数学（湖北武汉卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意.下列汉服纹样中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是() A C D 2.某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s.小亮爸爸由南往北开车到达该路口， 下面说法正确的是()· A.小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B.小亮爸爸遇到红灯的概率是号 C.小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D.小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是() 。T 18 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知CuC03的溶度积约为0.00000000014，将数据0.00000000014” 用科学记数法可表示为() A.1.4×10-11 B.14×10-11 C.1.4×10-10 D.14×10-10 5.下列运算正确的是() A.2a2b·3ab=6a3b2 B.(a-b)2=a2-b2 C.(ab)2=ab2 D.3a+3b=3ab 6.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线 谱上的两条线段，点E在AB,CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为() B A.80° B.85° C.95° D.90° 7.某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人“虚拟现实设备‘量子通信模 型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品.每款获得的可能性相等，则甲、乙两名 同学获得相同主题的文创产品的概率是() A.号 B. C. D. 8.秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂 物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的 一次函数.表中为两次称重时所记录的一些数据. 秤纽 秤杆 0 秤砣 秤钩 x(厘米) 2 4 y(斤) 1 1.5 则当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为8厘米时，秤钩所挂物重是(）斤. A.2 B.2.5 C.2.75 D.3 9.如图，MN是⊙O的直径，AN=MN,点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点.连接AB,AP,BP.若 MN=2√2，则PA+PB的最小值是() 2/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A A.1 B.V2 C.2 D.2W2 10.我们规定符号(a,b)n的意义为：(a,b)n=a-b·n,其中a,b,n为实数.如：(7,3)5=7-3×5=-8.若 (7,2)2m+1×(13,-4)m-2=9,则n2-4的值为() A.0或-2 B.-2 C.0或-4 D.-3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为 零下173℃的高温超导材料.我们把高于0℃的温度记为正数，温度零下173℃可记为 C. 12.己知点M(3,).N(7,2)在反比例函数y=的图象上，如果y>,那么k的值可能为 (请写 出一个符合条件的k值) 13。已知关于x的分式方程若-2=严有增根，则m的值 14.如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其 挂水杯后的示意图如图2所示，水杯ABCD可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端MN在同一条直线上， 且杯口BC与杯架底端MN的夹角为28°，杯架底端MN与桌面GH之间的距离为1cm,点A到桌面GH的距离 为AF,AF交BC于点E,交MN于点P.若AB=10cm,BC=6cm,则点A到桌面GH的距离AF的长约为 cm.(结果精确到1cm.参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) M G 图1 图2 15.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上，且AC=2CE,连接EB,过点A 作AF⊥EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若AB=2V6,则 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A D 万 E G 线段AE的长等于 线段AG的长等于 16.对于实数a,b,定义一种运算F(a,b),当a=b,则F(a,b)=a=b,当a<b,则F(a,b)=a,当a>b, 则F(a,b)=b.对于函数y=F(x+1,x2-2x+1),下列结论：①点(3,4)在函数图象上：②当函数值为0.25 时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x>-1时，函数有最小值为0：④若直线y=kx+b与函数图象有唯一 的公共点，则k=1,b=-;⑤若直线y=k(x-2)+1与函数图象有三个公共点，则0<k<1.其中正 确的结论是 (填序号)· 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 3(x-1)>2x+1① 17.(8分)解不等式组： 2x+*3≥x-1② ，并求出它的所有整数解的和. 3 18.(8分)如图，在△ADE和△CBF中，AD=CB,AF=CE. D (1)请添加一个条件 ,使△ADE兰△CBF; (2)若△ADE兰△CBF,且LB=70°，∠A=25°，求LDEC的度数， 41/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分)2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目 的互动性.为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查， 要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A.歌舞类，B.语言类（小品、相声），C.魔 术杂技类，D.AI互动类.调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图 七年级学生对节目喜爱人数的扇形统计图 个人数 30 20 20% 10 A B C D 类别 请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ,A类所对应的扇形圆心角的度数是 ； (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）： (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类节目的学生人数. 20.(8分)如图，己知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的圆与边AC相切于点D,且BC=CD, 连接OC,交⊙O于点E,连接BE并延长⊙O,交AC于点F. E D C (I)求证：BC是⊙O的切线： (2)若AC=10,tan-BAC=,求E0的长. 518 耐学科网·学易金卷 www zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 21.(8分)如图，在9×6的网格中，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图. B (I)图1中，点D是边AC与网格线的交点，将点B绕点D旋转180得到点E,画出点E: (2)图2中，将边AC向右平移4个单位得到线段，A'C',画出线段A'C',再画出点B关于直线AC的对称点B'. 22.(10分)学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研 学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题， 材料一：租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型 客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人. 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆：B型客车租车费用为2000元/辆. 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少100m元；租用B型客车，租车费用打七折. 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A,B两种型号客车共 10辆. 任务一：A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的 最少租车费用是多少？ 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(10分)综合与实践： 图1 图2 图3 (1)【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠BCD=120°，点E是对角线AC上一动点，连接BE,将BE绕点E顺时针旋转60°得 到EF,连接BF,AF.