专题09 一次函数几何压轴汇编（九种高频题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，系统覆盖九类存在性问题，以题载法构建从基础计算到动态探究的逻辑体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与面积计算|4题|含多直线交点、动点面积关系|以函数表达式求解为基础，渗透割补法面积计算| |等腰/直角三角形存在性|7题|轴上动点构成特殊三角形|结合等腰/直角三角形性质，培养分类讨论思维| |全等/45°角/等角存在性|10题|动点与已知图形全等、特殊角构造|强化图形转化与方程思想，发展推理能力| |线段和最小/平行四边形/菱形存在性|13题|最值问题及特殊四边形判定|整合轴对称、中心对称性质，提升空间观念与模型意识|

专题09 一次函数几何压轴汇编（九种题型） 【题型1一次函数与面积有关计算】 1 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 3 【题型3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 5 【题型4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 7 【题型5一次函数存在45°求动点坐标】 9 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 11 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 13 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 14 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 17 【题型1一次函数与面积有关计算问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 2．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 4．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1)_____； (2)求四边形的面积； (3)点为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求的坐标． 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 9．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 11．如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 13．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 14．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 【题型5一次函数存在45°求动点坐标】 16．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 17．如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①求的度数； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接，，若，，求的最小值； (2)如图2，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于M，N两点．将直线绕点M逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 18．如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D． (1)求点A、B的坐标和线段的长； (2)证明； (3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标． 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 20．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 22．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 23．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 24．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点． (1)求四边形的面积； (2)若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式； (3)在平面内直线的右侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，C，经过点C的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G为线段上一动点，当时，求点G的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点D，使得以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 29．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 30．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 31．综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，． (1)点A的坐标为： ，点C的坐标为：___________ (2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． (3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 33．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． (1)求证：； (2)点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得的和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数几何压轴汇编（九种题型） 【题型1一次函数与面积有关计算】 1 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 9 【题型3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 13 【题型4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 20 【题型5一次函数存在45°求动点坐标】 31 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 42 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 54 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 60 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 71 【题型1一次函数与面积有关计算问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与x轴的交点的坐标，直线与x轴的交点D的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为，把点和点代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直线与x轴相交于点， 令，则， 解得：， ， 直线与x轴相交于点， ∴令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：点是y轴上一动点， 可设点的坐标为， 的面积等于的面积， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，深刻理解并灵活运用数形结合思想是解题的关键． 2．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 4．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为． (1)_____； (2)求四边形的面积； (3)点为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求的坐标． 【答案】(1)8 (2)10 (3)或 【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程和应用分类讨论思想解决问题 （1）利用待定系数法求解即可． （2）结合一次函数与坐标轴的交点求得对应线段长度，再利用三角形的面积公式计算即可． （3）设，分点M位于点P上方和下方分别列出或，结合三角形面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得直线过点的坐标为，则，解得， 故答案为：8； （2）解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴点，， ∵直线 ∴点， ∴， 则，； （3）解：设，则有或， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴或． 【题型2一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）设点的坐标为，根据等腰三角形定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论计算即可． 【详解】（1）解： 与轴交于点， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：存在，理由： ，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形， 当时， ∵， 点的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 设点的坐标为， 则， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)14； (3)或． 【分析】（1）将点代入直线，可求出的值；再把点C的坐标代入，求出b的值，进而求出B的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵过点． ∴，解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴代入得，解得， ∴， 令，则，解得：, ∴； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 【题型3一次函数存在直角三角形求动点坐标】 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查两条直线相交的问题，两点间距离公式，勾股定理，利用平方根解方程，理解数形结合是解题的关键． 9．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理的逆定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）过E作轴交于M，用待定系数法求出直线解析式为，可得，，根据，有，即可解得a的值为3； （2）求出，①当为斜边时，，②当为斜边时，，③为斜边时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：过E作轴交于M，如图： 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴a的值为3； （2）存在点E，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ①当为斜边时，， 解得或， ∵点E在直线的上方， ∴； ②当为斜边时，， 解得， ∴； ③为斜边时，， 解得（舍去）， 综上所述，E的坐标为或． 10．如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 11．如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由函数图像上的坐标特征可确定点的坐标，再根据点的坐标即可确定直线的函数表达式； （2）设，由轴得，，再结合点在点右侧则可得出答案； （3）由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，则此时点；②，由即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，得， ∴， ∵， ∴， 设， ∵轴，点在直线上，， ∴， ∴， 解得：或， ∵点在点右侧 ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 设点， ∵，， ∴，，， ∵是直角三角形， ①，则，； ②，则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【题型4一次函数存在全等三角形求动点坐标】 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 13．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． （3）解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 14．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 【答案】(1)4；2 (2)； (3)或 【分析】（1）求出时的函数值和时的自变量的值，则可得到点A和点B的坐标，进而可得答案； （2）把点C的坐标代入一次函数解析式求出点C的坐标，即可得到m的值，再利用待定系数法求出正比例函数的表达式即可； （3）可证明，则或，据此分别画出对应的示意图，结合全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； （2）解：在中，当时，，解得， ∴点C的坐标为，即， 把点C的坐标代入得，解得， ∴正比例函数的表达式为； （3）解：∵点P在正比例函数图象上， ∴与一定不垂直，即， ∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且， ∴或， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设点P的坐标为， ∴， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为； 如图所示，当时，同理可证明， ∴此时， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【题型5一次函数存在45°求动点坐标】 16．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出，，由得，可得，故，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； 设BC的中点为F，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点F，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为； 设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，设点、点，可得直线：过定点，证明≌，有且，故且，即可解得点，代入可得 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ， ，即， 解得， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设的中点为F，如图： 将沿线段方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， 直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点F， ，， ， ，， 根据平移性质可得， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，如图： 设点、点， 在中，令得， 直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ≌， 且， 且， 解得：，， 点， 将点N的坐标代入得：， 解得：， 的值为 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，待定系数法等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①求的度数； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接，，若，，求的最小值； (2)如图2，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于M，N两点．将直线绕点M逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，利用等腰三角形的判定和性质得到； ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得AD的长； （2）过点N作交直线l于点E，过点E作轴，由旋转性质得，得，由直角得，可证得，则有对应边相等，进一步求得和的长，即有，将设直线解析式并将点E和点M代入，即可求得函数表达式． 【详解】（1）解：①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴为等腰直角三角形，即． ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴AD的最小值为． （2）过点N作交直线l于点E，过点E作轴，如图所示， 由旋转性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴，， 即， ∴，． 当时，，则． 当时，，解得，则， ∴． 设直线l对应的函数表达式为，将和代入， ，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 18．如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点，点，点的坐标； (2)连接，若，求出长度，并计算的面积； (3)若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，的面积为； (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理、三角形面积计算及坐标与几何的综合应用，关键是利用函数图象上点的坐标特征求交点，结合几何性质建立等式求解． （1）根据一次函数与坐标轴交点的求解方法，分别代入或计算对应点的坐标； （2）设的长度为未知数，利用结合勾股定理建立方程求解，再根据三角形面积公式计算面积； （3）通过作PE⊥BC构造等腰直角三角形，利用面积法求出垂线段PE的长度，再结合两点间距离公式建立关于点C横坐标的方程，进而求解点C的坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，解得， ； 令，则， ； 对于直线，令，则， ； 故，，． （2）解：设，则， ， ，， ， ∴， ， ， 解得，即； ， ， 的面积； （3）解：过点作于点，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，且，， ∴，解得； 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 设点的坐标为()， 则， 解得(舍去负根)； 当时，， ∴点的坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D． (1)求点A、B的坐标和线段的长； (2)证明； (3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，利用平方根的性质解方程，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）分别令求解直线与x轴、y轴的交点坐标，再由勾股定理求解即可； （2）先求出点E的坐标为，则可得，再由互余关系求证，即可证明； （3）可得为等腰直角三角形，则，然后求出直线，设，由建立方程，再由平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴当时， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分 ∴点E是的中点， ∵， ∴点E的坐标为； ∵轴于点D． ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：如图， 由题意得， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 由（2）知， ∴， 而， ∴， ∴， 设直线， ∴ 解得， ∴直线 设， 由得，， 整理得， 即 ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 【题型6一次函数存在等角求动点坐标】 20．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出交点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，；当点M在点E下方时，此时点M位于y轴负半轴； ∴或； （3）解：当点在上方时，过点作轴的对称点，记为点，则，， ∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 联立直线与得，， 解得， ∴； 当点在下方时， ∵，， ∴， 过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线， 再与直线联立可得，， 解得， ∴， 综上：点G的坐标为或． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求得直线的解析式，再联立成方程组即可求解； （2）①先求得点的坐标为，由与直线交于点，可得，即点的纵坐标，代入直线，即可求得，可得点，的坐标，即可求解； ②分点在点的上方，点在点的下方两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 由，解得， ∴点的坐标为． （2）解：①把代入，得， ∴点的坐标为， ∵与直线交于点， ∴点的横坐标， ∴点的纵坐标， 如图， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，， ∴． ②（Ⅰ）：点在点的上方， 如图，由题意可得，点，关于直线对称，设与直线交于点， ∴与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴点C坐标为； （Ⅱ）：点在点的下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可得， 设，则， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵与关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴，与点重合，舍去； 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴点C的坐标为 综上所述，点C坐标为或． 22．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)； (2) (3)直线的表达式为或 【分析】（1）将点，点代入之中求出，进而可得直线的表达式；联立，得，由此可得点A的坐标； （2）连接，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，由此解出，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，由此得，则点，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ，得：， ∴直线与直线的交点坐标为； （2）解：连接，如图1所示： ∵点D在直线上，且横坐标为2， ∴点， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∵点Q为射线上一动点， ∴设点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵M为y轴上一点，且， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∵点N的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 综上所述：直线的表达式为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 【题型7一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 23．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 24．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点． (1)求四边形的面积； (2)若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式； (3)在平面内直线的右侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为，直线的表达式 (3)存在，点的坐标为或 【分析】一次函数与几何的综合应用，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质； （1）先求得点，连接，根据，即可求解； （2）先求得点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得的最小值为的长，进而得出的坐标，根据，的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分两种情况讨论当时，当时，根据全等三角形的性质，求得点的坐标． 【详解】（1）直线与轴交于点， 当时， ∴ 连接，如图， ∵，， ∴四边形的面积 （2）把点，代入得： 解得： ∴ 当时，， 设直线交轴于点，则 ∴关于轴对称的点为， ∴，当在上且在轴上，则重合， ∴， ∴的最小值为， 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式为 （3）解：如图，当时，过点作轴，，垂足分别为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图，当时，过点作轴，轴，垂足分别为， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 25．已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数解析式，割补法求解面积以及将军饮马模型求线段最值． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据求解； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点，则，再由两点间距离公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过和两点， ∴， 解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1 ∴；， 解得 ∴，， 如图： ∴ （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点， ∴ ∴． 【题型8一次函数存在平行四边形求动点坐标】 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，C，经过点C的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G为线段上一动点，当时，求点G的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点D，使得以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，由题意可得，求出的值即可求点的坐标； （3）先求出，设，分三种情况讨论：当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，根据中点坐标公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （2）解：G为线段上一点，设，   把代入得， 解得：， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在点，使以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 把代入得， 解得：， ∴， ∵， ①当为平行四边形对角线时，， 解得， ∴； ②当为平行四边形对角线时， 解得， ∴； ③当为平行四边形对角线时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，． ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：存在． ∵与x轴交于点B， ∴． 设，， ①当、为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得， ∴； ②当、为平行四边形的对角线时， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． 28．如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， ； （2）解：设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图： ， ，由平行四边形的性质得：和互相平分 ∴，， 解得，， ； 当为平行四边形的对角线时，如下图： 同理可得，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标为或． 29．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或或 【分析】（1）由，求出，得，由，得，得，即得； （2）过点D作轴于F，证明，得，得，得，即可求出直线的解析式为； （3）当为边时，由，，， 得，，得，，，，得，，当为对角线时，由,，得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由图知， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点D作轴于F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． （3）解：如图， ∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，， 由（2）知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 当为对角线时，互相平分， ∵,， ∴． ∴点E的坐标为f或或． 【点睛】本题考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，三角形面积公式，用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论的思想，是解题关键． 30．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积； (3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)6 (3)H的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点间距离等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点C的坐标代入直线的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）由题易得，，进而根据面积公式求解即可； （3）根据题意在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，则分，为对角线；，为对角线；，为对角线；三种情况分别求出H点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得， ∴； 将，代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， ∴，， ， ． （3）解：设， ∵直线的解析式为与y轴交于点B， ，， ∴， ∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形， ①当为对角线， ∴， 则 ∵，，， ∴ ， ∴； ②当为对角线， ∴， 则， ∵，，， ∴ ， ∴H； ③当为对角线， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴； 综上：H的坐标为或或． 【题型9一次函数存在菱形求动点坐标】 31．综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，． (1)点A的坐标为： ，点C的坐标为：___________ (2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． (3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在点或使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）根据矩形的性质解答即可； （2）连接，由折叠的性质可得，，然后由中点坐标公式可得点F的坐标，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，可得点D的坐标，然后利用待定系数法解答即可； （3）由（2）得：，点D的坐标为，设点M的坐标为，点N的坐标为，可得，，然后分三种情况：若为边；若为边；若为边，解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点F的中点为，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：存在， 由（2）得：，点D的坐标为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∴，， 若为边，， ∴， 解得：或9， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴或4， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴， 此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 32．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 33．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． (1)求证：； (2)点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得的和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在，作图见解析； 或． 【分析】（1）根据矩形的性质可得轴，轴，再根据一次函数的图象与性质求出点D和点E的坐标，进而即可求得答案． （2）①作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小； ②分两种情况讨论：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边分别交于点D、E，点B的坐标为， 当时，，即， 当时，，即， ， ； （2）存在，作图如下： 作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小， 如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，M和N关于对称， ， 点M和N的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点M作轴于点G， 设点M的横坐标为a，则纵坐标为， ， ， 即， 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点； 综上所述，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得M的坐标是解题的关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)存在，或 (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 （3）解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $