专题05： 分式（2个概念+12大题型） 2025-2026学年八年级下学期数学期末考试专题复习（2024苏科版）

2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:05： 分式（2个概念+12大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：分式的概念 1.分式定义：一般地,如果表示两个整式,并且中含有字母,那么代数式叫作分式,其中是分式的分子,是分式的分母, 且≠0. 2.（1）分式有意义条件：分母≠0； （2）分式无意义条件：分母= 0； （3）分式值为0条件：分子 0且分母 3.分式的值： 用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值. 分式的值随分式中字母取值的变化而变化 .如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义. 考点2：分式的基本性质 1. 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 其中A,B是整式,C是不等于0的整式. 2.分式的约分： （1）分式约分的概念与依据：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零. （2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成最简分式或整式. 3.分式的通分： （1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 （2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定最简公分母 .在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 考点3：分式的运算 1.分式的加减法则： （1）同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. （2）异分母的分式相加减,先通分,再加减. 用符号表示为:. 2.分式的乘除法则： （1）分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母; （2）分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用符号表示为: 考点4：分式方程的概念、解法步骤、应用 1.分式方程的概念：等式两边是分式或整式,且分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程的解法步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，将原方程化成一元一次方程； （2）解一元一次方程； （3）检验。 3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值不一定是原方程的根，这个根就称为这个分式方程的增根。 由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。 4.应用分式方程解决实际问题的步骤： （1）审题，根据需要设出合适的未知数； （2）找出等量关系，列出方程； （3）解方程； （4）检验（这步是必须的）； （5）写出答案。 模块3：重点题型+变式训练 题型一、分式的概念与识别 【例题1】下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解： 、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意； 、是整式，不属于分式，不符合题意． 【变式训练】 1．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是表示未知数的字母． 【详解】解：A、是整式，A不符合要求． B、的分母含有字母，符合分式定义，B符合要求． C、的分母是常数，属于整式，C不符合要求． D、中是常数，分母不含字母，属于整式，D不符合要求． 2．下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义逐一判断各式，即可得到结果. 【详解】解：分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，，则式子是分式，据此逐个判断： ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，是常数，因此是常数，分母不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； 综上，分式共有个． 3．在，，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，中含有字母且，则式子是分式，逐项分析即可得出结果，关键是明确是常数不是字母． 【详解】解：的分母是常数2，不是分式； 的分母含有字母，是分式； 中是常数，因此不是分式； 的分母含有字母，是分式； 的分母含有字母，是分式； 故题中分式共有3个． 4．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 题型二、分式有意义的条件 【例题2】要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 【变式训练】 1．要使分式有意义，字母a，b需满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于， 本题中分式的分母为， ∴， 移项得． 2．写出使分式有意义的的一个值_____． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件可知，再求出符合条件的值． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， ∴分式有意义的x的一个值为5（答案不唯一）． 3．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 4．请写出一个使代数式有意义的x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：代数式有意义，则， ∴， 则的值可以是（答案不唯一） 题型三、分式的值为0条件 【例题3】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式训练】 1．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 2．若分式的值为0，则________． 【答案】2 【分析】根据分式值为0的条件即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 3．若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 4．如果分式的值为零，那么_____． 【答案】 【分析】分式值为零的条件：需同时满足分子为零，分母不为零．据此分别求解后取公共部分即可得到x的值． 【详解】解：若分式的值为零， 则. 解得或， 由，得. 因此． 题型四、分式的约分与通分 【例题4】将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式训练】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项约分后即可判断结果． 【详解】解：选项A、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项C、，分子为，分母为，二者没有公因式，因此是最简分式； 选项D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 2．化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，再约去公因式即可得到结果. 【详解】解： 3．化简：______． 【答案】 【分析】对分子和分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解：． 4．的最简公分母是________，通分的结果为________． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 题型五、分式的基本性质变形判断 【例题5】下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误； B．当时无意义，故B错误； C．，故C错误； D．，变形正确． 【变式训练】 1．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 2．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 3．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 4．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 题型六、分式的加减乘除运算 【例题6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键． （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．下面是小李化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ……………第二步 ……………第三步 ……………………………第四步 (1)小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步； (2)小李的化简过程从第____步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)一，四 (2)二 (3)过程见解析，值为 【分析】（1）根据分式通分及约分的方法可得； （2）根据化简过程即可得出开始出现错误的步骤； （3）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第四步； （2）小李的化简过程从第二步开始出现错误； （3）解：原式 ． ∵ ∴， ∴， 当时，原式． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 题型七、根据条件求分式的值 【例题7】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 【变式训练】 1．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 2．已知：，则的值为________． 【答案】23 【分析】本题利用完全平方公式变形，将已知等式两边平方，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：将已知等式两边同时平方，根据完全平方公式得 整理得 移项计算得 ． 3．已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 4．若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 题型八、分式的化简求值 【例题8】先化简：，然后x在，，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式） 【分析】先化简原分式，再根据分式有意义的条件取合适的值代入即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 【变式训练】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据分式混合运算的法则化简原式，再根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则求出的值，代入化简结果计算即可得到最终值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型九、分式方程的解法 【例题9】解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解． (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故原分式方程无解． （2）解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为． 【变式训练】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 2．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，求解后再进行检验； （2）先将分母变形统一，再去分母化为整式方程，求解后检验，注意增根的判断． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：原方程可变形为：， 方程两边同乘，得：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 解得：， 检验：当时，，分式无意义， 原方程无解． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验； （2）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验． 【详解】（1）解： 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是原分式方程的解； （2） 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是增根，原分式方程无解． 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：去分母得到， 解得， 检验：将代入， ∴是分式方程的解． （2）解：化为， 去分母，得， 解得， 检验：将代入，得 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 题型十、根据分式方程根的情况求参数的值 【例题10】若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 【变式训练】 1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 2．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 3．已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 4．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2， 【分析】本题考查了分式方程的求解及增根的概念和应用． （1）将代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性； （2）先解分式方程得到用m表示的x，根据原分式方程有增根得到，且用m表示的x的式子的分母，分情况讨论确定出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， 解得， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴m的值为2，． 题型11、有关分式的新定义问题 【例题11】定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 【变式训练】 1．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴，或， 解得，或， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当时，，， ∴，， ∴． ∴与是“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值为． 2．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 3．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数m的值； 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）2或3． 【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论． （2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值． 【详解】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”． 理由如下： 解一元一次方程，解得， 解分式方程，解得， 检验：当，， ∴原分式方程无解， ∴一元一次方程与分式方程不是“相似方程”． （2）由题意，两个方程有相同的整数解，即， ， 为整数，，2，，，，3，0，， 又取正整数，或3． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各个方程的求解方法． 4．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 题型十二、分式方程的实际应用 【例题12】近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 【答案】国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位 【分析】设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位，根据：用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天列出方程求解即可． 【详解】解：设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，， 答：国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位． 【变式训练】 1．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． (1)求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ (2)某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 【答案】(1)一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元 (2)一组的工作效率更高 【分析】（1）设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元，根据“用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个”列方程求解； （2）设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月，根据题意求出一组和二组的月效率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合实际意义． （元）． 答：一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元． （2）解：设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月， ∴二组的月工作效率为， 根据题意得： 解得：， 经检验是分式方程的解且符合实际意义， 二组单独完成工作需要8个月，月效率为． 一组月效率为，二组月效率为， ∵， ∴一组的工作效率更高． 2．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 3．列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 【分析】设每套型号的“文房四宝”的价格为元，根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，以及学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每套型号的“文房四宝”的价格为元，则每套型号的“文房四宝”的价格为元，由题意： ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 4．2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果； （2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果． 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期 数学期末专题复习 专题:05： 分式（2个概念+12大题型） 模块1：思维导图+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：分式的概念 1.分式定义：一般地,如果表示两个 ,并且 中含有 ,那么代数式叫作分式,其中是分式的分子,是分式的分母, 且 . 2.（1）分式有意义条件： ； （2）分式无意义条件： ； （3）分式值为0条件： 0且 3.分式的值： 用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值. 分式的值随分式中字母取值的变化而变化 .如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义. 考点2：分式的基本性质 1. 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 其中A,B是整式,C是不等于0的整式. 2.分式的约分： （1）分式约分的概念与依据：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以 ,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零. （2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成最简分式或整式. 3.分式的通分： （1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 （2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定最简公分母 .在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 考点3：分式的运算 1.分式的加减法则： （1）同分母的分式相加减,分母 ,把分子相 . （2）异分母的分式相加减,先 ,再 . 用符号表示为:. 2.分式的乘除法则： （1）分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母; （2）分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用符号表示为: 考点4：分式方程的概念、解法步骤、应用 1.分式方程的概念：等式两边是 或 ,且 的方程叫作分式方程。 2.分式方程的解法步骤： （1）方程两边都乘以 ，去分母，将原方程化成 ； （2）解一元一次方程； （3） 。 3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值 ，这个根就称为这个分式方程的 。 由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。 4.应用分式方程解决实际问题的步骤： （1）审题，根据需要 ； （2）找出 ， ； （3） ； （4） （这步是必须的）； （5） 。 模块3：重点题型+变式训练 题型一、分式的概念与识别 【例题1】下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在，，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 题型二、分式有意义的条件 【例题2】要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．要使分式有意义，字母a，b需满足（   ） A． B． C． D． 2．写出使分式有意义的的一个值_____． 3．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 4．请写出一个使代数式有意义的x的值_______． 题型三、分式的值为0条件 【例题3】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则________． 3．若分式的值为0，则实数x的值为______． 4．如果分式的值为零，那么_____． 题型四、分式的约分与通分 【例题4】将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 3．化简：______． 4．的最简公分母是________，通分的结果为________． 题型五、分式的基本性质变形判断 【例题5】下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 4．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、分式的加减乘除运算 【例题6】计算： (1) (2) 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．下面是小李化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ……………第二步 ……………第三步 ……………………………第四步 (1)小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步； (2)小李的化简过程从第____步开始出现错误； (3)请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 4．计算： (1)； (2)． 题型七、根据条件求分式的值 【例题7】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 2．已知：，则的值为________． 3．已知，，则的值为________． 4．若，则分式的值为________． 题型八、分式的化简求值 【例题8】先化简：，然后x在，，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【变式训练】 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 题型九、分式方程的解法 【例题9】解方程． (1)； (2)． 【变式训练】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)． (2)． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 4．解方程 (1) (2) 题型十、根据分式方程根的情况求参数的值 【例题10】若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【变式训练】 1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 2．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 3．已知关于的分式方程无解，求的值． 4．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 题型11、有关分式的新定义问题 【例题11】定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【变式训练】 1．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 2．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 3．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数m的值； 4．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 题型十二、分式方程的实际应用 【例题12】近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 【变式训练】 1．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． (1)求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ (2)某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 2．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 3．列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 4．2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $