 2 C. 5 D. 5或6 解析： 根据题意，画出草图，由 图可知2∈[t1，t2），当t∈[0，2] 时，该振子离平衡位置的距离最远的 次数为5或6，故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个 月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间 的函数关系为 ⁠. y＝ sin （ x－ ）＋6（答案不唯一） 高中总复习·数学 目 录 解析： 设y＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0），由题意得A＝ 1，B＝6，T＝4，因为T＝ ，所以ω＝ ，所以y＝ sin （ x＋φ）＋6. 因为当x＝1时，y＝6，所以6＝ sin （ ＋φ）＋6，结合表中数据得 ＋φ ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－ ，所以y＝ sin （ x－ ）＋6. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：50分钟，满分：60分） 目 录 1. （15分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝ cos （2x＋φ） （0≤φ＜π），f（0）＝ . （1）求φ； 解： 因为f（0）＝ cos φ＝ ，且0≤φ＜π，所以φ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－ ），求g（x）的值域和单调区间. 解： g（x）＝f（x）＋f（x－ ）＝ cos （2x＋ ）＋ cos 2x＝ cos 2x cos － sin 2x sin ＋ cos 2x＝ cos 2x－ sin 2x＝ （ cos 2x － sin 2x）＝ cos （2x＋ ）， 故函数g（x）的值域为[－ ， ]. 令2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ－ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）（2026·四川绵阳模拟）已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω ＞0，｜φ｜＜ ）的最小正周期为 ，且f（ ）＝1. （1）求函数f（x）的解析式； 解： 因为T＝ ＝ ，且ω＞0，解得ω＝ . 因为f（ ）＝tan（ ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z， 解得φ＝ ＋kπ，k∈Z，且｜φ｜＜ ，可得k＝0，φ＝ ，所以f（x）＝ tan（ x＋ ）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）函数y＝g（x）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移λ（λ＞ 0）个单位长度得到的，若g（ ）＝－f（0），求λ的最小值. 解： 由题意可知g（x）＝tan（ x＋ λ＋ ）， 因为－f（0）＝－tan ＝tan（－ ），由g（ ）＝－f（0）， 即tan（ λ＋ ）＝tan（－ ），可知 λ＋ ＝－ ＋kπ，k∈Z，解得λ ＝－ ＋ ，k∈Z，且λ＞0，所以λ的最小值为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2026·安徽合肥模拟预测）某商场零食 区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利 用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB＝∠COA＝ ， OC＝10 米，BC＝10米，区域OBC为三角形，区 域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD＝ . （1）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解： 因为OC＝10 ，BC＝10，∠OCB＝ ， 所以∠BOC＝ ，OB＝ ＝20， 则OA＝20，∠BOA＝ － ＝ ， 的长为l＝ ×20＝ ， 所以广告带的总长度为OA＋OC＋BC＋l＝ 米. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示 区的面积S的最大值. 解：如图，连接OF. 设∠FOA＝θ . 因为OF＝20，所以FI＝GH＝20 sin θ，OI＝20 cos θ， 因为∠AOD＝ ，所以OG＝ ＝20 sin θ，所以 GI＝20 cos θ－20 sin θ， 所以S＝（20 cos θ－20 sin θ）·20 sin θ 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 ＝400 sin θ cos θ－400 sin 2θ ＝200 ＝200 ， 因为2θ＋ ∈ ，当2θ＋ ＝ ，即θ＝ 时取得 最大值. 所以S≤200（2－ ）＝400－200 ， 所以促销展示区的面积S的最大值为（400－200 ）平方米. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）（2026·山东济宁质检）摩天轮是一种大型 转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢 地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮 最高点距离地面的高度为100 m，转盘直径为90 m，均 匀设置了标号为1～48号的48个座舱.开启后摩天轮按照 逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要24 min. （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解： 设H＝A sin （ωt＋φ）＋B（ω＞0，｜φ｜≤ ），则ω＝ ＝ . 由题知 解得 令t＝0，则45 sin φ＋55＝10，可得 sin φ＝－1，φ＝－ . 所以H＝45 sin （ t－ ）＋55＝55－45 cos t， t∈[0，24]. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求 两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求t为何值 时高度差h最大. （参考公式： sin θ－ sin φ＝2 cos sin ， cos θ－ cos φ＝2 sin sin ） 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解： 由题意得，1号与9号座舱的角度差为 .不妨假 设1号座舱出发早于9号座舱， t min时1号与9号的高度分别为H1，H9，则H1＝45 sin （ t－ ）＋55，H9＝45 sin （ t－ － ）＋55＝45 sin （ t－ ）＋55， 所以高度差h＝｜H1－H9｜＝45｜ sin （ t－ ）－ sin（ t－ ）｜. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 由参考公式得，上式＝90｜ cos （ t－ ） sin ｜＝45｜ cos （ t－ ）｜，从而高度差h＝45｜ cos （ t－ ）｜，t∈[0，24]. 当｜ cos （ t－ ）｜＝1，即 t－ ＝kπ，k∈N时，解得t＝8＋ 12k，k∈N. 又t∈[0，24]，所以t＝8 min或t＝20 min时，高度差h取得最大值45 m. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $