专题09 二次根式的加减乘除运算与应用【期末复习重难点培优专题十大题型+真题演练】-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以10个高频易错题型为框架，通过“精讲+精练”系统整合二次根式运算与应用，50题覆盖概念辨析、法则运用及几何代数综合，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |10个题型|50题（含江苏多地期末真题）|分母有理化技巧、最简二次根式判断法则、混合运算顺序、参数求值策略|从概念（最简/同类二次根式）到运算（乘除/加减/混合），再到代数求值与几何应用，形成“概念-运算-应用”递进链条|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题09 二次根式的加减乘除运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【10个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 二次根式的乘除混合运算 1 题型二 分母有理化 2 题型三 化为最简二次根式 3 题型四 已知最简二次根式求参数 3 题型五 二次根式的加减运算 4 题型六 二次根式的混合运算 4 题型七 已知字母的值，化简求值 6 题型八 已知条件式，化简求值 7 题型九 比较二次根式的大小 8 题型十 二次根式的应用 8 优选真题 实战演练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【拓展拔尖 冲刺满分】 10 题型一 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【精练1】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）化简计算． 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 题型二 分母有理化 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【精练1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，点为边上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则的值为_______．    题型三 化为最简二次根式 【精讲】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【精练1】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）若和都是最简二次根式，则___________，___________． 题型四 已知最简二次根式求参数 【精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【精练1】（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 题型五 二次根式的加减运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) 题型六 二次根式的混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图正方形网格中最小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点、、、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)的面积为______； (2)在图中，画出的边上的高，并求的长； (3)在图中，在的边上找一点，连接，使，并直接写出的长：______． 题型七 已知字母的值，化简求值 【精讲】（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 【精练1】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 【精练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 题型八 已知条件式，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)． (2)； (3)若均为实数，且，求的值． 【精练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为______． 题型九 比较二次根式的大小 【精讲】（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知：，求证： 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）比较大小：______4；______． 题型十 二次根式的应用 【精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面四个算式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为________． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算：___________________． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为_______． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，且，则______． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)． (2)． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题09 二次根式的加减乘除运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【10个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 二次根式的乘除混合运算 1 题型二 分母有理化 3 题型三 化为最简二次根式 5 题型四 已知最简二次根式求参数 6 题型五 二次根式的加减运算 9 题型六 二次根式的混合运算 10 题型七 已知字母的值，化简求值 15 题型八 已知条件式，化简求值 17 题型九 比较二次根式的大小 19 题型十 二次根式的应用 21 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 题型一 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出平方，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）化简计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行乘除运算即可． 【详解】解： ． 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 题型二 分母有理化 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式. 【精练1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】(1)， (2)C (3)， 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，点为边上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则的值为_______．    【答案】/ 【分析】过点D作于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接，根据矩形的性质，勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：过点D作于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接，    矩形中，，， 则，，， ， ， 根据题意，得， 故； 根据题意，得 ， ， 题型三 化为最简二次根式 【精讲】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 【精练1】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内没有分母． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，是最简二次根式，故该选项符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）若和都是最简二次根式，则___________，___________． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 题型四 已知最简二次根式求参数 【精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 【精练1】（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 二次根式的加减运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加法运算即可； （）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 【精练2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先根据平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 二次根式的混合运算 【精讲】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 【答案】(1)6； (2)， (3) 【分析】（1）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）先根据阅读材料代入，然后分母有理化，最后再整理即可解答． 【详解】（1）解：根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （2）解：阅读新定义，根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （3）解： ． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图正方形网格中最小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点、、、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)的面积为______； (2)在图中，画出的边上的高，并求的长； (3)在图中，在的边上找一点，连接，使，并直接写出的长：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据割补法即可得到结论； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，连接，交于，则，分别作的高，，由可得，再结合，列方程，最后根据完全平方公式配方解方程即可． 【详解】（1）解：的面积； （2）解：如图， 取格点，连接，交于， 则就是的高； ， ； （3）解：如图， 取格点，连接，交于，则是等腰直角三角形，， 分别作的高，，由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得到， ∴由平方根的性质可得， ∴或， ∵， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴． 题型七 已知字母的值，化简求值 【精讲】（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 【答案】 【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【精练1】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由二次根式的性质化简即可得出结果； （2）先求出，，①再结合完全平方公式计算即可得出结果；②先通分，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ①； ②． 【精练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 【答案】(1) (2)6 (3)22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）分子、分母同乘即可求解； （2）可化为，即，再整体代入即可求值； （3）根据题干分析解答，把每项分子、分母同乘适当的二次根式，使分母为有理数，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， 即， ∴； （3）解： ． 题型八 已知条件式，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)． (2)； (3)若均为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用二次根式的性质及零指数幂化简，再合并即可； （）利用分式的加减运算法则计算即可； （）利用二次根式和分式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再代入二次根式计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，分式的加减运算，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴且且， 解得， ∴， ∴原式 ． 【精练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 题型九 比较二次根式的大小 【精讲】（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）比较大小：______4；______． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．根据任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；． 题型十 二次根式的应用 【精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据直角三角形的性质求出的长及的度数，设，则，，过点作于，在中，表示出和，进而表示出，在中利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形求出最小值即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 设， ， ， ， 过点作于， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴ 有最小值， 的最小值为． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A：，被开方数10的因数中不含完全平方数，且不含分母， ∴是最简二次根式，符合题意； B：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； C：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； D：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面四个算式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的乘法，根据二次根式的除法、二次根式的加法、二次根式的乘法的运算法则以及二次根式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故该选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算：___________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，根据矩形性质得，再证明是等腰直角三角形得，进而即可得出的长． 【详解】解：在正方形中，，，， 在中，由勾股定理得：， 正方形的对角线， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得尽方的数；②被开方数不含分母． 根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分母含根号，需有理化为，不符合最简二次根式条件； B．，被开方数为分数，需化为，不符合最简二次根式条件； C．被开方数含分母10，需化为，不符合最简二次根式条件； D．，被开方数30分解质因数为，无平方数因子且不含分母，符合最简二次根式条件． 故选D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，则．由旋转可得，，结合矩形的性质可得， ，则，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点． 则． 由旋转可得，． ∵四边形为矩形， ，而， ， ， ， ， ∴的面积为 ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形． 如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 故答案为： 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 【答案】97 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． 【详解】（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $