山东济南市历城第一中学2025-2026学年高一下学期4月份质量检测数学试题

2025级高一下学期4月份质量检测（2026.04) 数学试题 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本 试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的、 a-1 1,若复数2i+i(aeR) 2 是纯虚数，则z的共轭复数z=() A.-1 B.-i C.i D.1 2.已知向量a=(0,-1),=(1,1),则a在五上的投影向量为() A. C.2a D.-2a 2 3.已知在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是() A.x>2 B.x<2 C.2<x<2W2 D.2<x<25 4.设m,n是不同的直线，a,B是不同的平面，则下列命题正确的是（) A.m⊥n,n/1a,则m⊥ 母m/1B,B⊥x,则m⊥x Cm⊥&，a⊥B,则m/1f D.m⊥a,m⊥B,则x1IB 5.已知为虚数单位，如果复数z满足z+2剑+z-2=4,那么2-1的最小值是（) A.1 B.√2 C.2 D.5 6.0是△ABC所在平面内一定点，P是平面内一动点，若PB-PC)(OP-AP=0, (PB-PA(OP-C)=0,则点0为△ABC的( A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心 7.在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA,若AB=2AD+B死，则九+4 的值为() A吉 B c.- 2 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sinA,sinC-sinB), n=(a-√3c,b+c),且m⊥n,b=1,则AB.AC的最小值为（). A.-1 B寻 c D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设乙，z2是复数，则下列说法正确的是（) A.若2是纯虚数，则z子<0 B.若z+2=0,则名=2=0 C.若名=2，则= D.若H,则名名=222 10.如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为9，O2,半径分别为2和4，高为2√3，四边形 ABCD为圆台OO2的轴截面，则() A.圆台的母线长为6 B.圆台的体积为563π C.圆台的侧面积为24π D.圆台外接球的半径为4 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，O为正方体的中心，M为DD的中点，F 为侧面正方形AA,DD内一动点，且满足B,F11平面BCM,则（) A.动点F的轨迹是一条线段，线段长度为√2 A B M: B.直线与A,D的夹角余弦值为 2 D C.三棱锥F-BCM的体积为定值 D.若过A,M,C,三点作正方体的截面2,2为截面2上一点，则线段AQ长度最小值为 2W6 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形ACDk已知AB=6,CD'=2, 则四边形ABCD的面积是 O(A') B主 13.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之 比 14.在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量O2（0为坐标原点)，设1Oz=r,以射线Ox为 始边，Oz为终边旋转的角为0，则z=r(cos9+isin),法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理： 乙=(cos日+isi血6)，2=2(cos8,+isin8,),Z2=r5[cos(+6)+isim(+8】,由棣莫弗定理可以 推导出复数乘方公式：[r(cos0+isin0]”=r”(cosne+isinn0),已知z=(W5+),则|z卡一； 若复数o满足o-1=0(neN),则称复数o为n次单位根，若复数o是6次单位根，且 oER,请写出一个满足条件的①= 四、解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分)已知向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(m2),m∈R. (1)当(a+)1(2a-)时，求实数2的值； (2)当b11(a+)时，求向量ā与c的夹角的余弦值. 16.(15分)如图，在△ABC中，AB=3后，∠B=,D是BC边上一点，且∠ADC-2 (1)求AD的长； 2)若CD=l0,求sinvDAC. 0 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形， AD∥BC,∠ABC=90°，且PA=AD=2,AB=BC=1,PB=5,E为PD的中点. (1)证明：直线EC∥平面PAB (2)求三棱锥P-ACE的体积： (3)求二面角E-AC-D的余弦值. B 18.(I7分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=-2CD=2,∠BAD=子，E是BC边上-点（含端 点)，AE与BD交于点F,设BE=BC (1)若AF=xAB+yAD,证明：x+y=1; D (②若=之，正=历+y而，求10x-5的值； (3)求AE.BD的取值范围. 19.(17分)如图，设△ABC中角ABC所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线， c=2,2asin Coos B=asin A-bsin B+esin BcosBAD=21 1 7 (1)求b边的长度； (2)求△ABC的面积； (3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G,且△AEF的面积为 B △ABC面积的；，求AGE乎的取值范围。 4 2025级高一下学期4月份质量检测(2026.04) 数学试题答案 一，选择题 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 D ACD BCD ACD 二、填空题 VG 12、16W2 13.314.16 oas2+i血2（k=24列 6 (写出其中一个即可) 三、解答题 15、【详解】(1)由题意可得a+b=3,1,-b=1,21-2,-1=1-2,21+1, 因为(a+b1(2a-),所以31-2+2元+1=0→元=1. (2)a+c=1+m,4, 因为b1/(a+),所以8+m+1=0→m=-9, 所以c=-9,2, 所以cos(a,)= a-c -5 a丽 即向量ā与：的夹角的余弦值为- 17 16.【小问1详解】 在△ABC中，∠ADC=2 ，则∠ADB= 3 AB 在△ABD中， AD 3√6AD sim∠ADB-sinB'即 Sin sin元，得4D=6. 3 【小问2详解】 因为在△ACD中，AD=6,CD=10,∠ADC= 2π 所以AC2=AD2+CD2-2AD.CDcos∠ADC=36+100-2×6x10 2 =196 则AC=14, CD AC 10 14 sin∠DAC sin∠ADC ,即sin ZDAC in2元，解得sim∠DMC=5V5 sin- 3 14 所以sin∠DAC= 5W5 14 17.【详解】(1)略 (2)由PA=2,AB=1,PB=√5，可得PB2=PA+AB2,所以PA⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD, 所以四棱锥P-ABCD的高为h=PA=2, 因为E为PD的中点，三棱锥E-ACD的高为h=1, 凌锥P-ACB的体积：Ve=2他×X2x区 3 (3) E D B 由于E为PD的中点，所以取AD的中点为H,连结EH可知：EHI/PA,EH=1, 因为PA⊥平面ABCD,所以EH⊥平面ABCD, 再取AC的中点为F,连结FH,EF可知：FH/1CD, 由梯形AD∥BC,∠ABC=90°，且AD=2,AB=BC=1, 可知AC=√2，CD=√2，从而可得AC2+CD2=AD2,即AC上CD, 所以附1AC,F阳= 2 因为EH⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以EH⊥AC, 又因为FH∩EH=H,FH,EHc平面EFH, 所以AC⊥平面EFH,又因为EFc平面EFH,所以AC⊥EF, 则∠EFH就是二面角E-AC-D的平面角， 由勾股定理可得：E即=√+FH=,+-y6 22 2 所以cos∠EFH=PH_」 V3 18.【详解】(1)由B,F,D三点共线，可知存在实数m,使BF=mBD, 即AF-AB=m(AD-AB,化简得AF=mAD+(1-m)AB x=1-m 结合AF=xAB+yAD,由平面向量基本定理得 y=m 所以x+y=1. (2)在等腰梯形ABCD中，由AB+BC+CD+DA=O, 可得BC=-AB-CD-DA=-AB+DC+AD, 根据a丽=20可，可得c=-西+孤+而=而-硒， 又死=BC,所以远=A-B, 2 4 所以店=仍+死=3B+, 1 4 2 因为AF,E三点共线，所以向量A正，AF共线， 3 X= 可得3=1，结合x+y=1, 5 解得 42 所以10x-5y=4. (3)由(2)知BC=AD-1B,又BE=BC, 则AE=AB+BE=AB+1BC 过D,C作AB的垂线，垂足分别为G,H, 因为等腰梯形ABCD中，A⑧=2CD=2, 所以回+2G=，可得aG-8-Co列=2， 又∠0-子袋网-号 所以丽而-丽Ds经-2x号x-1,-4而-安》 2 2 可得正而-（西+而（西-两 （丽+而丽而 -引4- 又E是BC边上一点（含端点），BE=1BC,则∈[O,1], 所以A正BD∈[-3，-2]. D 19.【详解】(1)由己知条件可知：2 asinCcB=-asin4-bsinB+csinB, 在△ABC中，由正弦定理Q=b "sin 4 sin B=sinC=2R, 得2ac-c0sB=a2-b2+bc, 4 在△ABc中，由余弦定理c0sB=+二6，得a2+a2-b2=a2-b2+1bc, .b=4c,又c=2∴b=8 设B4C=8,:而为c边上中线.而=号丽+C 则恋和=孤a西+AC-r+到ACos0=2+8cos0 网-后-丽+C+2 5丽4C+24Ccos日=7+80o80 AB·AD COS ZBAD= 厚0， ABAD117+8cos日 .28c0s20+8c0s9-11=0(2cos0-1)(14cos0+11)=0, oas0-分或cas0=- 14 由0，得4a0+1>aoa0>-子om0= 2.sin=3 2 8=2a4C血0=45. (3)设D=kAG,AB=元AE,AC=uAF（(2山，k∈[1+∞)， 而-西+02G=版+n丽→aG-亚+益亚， 2k 根据EFG三点共线，得九+4=2k, 西廊而（原-西（压+c上c-西） -止网网w6-<ac) =24_4+88=,12_12=12(6-9 2k(元元+元厂(+) S. 西C1血 S.AEE 证 -=3.=3 61、3 ÷4G丽=42=12.22- 3 =122-7 + 22+3气2-22+3 -212s8e到+3e4回 77 品5c丽c可