函数性质的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

函数性质的综合应用 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出 现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质 结合在一起进行考查. 函数的单调性与奇偶性 设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（－x）＝f （x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f （－3）的大小关系是（　　） A. f（π）＞f（－3）＞f（－2） B. f（π）＞f（－2）＞f（－3） C. f（π）＜f（－3）＜f（－2） D. f（π）＜f（－2）＜f（－3） √ 高中总复习·数学 解析： 　∵函数f（x）的定义域为R且f（－x）＝f（x），∴f（x） 是定义在R上的偶函数，∴f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3），又∵f （x）在[0，＋∞）上单调递增，且2＜3＜π，∴f（2）＜f（3）＜f （π），即f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 高中总复习·数学 规律方法 综合应用奇偶性与单调性的解题技巧 （1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上 的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调 性比较大小； （2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式， 再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2） 求解. 高中总复习·数学 函数的奇偶性与周期性 〔多选〕函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是 偶函数，则（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）是奇函数 C. f（x＋3）是偶函数 D. f（x）＝f（x＋4） √ √ 高中总复习·数学 解析： 　因为f（x＋1）是偶函数，所以f（－x＋1）＝f（x＋1）， 从而f（－x）＝f（x＋2）.因为f（x－1）是偶函数，所以f（－x－1） ＝f（x－1），从而f（－x）＝f（x－2）.所以f（x＋2）＝f（x－ 2），即f（x＋4）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数.因为f （－x－1）＝f（x－1），所以f（－x－1＋4）＝f（x－1＋4），即f （－x＋3）＝f（x＋3），所以f（x＋3）是偶函数. 高中总复习·数学 规律方法 综合应用奇偶性与周期性的解题技巧 （1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期； （2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数 值，直到自变量进入已知解析式的区间内，或已知单调性的区间内求解. 高中总复习·数学 函数的奇偶性与对称性 （1）已知函数f（x）的定义域为R，且y＝f（x＋1）的图象关于点 （－1，0）中心对称.当x＞0时，f（x）＝ ，则f（－2）＝（　C　） A. 1 B. 3 C. －1 D. －3 解析： 因为将y＝f（x＋1）的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝ f（x）的图象且y＝f（x＋1）的图象关于点（－1，0）中心对称，所以y ＝f（x）的图象关于原点中心对称，则y＝f（x）在R上是奇函数 ，所以 f（－2）＝－f（2）＝－ ＝－1. C 高中总复习·数学 （2）〔多选〕已知f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）＋g（1－ x）＝a（a≠0），g（1＋x）＝g（1－x），若f（x＋2）为奇函数，则 （　ACD　） A. g（x）关于直线x＝1对称 B. g（x）为奇函数 C. f（2）＝0 D. f（x）为偶函数 ACD 高中总复习·数学 解析：因为g（x）的定义域为R，且g（1＋x）＝g（1－x），所以g （x）关于直线x＝1对称，故A正确；但不能确定g（x）为奇函数，故B 错误；根据题意，y＝f（x＋2）是定义域为R的奇函数，所以f（x＋2） ＝－f（－x＋2），令x＝0，得f（2）＝0，故C正确；因为f（x）＋g （1－x）＝a，则f（－x）＋g（1＋x）＝a，结合g（1＋x）＝g（1－ x），则f（－x）＋g（1－x）＝a，所以f（x）＝f（－x），即f（x） 为偶函数，故D正确. 高中总复习·数学 规律方法 　　解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的 奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象 变换关系得出函数图象的对称性. 高中总复习·数学 函数的对称性与周期性 〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x ＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝ －1，则（　　） A. b＝－2 B. f（2 025） ＝－1 C. f（x）为偶函数 D. f（x）的图象关于点（1，0）对称 √ √ √ 高中总复习·数学 解析： 　由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1） ＝－f（2x＋ 1），则f（－x＋1） ＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0） 对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对 称，且f（－x＋2）＝f（x＋2），∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4， 于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x ＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，∴f（3）＝f（1）＝0，由x∈[0，1] 时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，又f（0）＋f（3）＝－1， ∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f（2 025）＝f（4×506＋ 1） ＝f（1）＝0，B错误.故选A、C、D. 高中总复习·数学 规律方法 综合应用对称性与周期性的解题技巧 （1）函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象 的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表 明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆； （2）对称性与周期性的关系：①若函数f（x）的图象关于直线x＝a与x ＝b对称，则f（x）的一个周期为2｜b－a｜；②若函数f（x）的图象关 于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则f（x）的一个周期为2｜ b－a｜；③若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，又关于点（b，0） 对称，则f（x）的一个周期为4｜b－a｜. 高中总复习·数学 1. 若定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则不等式f （2x＋1）－f（x－1）＞－3x2－6x的解集为（　　） A. （－∞，－2）∪（0，＋∞） B. （－∞，－1）∪（0，＋∞） C. （－2，0） D. （－1，0） √ 高中总复习·数学 解析： 　由f（2x＋1）－f（x－1）＞－3x2－6x，可得f（2x＋1）＋ （2x＋1）2＞f（x－1）＋（x－1）2.令g（x）＝f（x）＋x2，因为f （x）是偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）也是偶函数， 且在[0，＋∞）上单调递增，从而｜2x＋1｜＞｜x－1｜，解得x＜－2或 x＞0. 高中总复习·数学 2. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－ 1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（　　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 √ 解析： 　因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对 称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x） 的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝ 4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g （－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3. 高中总复习·数学 3. 〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x＋1）＋f （x－1）＝f（x），g（x－3）是偶函数，且f（x）＋g（x－3）＝2， 若g（－3）＝1，则（　　） A. f（1）＝ B. f（x）的图象关于点 对称 C. f（x）＝f（x＋6） D. f（x）为奇函数 √ √ √ 高中总复习·数学 解析： 　由题意知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）＋ g（x－3）＝2，则f（－x）＋g（－x－3）＝2，因为g（x－3）是偶函 数，所以f（－x）＋g（－x－3）＝f（－x）＋g（x－3）＝2＝f（x） ＋g（x－3），所以f（x）＝f（－x），即f（x）为偶函数，令x＝0， 则f（0）＋g（－3）＝2，又g（－3）＝1，所以f（0）＝1，所以f（x） 不可能是奇函数，故D不正确；又f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x），令x ＝0，所以f（1）＋f（－1）＝2f（1）＝f（0）＝1，所以f（1）＝ ，故 A正确； 高中总复习·数学 由f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x），得f（x）＋f（x－2）＝f（x－ 1），两式相加得－f（x＋1）＝f（x－2），所以f（x）＝－f（x＋3）， 又f（x）＝f（－x），所以f（－x）＝－f（x＋3），即f（－x）＋f （x＋3）＝0，所以f（x）的图象关于点 对称，故B正确；由f（x） ＝－f（x＋3）得f（x＋3）＝－f（x），故f（x＋6）＝－f（x＋3）＝ f（x），故C正确. 高中总复习·数学 4. 〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（4 －x）＝f（x），f（0）＝2，且f（x）在[0，2]上单调递减，则 （　　） A. f（1）＝0 B. f（8）＝2 C. f（x）在[6，8]上单调递减 D. f（x）在[0，100]上有50个零点 √ √ √ 高中总复习·数学 解析： 　对于A，因为f（2x＋1）为奇函数，所以当x＝0时，f （2×0＋1）＝0，即f（1）＝0，故A正确；对于B，因为f（2x＋1）为 奇函数，所以f（－2x＋1）＋f（2x＋1）＝0，所以f（－x＋1）＋f（x ＋1）＝0，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，即f（2－x）＝－f （x），因为f（4－x）＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对 称，所以f（x＋4）＝f（－x）＝－f（2＋x）＝－f（2－x）＝f（x）， 所以f（x）是周期为4的周期函数，则f（8）＝f（0）＝2，故B正确； 对于C，因为f（x）在[0，2]上单调递减，所以f（x）在[2，4]上单调 递增，所以f（x）在[6，8]上单调递增，故C错误；对于D，f（x）在 [0，4]上的零点为1和3，所以f（x）在[0，100]上有50个零点，故D 正确. 高中总复习·数学 $