则∠BAF的度数为；线段CE与AF的数量关系为_· (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，且CE>AE,连接BE,将BE绕点E顺时针旋转90°得 到EF,连接BF,AF.当CE=BC=2时，求AF的长. (3)【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB=4,∠BCA=30°，E是对角线AC上一动点，连接BE,以BE为边在BE的右边 作Rt△BEF,且∠BEF=90°，∠BFE=30°，当点F到AC的距离为V6时，求出AE的长. 7/8 西学科网·学易金卷 www zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. E\D B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)作直线BC,点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点E,求的最大值及此时点 D的坐标： (3)将抛物线y=-x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y',点P是抛物线y= -x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN,且MNIx轴，MN=2.设点P的横坐标为m,若 线段MN与抛物线y有交点，求m的取值范围. 818 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C A D B B C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．． 12．3（答案不唯一，满足即可） 13．． 14．13 15． (第一空1分，第二空2分) 16．①③． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】解：解不等式得，， ……………………………… 2分 解不等式得，， ……………………………… 4分 这个不等式组的解集是， ………………………………6分 它所有的整数解为5，6， 这个不等式组的所有整数解的和． ………………………………8分 18.（8分） 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：添加一个条件为，……………………………… 2分 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ……………………………… 5分 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴ ……………………………… 8分 19．（8分） 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． ……………………………… 4分 （2）解：D类的人数为， 补全条形图为： ……………………………… 6分 （3）解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． ……………………………… 8分 20．（8分） 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． ……………………………… 4分 （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． ……………………………… 8分 21．（8分） 【详解】（1）解：如图，点E即为所求，    理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分， ∵网格横线互相平行， ∴，即D是中点， ∴D也是中点， ∴B、E关于点D成中心对称； ……………………………… 4分 （2）解：如图，线段，点即为所求，          理由：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，而， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，B关于对称． ……………………………… 8分 22．（10分） 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 ……………………………… 3分 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； ……………………………… 6分 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． ………………………………10分 23．（10分）综合与实践： 【答案】(1)， (2) (3)的长为 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ……………………………… 3分 （2）解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； ……………………………… 6分 （3）解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ……………………………… 8分 ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． ……………………………… 10分 24．（12分） 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ………………………………3分 （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． ……………………………… 8分 （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， ……………………………… 10分 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． ……………………………… 12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；宇体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B[G[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 2[A][BJ[G][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][G][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 11 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 3(x-1)>2x+1① 17.8分)解不等式组： 2x+3≥x-1② ,并求出它的所有整数解的和， 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图七年级学生对节目喜爱人数的扇形统计图 个人数 30 B 20。 20% C 15% D ABCD广类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ :￥苦号阳海☒的到狂鲜安盖用避‘号✉海☒循号明目循艺安熟 (g8)I⑦ (马8)‘07 :丝兰耄易饵年☒马的到碎狂鲜写盖阳避‘易中每☒踞品阳目露号平巢 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) F D B E >D C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y个 C 产 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1.[AIIBIICIIDI 5.1AlIBIIC][D] 9[AIIBIICI[D] 2.IAIIBIICIIDI 6.1AIIBIICIID] 10.A1[B1[C1ID1 3.1AIIBIICIIDI 7.AIIBIICIID] 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 13. 14 16 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 3(x-1)>2x+1① 17.(8分)解不等式组 2≥x-1@ ，并求出它的所有整数解的和. 请在各颗目的答题区域内作答，招出黑色矩形功框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图 七年级学生对节目喜爱人数的扇形统计图 个人数 30 30 A 20 20 20% 15 10 D A B 类别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) R D 21.(8分) D B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) D B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ ◆ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 错误填涂 W1I/1 4保持卡而清洁.不要折叠.不要玉破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.IA1「BIIC1ID1 5.AIIBIICIIDI 9.IAI[BIICIIDI 2.IAJIB][CIID] 6.1AJIBIIC]IDI 10.[A][B]IC]ID] 3.IAIIBIICIIDI 7.JAlIBIICIIDI 4.1AJIBIICIIDI 8.IA]IBIICIID] 笛工柴 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1 12. 13. 14 15 16. 三、解答题（本大题共8小题，满分72分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 3x-1>2x+1① 17. (8分)解不等式组： 2x+32x-1② 18.(8 并求出它的所有整数解的和. 3 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E C D 21.(8分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 0 B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ y不 C 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（    ）． A．小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B．小亮爸爸遇到红灯的概率是 C．小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D．小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 8．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．表中为两次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） 则当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是（   ）斤． A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 10．我们规定符号的意义为：，其中，，为实数．如：．若，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为_________ ． 12．已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 14．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 15．如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 线段的长等于________；线段的长等于________． 16．对于实数，定义一种运算，当，则，当，则 ，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当 时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18．（8分）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 19．（8分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 20．（8分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．（8分）如图，在的网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E； (2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点． 22．（10分）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 23．（10分）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项B：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项C：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（    ）． A．小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B．小亮爸爸遇到红灯的概率是 C．小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D．小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率计算，事件分类，需先明确必然事件、不可能事件、随机事件的概念，再计算各灯亮的概率，逐一判断选项． 【详解】解：∵红绿灯一个周期的总时间为 ∴遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A选项中遇到红灯是随机事件，不是必然事件，故A错误； B选项中遇到红灯的概率是≠，故B错误； C选项中遇到黄灯是随机事件，不是不可能事件，故C错误； D选项中>，即遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，故D正确． 故选：D． 3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边有一个小正方形，则主视图为： 4．溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用单项式乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则、合并同类项法则判断各选项正误． 【详解】解：A. ，运算正确，符合题意； B. ，运算错误，不符合题意； C. ，运算错误，不符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，本选项运算错误，不符合题意． 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：D． 7．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 8．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．表中为两次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） 则当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是（   ）斤． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出与的一次函数解析式，再把代入计算即可求解． 【详解】解：设，把和代入得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤． 9．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 10．我们规定符号的意义为：，其中，，为实数．如：．若，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题目给出的运算规则，先展开两个式子，化简后求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据新定义，可得： ， ， 又∵， ∴， 由平方差公式得， 整理得， 代入得． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数的意义解答．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对． 【详解】解：我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为． 故答案为：． 12．已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 3（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据点 的横坐标大小关系和的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：点 在反比例函数的图象上， 又，且， 在第一象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象经过第一、三象限， 比例系数大于，即， 解得， （答案不唯一）． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 14．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】13 【分析】可证明，解求出的长，则可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中， ∴， ， ∴； 在中，∵ ∴． 根据题意，得， ∴． 15．如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 线段的长等于________；线段的长等于________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形的性质． （Ⅰ）根据正方形的性质得，根据勾股定理求得，即可求得； （Ⅱ）根据垂直的定义和正方形的性质求得，结合三角形的外角求得，利用可证明，有，结合（Ⅰ）可知和，在中根据勾股定理求得即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形的对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （Ⅱ）∵，正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可知，， 在中，， ∴， 故答案为：，． 16．对于实数，定义一种运算，当，则，当，则 ，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当 时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是___________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质．分情况求得关于的函数，再画出图象，再根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：对于函数， 当时，， 整理得，解得或； 当时，， 整理得，解得； 当时，， 整理得，解得或； 综上，， 函数的图象如下图， ①由图象知，点在函数图象上，故①正确； ②由图象知，当函数值为0.25时，自变量的值有三个， 当时，解得， 当时，解得或， ∴当函数值为0.25时，自变量的值有三个，分别为或或，故②错误； ③由图象知，当 时，函数有最小值为0，故③正确； ④观察图象，当时，直线与函数图象有唯一的公共点，此时，，故④错误； ⑤对于直线，当时，， 则直线一定过点，且点在函数的图象上， 若直线与函数图象有三个公共点，则它与有一个交点，与有两个交点， 联立，整理得， ∴， ∴直线与，除时，都有两个交点， 考虑特殊情况，当直线与直线平行时， 直线与函数图象只有两个公共点， 当直线经过点时，恰好有三个公共点， 此时， 解得， 当直线经过点时， 此时， 解得， ∴， 联立，整理得， 解得或， 此时，当时，直线与函数图象只有两个公共点， ∴在或时，直线与函数图象有三个公共点，故⑤错误； 综上，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，11 【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6， 这个不等式组的所有整数解的和． 18．（8分）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 19．（8分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 【答案】(1)100， (2)见解析 (3)280人 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出样本容量．用乘以A类所占的比例，即可求出对应的扇形圆心角． （2）将样本容量减去A、B、C类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； （3）将学生总数800乘以样本中最喜爱“互动类”节目的比例，即可解答． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． （2）解：D类的人数为， 补全条形图为： （3）解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． 20．（8分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 21．（8分）如图，在的网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E； (2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）取格点E，连接，，则，可证四边形是平行四边形，则过中点D，故点B、E关于点D成中心对称，即可求解； （2）先利用平移的性质作出，取格点M，N，连接，，交于即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求，    理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分， ∵网格横线互相平行， ∴，即D是中点， ∴D也是中点， ∴B、E关于点D成中心对称； （2）解：如图，线段，点即为所求，          理由：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，而， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，B关于对称． 【点睛】本题考查了格点作图，平行四边形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例等知识，明确题意，利用网格的特征构造平行四边形，全等三角形是解题的关键． 22．（10分）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 23．（10分）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为 【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解； （2）过作于点，证明，可得，即可解答； （3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； （3）解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学 ·: (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 : : 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 % 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意.下列汉服纹样中，既是轴对称图 形，又是中心对称图形的是() : : 2. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s.小亮爸爸由南往北开车到达该路 口，下面说法正确的是(). : A.小亮爸爸遇到红灯是必然事件 拟 : B.小亮爸爸遇到红灯的概率是号 .: C.小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 : D.小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是() : : O 4.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知CuC03的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014” 试题第1页（共8页） 可学科网·学易金卷做好德：就限彩是” 用科学记数法可表示为() A.1.4×10-11 B.14×10-11 C.1.4×10-1 D.14×10-10 5.下列运算正确的是() A.2a2b·3ab=6a3b2 B.(a-b)2=a2-b2 C.(ab)2=ab2 D.3a+3b=3ab 6.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线 谱上的两条线段，点E在AB,CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为() B A.80° B.85° C.95° D.90° 7.某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信 模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品.每款获得的可能性相等，则甲、乙两 名同学获得相同主题的文创产品的概率是() A B. C. . 8.秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所 挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是 x的一次函数.表中为两次称重时所记录的一些数据， 秤纽 秤杆 0 秤砣 秤钩 x(厘米) v 4 y(斤) 1 1.5 则当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为8厘米时，秤钩所挂物重是()斤. A.2 B.2.5 C.2.75 D.3 9.如图，MN是⊙O的直径，N=二MN,点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点.连接AB,AP,BP.若 MN=2v√2，则PA+PB的最小值是() 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 A.1 B.V2 C.2 D.2V2 10.我们规定符号(a,b)m的意义为：(a,b)m=a-b·n,其中a,b,n为实数.如：(7,3)s=7-3×5=-8.若 (7,2)2m+1×(13,-4)m-2=9,则n2-4的值为（) A.0或-2 B.-2 C.0或-4 D.-3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为 零下173℃的高温超导材料.我们把高于0℃的温度记为正数，温度零下173℃可记为 ℃. 12.已知点M3,y).N(7,y2)在反比例函数y=号的图象上，如果y>y2,那么k的值可能为一（请写 出一个符合条件的k值). 13.已知关于x的分式方程产-2=”有增根，则m的值 14.如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其 挂水杯后的示意图如图2所示，水杯ABCD可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端MN在同一条直线上， 且杯口BC与杯架底端MN的夹角为28°，杯架底端MN与桌面GH之间的距离为1cm,点A到桌面GH的距离 为AF,AF交BC于点E,交MN于点P.若AB=10cm,BC=6cm,则点A到桌面GH的距离AF的长约为 cm.（结果精确到1cm.参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53) M G 图1 图2 15,如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E在AC延长线上，且AC=2CE,连接EB,过点A 作AF L EB,垂足为F,AF与DB延长线交于点G,若AB=2V,则 试题第3页（共8页） D B E G 线段AE的长等于 ;线段AG的长等于」 16.对于实数a,b,定义一种运算F(a,b),当a=b,则F(a,b)=a=b,当a<b,则F(a,b)=a,当a>b, 则F(a,b)=b.对于函数y=F(x+1,x2-2x+1),下列结论：①点(3,4在函数图象上；②当函数值为 % 0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x>-1时，函数有最小值为0：④若直线y=kx+b与函数图象 有唯一的公共点，则k=1,b=-:⑤若直线y=k(x-2)+1与函数图象有三个公共点，则0<k<1.其 扣 中正确的结论是 (填序号). 样 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 游 3(x-1)>2x+1① 17.(8分)解不等式组： 2x+3≥x-1② ,并求出它的所有整数解的和. S 18.(8分)如图，在△ADE和△CBF中，AD=CB,AF=CE D 世 B (1)请添加一个条件 ,使△ADE兰△CBF: (2)若△ADE≌△CBF,且LB=70°，∠A=25°，求LDEC的度数， :0 试题第4页（共8页） : 19.(8分)2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的 互动性.为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要 求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A.歌舞类，B.语言类（小品、相声），C.魔 术杂技类，D.AI互动类.调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 七年级学生对节目喜爱人数的条形统计图 七年级学生对节目喜爱人数的扇形统计图 个人数 30 30 B A 20 20% 15 10 C 15% A B 类别 请你根据以上信息解决下列问题： % (1)本次调查的样本容量为 ,A类所对应的扇形圆心角的度数是 (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）： (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类"节目的学生人数. .: 舒 O 20.(8分)如图，己知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的圆与边AC相切于点D,且BC=CD, 连接0C,交⊙O于点E,连接BE并延长⊙O,交AC于点F. : D (1)求证：BC是⊙O的切线： (2若AC=10,tanzBAC=手求E0的长。 : o 试题第5页（共8页） 学科网·学易金卷做赶德：就限蒙是普 21.(8分)如图，在9×6的网格中，△ABC的三个项点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图. B (1)图1中，点D是边AC与网格线的交点，将点B绕点D旋转180得到点E,画出点E: (2)图2中，将边AC向右平移4个单位得到线段，A'C',画出线段A'C',再画出点B关于直线AC的对称点B'. 22.(10分)学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研 学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一：租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B 型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人. 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆. 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少100m元；租用B型客车，租车费用打七折， 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车：学校参加研学活动师生共有430人，租用A,B两种型号客车 共10辆. 任务一：A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 任务二：求的取值范围： 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为v元，求与之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的 最少租车费用是多少？ 试题第6页（共8页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁普 23.(10分)综合与实践： > 图1 图2 图3 (1)【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠BCD=120°，点E是对角线AC上一动点，连接BE,将BE绕点E顺时针旋转60°得 到EF,连接BF,AF.则∠BAF的度数为_；线段CE与AF的数量关系为· (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，且CE>AE,连接BE,将BE绕点E顺时针旋转90°得 到EF,连接BF,AF.当CE=BC=2时，求AF的长 (3)【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB=4,∠BCA=30°，E是对角线AC上一动点，连接BE,以BE为边在BE的右 边作Rt△BEF,且∠BEF=90°，∠BFE=30°，当点F到AC的距离为V6时，求出AE的长. 试题第7页（共8页） 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. : Y : B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)作直线BC,点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接0D与直线BC交于点B,求的最大值及此时点 % OE D的坐标； 河 (3)将抛物线y=一x2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y',点P是抛物线 y=-x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN,且MNIx轴，MN=2.设点P的横坐标为m, 游 若线段MN与抛物线y有交点，求m的取值范围. 游 S 世 试题第8页（共8页） 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（    ）． A．小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B．小亮爸爸遇到红灯的概率是 C．小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D．小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 8．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．表中为两次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） 则当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是（   ）斤． A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 10．我们规定符号的意义为：，其中，，为实数．如：．若，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为_________ ． 12．已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 14．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 15．如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 线段的长等于________；线段的长等于________． 16．对于实数，定义一种运算，当，则，当，则 ，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当 时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18．（8分）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 19．（8分）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； (2)将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； (3)若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 20．（8分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．（8分）如图，在的网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E； (2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点． 22．（10分）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 23．（10分）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $