2026年湖南省娄底市初中学业水平适应性检测数学试题

初中学业水平适应性检测 数学 （请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，数轴上点P表示的数是 A． B．0 C．1 D．2 2．在文创商店，欢欢向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是 A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 3．数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是 A． B． C． D． 4．分式方程的解是 A． B． C． D． 5．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 A． B． C． D． 6．下列运算正确的是 A． B． C． D． 7．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在 A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 8．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为 A． B． C． D． 10．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是 A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为_____________． 12．中国古代杰出的数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉．从中任选一个，恰好是赵爽的概率是_____________． 13．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是_____________．（写出一个即可） 14．如图，是的直径，是的弦．若，，则_____________． 15．如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则_____________． 16．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”． ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 以上结论正确的是_____________．（写出所有正确结论） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（分）计算：； 18．（分）先化简，再求值：，其中． 19．（分）如图，已知内接于，点在的延长线上，连接，，满足，_____________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 20．（8分）为做好安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100． 八年级（3）班20名学生成绩： 80，85，85，85，85，90，90，90，90，90，90，90，95，95，95，95，95，98，100，100． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 4 7 3 八年级（3）班20名学生成绩条形统计图 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 班级/统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图； （2）填空：_____________，_____________； （3）请在平均数、方差中选择一个统计量，分析哪个班级的成绩更好一些，并说明理由（言之有理即可）． 21．（10分）我市某中学计划举行以“心理健康，阳光少年”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买，两种奖品．已知2件种奖品和3件种奖品共需41元，4件种奖品和2件种奖品共需46元． （1）这两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种奖品共100件，且种奖品的数量不少于种奖品数量的，则最多购进多少件种奖品． 22．（10分）小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） （1）求此时点B到桌面的距离； （2）如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 23．（12分）如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点A，B，求证：； ②过点P作x轴的垂线分别交，于点C，D，设，试探究当取何值时，m取得最大值？请求出m的最大值． 24．（12分）【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图1，连接． （1）_____________；（直接写出结果） （2）若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； 【问题探究】 （3）若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $初中学业水平适应性检测 数学参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 题号 1 2 3 4 6 7 8 10 答案 A D D A C B D B B C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11.5m+3n 12.5 13.5(答案不唯一，比3大且比6小的数都可以) 14.√2 15.5 16.②③ 三、解答题：本题共8小题，共72分. *3, 17.【详解】解：原式=3+2°+2× 4分 =3+1+1-3, =2. 6分 18.【详解】解：原式=a+1-2x_a(a+)=a-1.aa+) a+1(a+1)(a-1)a+1(a+1)(a-1) a+1, 4分 代入a=5,原武= 6分 6 19.【详解】(1)解：选择①：AC=AC, ∠0=2∠B=60°， :0A=0C, ∴.△AOC是等边三角形， .∠0AC=60° 选择②：∠ACD=120°， :∠AC0=60°， :0A=0C, ∴.∠OAC=∠ACO=60° 4分 (2)相切， 5分 理由如下：由(1)知：∠0AC=60°， :∠CAD=30°，∠0AD=90°，即：0A⊥AD, :OA是⊙O的半径， ,AD是⊙O的切线， 8分 20.【详解】(1)如图所示： 人数 80859095100分数 2分 (2)91,92.5 6分 (3)示例一：两个班成绩一样好，理由为：平均数一样； 示例二：八年级(3)班成绩更好一些，理由为： 平均数两个班相同，方差方面(3)班优于(1)班，所以(3)班成绩更均衡，即更好.8分 21.【详解】(1)解：设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元， 2x+3y=41 x=7 由题意得： 解得 4x+2y=46 y=9 答：A种奖品的单价是7元，B种奖品的单价是9元： 5分 (2)解：设购进A种奖品a件，则购进B种奖品(100-a)件， :B种奖品的数量不少于4种奖品数量的行10-a≥写0，解得a≤75， 1 答：最多购进A种奖品75件. 10分 22.【详解】∠APD=120°， ∴.∠BPE=180°-120°=60°. 在直角△BEP中，sin60°= BE BP 2=1 ,解得BE=105≈17(cm) 20 答：(1)点B到桌面的距离为17cm: 5分 (2)作BF⊥CD于点F, 160-- C A B 120° 77E P7777D7 1 由(1)知：EP=BP×cos60°=20×-=10(cm), .DE=10+26=36(cm), .∠AED=∠EDF=∠BFD=90°， .四边形BEDF是矩形， .BF=DE =36(cm). 在直角△BFC中，LCBF=16°，cos16°= BF BC 36 即：0.96≈ ,解得BC≈38(cm). BC 答：(2)BC的长度为38cm. 10分 23.【详解】解：(1)把点(1,1)代入y=ax2,得a=1 .此二次函数的表达式为：y=x 3分 (2)设x=t(0<t<1),则x2=2t,x3=t+1 Pt,t2）,(2,4）,Rt+1,(t+1） 12=kt+b 设PR的表达式为y=x+b,把点P,R代入，得： (t+12=k(t+1)+b k=2t+1 解得 1b=-t2-t ∴.直线PR的表达式为y=(2t+1x-t2-1. 当x=0时，y=-2-1,所以点A0,-2-t), 由题意，得点A在y轴的负半轴上，所以OA=t+t 同理，可得OB=2t2+2t, .AB=OB-OA=t2+1,即：OA=AB. 7分 (3)设0R的表达式为y=kx,把点R代入，可得(t+1=k(t+1, 解得k=t+1,.直线OR的表达式为y=(t+1)x. 当x=t时，y=t2+t,点Ct,t+t), 同理可得直线RQ的表达式为：y=(3t+1)x-2t2-2t. 当x=t时，y=t2-t,∴点Dt,t2-t), :.CD=12+1-(P-1)=2t,CP=1+1-1=1, 5aw-方xcDx+1-0=2x1=1,5am-cpr+小=+l m=5m5aw=-尔+小=-+日 0<1<1,当1=2时，mm=8 12分 24.【详解】解：(1)30 2分 C2)位置关系：PE/BD,数量关系：BD=35PE或CPE- 2W 2BD), 4分 2 9 理由如下：：PF⊥BC,∴.∠PFC=90°. 由翻折可知：∠PFE=∠CFE=45°，PE=CE 在菱形ABCD中，∠C=∠A=I20°，∠BDC=30 ∠PEC=2∠PEF=2×180°-45°-120)=30°， ∴.∠PEC=∠BDC=30°， ∴.PEI∥BD PE CE 2CD 2 由题意得， CDCD 2CD+CD 3 作CH1BD,易得：BD=2BH=2×5cD=5CD. 2 A H PE-PE CD_2,1 2 BD CD BD 33 9 即：PE=2N5BD或(PD= 3BD). 6分 9 (3)情况一：如图，当点P在对角线AC上时，补全图形，∠PCF=∠PCE=60°，CF=PF, CE=PE, ∴.△PFC和△PEC都是等边三角形， .CE=CF=PC, CF CE BF DE ≥2 情况二：方法一：如图2，当点P在对角线BD上时，补全图形，作FN⊥BC交BD于点N, EM⊥CD交BD于点M, A D B 不妨设EM=1,则DM=2,DE=√3， CE=PE=2V3,BC=CD=3V3,由(2)知：BD=V3CD=9. 设CF=PF=,则BF=3V5-x,NF=35--3-5x, 3 -x :∠BNF=∠DME=60°， .∠PNF=∠EMP=120°， :∠EPF=∠C=120°， :∠PFN+∠NPF=∠NPF+∠MPE=60°， .∠PFN=∠EPM, ∴.△PFN∽△EPM, P四E=pV,即：PW=大3 3 1 23 PM ·PW=3 ,PM-65-2. 6 BD=BN+NP+PM+DM=23-x+V5-2+2-9 x+ 解得x=(5-√)（负值已舍）. (5-5)35+1 BF3V3-(W5-511 综上： 面为2C点P在AC上D暖Y(点P在BD上).（这句不 11 方法二：如图，补全图形，作FG⊥BD,EH⊥BD,垂足分别为点G,H, H G 不妨设EH=1,则DE=2,CE=PE=4,BC=CD=6,BD=6V3, 在直角△DHE中，DH=√3， 在直角△PHE中，PH=√42-12=5， 设CF=PF=x,则BF=6-x, 值角△8GF.GF.6号，8G=5G-, 2 :GP=6N5-56-5-5-45+5x-2 2 在直角△FGP中， 4V5+V3x-2V15 2 解得x=2V5-2,BF=6-(25-2)=8-2V5, CF_25-235+1 BE8-2W57 综上： 的值为2点P在AC上D或5中（点P在BD上D,这句不写不扣分 11