第10章分式方程单元检测卷2025-2026学年苏科版八年级数学下册

分式方程单元检测卷 一、单选题 1. 下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3. 分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 4. 已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 5. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 6.若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 二、填空题 9. 关于的分式方程的解为，则的值为_____． 10．对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值_____． 11．若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则______． 12. 若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 13．当_______， 方程 会产生增根． 14. 小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 15. 解下列分式方程： (1) (2) (3)； (4)． 16．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 17．若关于的方程无解，求的值． 18．已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 19．若关于的方程无解，求的值． 20． “鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 21．以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________．，得……① 去括号，得…………………………………② 解得……………………………………………………③ 检验：当时，……………④ 所以，原分式方程的解为…………………………⑤ (1)该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） (2)第①步的横线上，应填写的最简公分母是________；(3)写出原分式方程正确的解答过程； (4)除了上面出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 22．某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 23．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式方程单元检测卷 一、单选题 1. 下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2. 下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 3. 分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 4. 已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 5. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 6.若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 7．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】原方程变形为 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 二、填空题 9. 关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 10．对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 【答案】0 【分析】根据新定义的运算规则，列出关于的分式方程，解分式方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由 得： ， 方程两边同乘得： ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴x的值为0． 11．若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】2 【详解】解：方程，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解， 把代入得：，去分母整理得：，解得：， 经检验是分式方程的解，故答案为：2． 12. 若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 13．当_______， 方程 会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m． 【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得， 化简得， 当，即或时，分式方程有增根， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 或时，方程 会产生增根． 14. 小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 三、解答题 15. 解下列分式方程： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)方程无解 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． （3）解：， 去分母得，， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为； （4）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 16．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 17．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 18．已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算． （1）把代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）先解分式方程可得，然后根据题意可得且，从而可得答案． 【详解】（1）解：当时，原方程即为：， ∴， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ∴， 解得：， 该分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， 的取值范围为：且． 19．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 20． “鹅嘟嘟”是2026年江苏省城市足球联赛吉祥物“苏嘟嘟”家族中代表扬州队的专属形象．甲、乙两人现同时加工“鹅嘟嘟”，乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同．请问甲每小时加工多少件“鹅嘟嘟”？ 【答案】甲每小时加工50件 【分析】设甲每小时加工x件，根据“乙每小时比甲多加工10件，乙加工240件所用时间与甲加工200件所用时间相同”列方程求解． 【详解】解：设甲每小时加工x件， 根据题意得： 解得， 经检验：是原方程的解 答：甲每小时加工50件． 21．以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________．，得……① 去括号，得…………………………………② 解得……………………………………………………③ 检验：当时，……………④ 所以，原分式方程的解为…………………………⑤ (1)该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） (2)第①步的横线上，应填写的最简公分母是________；(3)写出原分式方程正确的解答过程； (4)除了上面出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 【答案】(1)①(2)(3)见解析(4)解分式方程，要注意检验（答案不唯一） 【详解】（1）解：该同学的解法从第①步开始出现错误； （2）解：第①步的横线上，应填写的最简公分母是； （3）解：， 方程两边都乘以，得， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解得，检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （4）解：解分式方程，要注意检验． 22．某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 23．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $