第十章 分式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版八年级下册

第十章 分式·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关即可． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：A. ，不是，不符合题意； B. ，不是，不符合题意； C. ，是，符合题意； D. ，不是，不符合题意； 故选：C． 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若分式有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，解得的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：C． 3．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 4．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 5．（3分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的定义． 判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式，若无，则为最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A：分子为，无法因式分解，分母为，分子与分母无公因式，故为最简分式； B：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； C：分子为，分母为，系数12与15有公因数3，可化简为，不是最简分式； D：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； 故选：A． 6．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，解分式方程， 将分式除法转化为乘法，化简后分析可能的取值即可． 【详解】解：由题，，，则 ， 需满足 ， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时分母均非零，符合条件， 令 ，无解，此时不符合条件， 故选C． 7．（3分）（24-25八年级下·山东潍坊·期末）分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后根据分式方程的解为正数且原方程不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：B． 8．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 9．（3分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于的方程无解，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．先去分母把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当时，当时，即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以：， ∴， ∴， 当时， 方程无解，此时 当时， ∵方程无解， ∴ 解得： ∴的值为：或． 故选：A． 10．（3分）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据同分母分式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．（3分）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知和互为相反数，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解分式方程、相反数的定义，根据相反数的定义得出关于的分式方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， 当时，， ∴x的值为， 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 解：设张老师骑车的速度为． 依题意，得 【答案】其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据方程中左右两个代数式的含义即可解答． 【详解】解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发， ∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间， ∴被墨迹弄污的条件应是其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 15．（3分）（24-25八年级下·上海宝山·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，正确进行计算是解题关键． 设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】设，则：， ∴原方程化为：， ∴去分母转化为整式方程可得： ， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先通分，把分母都化为，然后进行同分母的加法运算，最后化简分式即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 18．（6分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． （1）根据解根式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解根式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得， 把代入， 是原方程的根． （2）解：去分母得：， 解得：， 把代入， 为增根，原方程无解． 19．（8分）（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知． (1)当时，求P的值； (2)对于实数m，当时，设，． ①用含m的最简分式表示； ②当时，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）把代入代数式进行计算即可； （2）①根据分式的除法法则进行计算即可；②把代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）①，， ； ②， ，即， 解得，（舍去）， 20．（8分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)， (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； （2）解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 21．（10分）（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 22．（10分）（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 23．（12分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的变形与运算，需熟练掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑配或因式分解等方法，同时还考查了分式的加减运算，由这一条件列方程对正整数解的分析是解决本题的关键． （1）将中的分子化为；将的分子化为使用平方差公式即可求解； （2）将中的分子化为，再使用平方差公式即可求解； （3）先将转化为，将转化为，再结合，令，，分析出a，b为正整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：∵， ， 因为， 所以， 即， 令，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， 当时，，此时，， 当时，，此时，（舍）， 当时，，此时，（舍）， ∴综上，， ∴，， 经检验，符合题意， ∴，． 24．（12分）（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 分式·培优卷 【新教材苏科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若分式有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 5．（3分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值可能为（   ） A． B． C． D．0 7．（3分）（24-25八年级下·山东潍坊·期末）分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 8．（3分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于的方程无解，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．不能确定 10．（3分）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是 ． 12．（3分）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 13．（3分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知和互为相反数，则x的值为 ． 14．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 解：设张老师骑车的速度为． 依题意，得 15．（3分）（24-25八年级下·上海宝山·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 16．（3分）（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： (1) (2) 19．（8分）（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知． (1)当时，求P的值； (2)对于实数m，当时，设，． ①用含m的最简分式表示； ②当时，求m的值． 20．（8分）（24-25八年级下·广东深圳·期末）小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质    B．等式的基本性质    C．乘法结合律    D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 21．（10分）（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 22．（10分）（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 23．（12分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 24．（12分）（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $