江苏省南通市如东县2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024～2025学年度第二学期期中学情检测 高二数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D A A B B D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 9 10 11 ABD BC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 3 2 13． 14216 ． 32 5 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题 13 分） 2025 年 3 月 23 日，2025 南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，选手 杨俊婷以 1 小时 19 分 01 秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以 2 小时 25 分 53 秒获得 男子组亚军.为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民 占 40％，女性市民中有 65％的人喜爱跑步，男性市民中有90 ％的人喜爱跑步. （1）在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率； （2）用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取 3 人，设抽取的 3 人中喜爱跑步的 人数为 X，求 X 的分布列及数学期望. 【解】：（1）设此人喜爱跑步为事件 A， 则 ％％％％    P A 40 65 60 90 0.8 ， 所以此人喜爱跑步概率为 0.8. ……6分 （2）由（1）知，每位市民喜爱跑步的概率为 5 4 ， X的取值为：0，1，2，3   P X 5 125 0 1 1 3  ，   P X C 5 5 1251 4 1 12 3 1 2  ，   P X C 5 5 125 2 4 1 483 2 2  ，   P X 5 1253 4 64 2  ， ……10分 X 0 1 2 3 P 125 1 125 12 125 48 125 64 因为  43, 5X B ，所以   4 123 5 5 E X    . ……13分 16. （本题 15 分） 已知    1 n f x x   *n N . （1）若  f x 的展开式中第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 5:2 （i）求 n的值； （ii）若     20 1 21 n nf x f x a a x a x a x         ，求 1 2 32 3 na a a na       的值； （2）若 3n  时，函数     2 3 3g x f x mx x    的极大值点为 0x  ，求实数m 的取值范围. 【解】：（1） （i） 由题意得： 4 2 5 2 n n C C  ， ……2分 化简得   2 3 30n n   ，解得 8n  . 所以 n的值为 8. ……4分 （ii） 因为         8 8 2 8 0 1 2 81 1 2f x f x x x a a x a x a x             ， 两边同时求导得：     7 7 1 7 1 2 88 1 8 2 2 8x x a x a x a x         ， ……6分 令 1x  ，则 71 2 3 82 3 8 8 2 8 1016a a a a           . ……8分 (2) 当 3n  时，      2 3 23 3 3 2g x f x mx x x m x        ， 则    23 2 3g x x m x    ，令   0g x  ，得 2 60, 3 mx  ……9分 当 3m  时，   0g x ≥ ，无极值，舍 ……11分 当 3m  时，  g x 在  2 6 ,03 m  上递减，  0, 上递增， 则 0x  为极小值点，舍 ……13分 当 3m  时，  g x 在  ,0 上递增，  2 60, 3 m  上递减， 则 0x  为极大值点，符合， 所以实数m 的取值范围为  3, . ……15分 17. （本题 15 分） 已知函数    1x xf x axe a e x    . （1）若  f x 在 1x  处的瞬时变化率为 1 ，求实数 a的值； （2）在（1）的条件下，求  f x 在区间  0,1 上的最值； （3）若 0a  ，对于曲线  f x 的任意一条切线，都存在曲线   2 sing x x b x  的某条切线 和它垂直，求实数b 的取值范围. 【解】：（1）由   1x xf x axe e    ， ……1分 因为  f x 在 1x  处的瞬时变化率为 1 ， 所以  1 1 1f ae e      则 1a  . ……3分 （2）由（1）可知， 1a  ，则   2x xf x xe e x   ，    1 1 1x x xf x xe e x e       ， ……4分 因为 1x0≤ ≤ ，所以  1 0xx e ≤ ，即   0f x  ， 所以  f x 在  0,1 单调递减， 则     max 0 2f x f   ，     min 1 1f x f e    . ……8分 （3） 0a  时，   xf x e x   ，则   1xf x e      2 sing x x b x  ，则   1 2 cosg x b x   ， ……9分 所以曲线  f x 上的任意一点   1 1,x f x 处的切线斜率为 1 1 xe  ， 曲线  g x 上的任意一点   2 2,x g x 处的切线斜率为 21 2 cosb x 因曲线  f x 的任意一条切线，都存在曲线   2 sing x x b x  的某条切线和它垂直， 所以 1 2,x R x R    ，   1 21 1 2 cos 1xe b x     ，即 1 2 11 2 cos 1x b x e    ， 所以函数 1 1x y e   的值域是函数 1 2 cosy b x  的值域的子集， ……12分 因为函数 1 1x y e   的值域是  0,1 ，函数 1 2 cosy b x  的值域是 1 2 ,1 2b b     ， 所以 1 2 0 1 2 1 b b     ≤ ≥ ，解得 1 2 b≥ ，即 1 2 b ≤ 或 1 2 b≥ ， 所以实数b 的取值范围是 1 1, , 2 2         . ……15分 18. （本题 17 分） 为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传 统文化”知识竞赛.各班竞赛形式多样，其中高二（1）（2）两班竞赛规则最具代表性，请完成 以下两题： （1）高二（1）班班委会设置如下竞赛规则：从 6 道题中任选 2 题作答，2 题均答对就获得 “传统文化小达人”的称号.已知 6 道题中，同学甲能答对其中的 4 道题，求甲在已经答对一题 的前提下，没有获得“传统文化小达人”称号的概率； （2）高二（2）班班委会采取的竞赛规则：共设置 n道题，参加比赛的同学从第 1 题开始答 题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若 n道题全部答对，就获得一个小礼品. 已知同学 乙答对每道题的概率为 3 4 . （i）当 3n  时，设乙答题结束时，答题的个数为 X，随机变量 X的分布列及数学期望； （ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为 Y，求使得   2.4E Y  成立的 n的最小值. （参考数据： lg 2 0.301 ， lg3 0.477 ） 【解】： （1）设事件 A为甲已经答对一题，事件 B没有获得“传统文化小达人”称号， 则   26 1 14n A C   ，   1 1 4 2 8n AB C C   ， ……3分 所以       8 4 14 7 n AB P B A n A    ……5分 （2）（i）当 3n  时，X=1，2，3   3 11 1 4 4 P X     ，   3 1 32 4 4 16 P X     ，   3 3 93 4 4 16 P X     ， X 1 2 3 P 1 4 3 16 9 16   1 3 9 371 2 3 4 16 16 16 E X        ……10分 （ii）因为        3 31 , 0 14 4 k P Y k k n    ≤ ≤ ，    34 n P Y n  ， 所以               2 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 1 3 1 4 4 4 4 4 4 4 n E Y n                                 2 2 3 3 4 1 3 3 3 3 3 32 2 3 3 4 4 4 4 4 4 3 3 31 1 4 4 4 n n n n n n                                2 3 3 31 4 43 3 3 3 33 1 4 4 4 4 3 41 4 n n n                       ……15分 因为   2.4E Y  ，所以  33 1 2.44 n       ，则  3 14 5 n  ， 所以 1 lg 2 5.592 2lg 2 lg3 n     ， 所以使得   2.4E Y  成立的 n的最小值为 6. ……17分 19. （本题 17 分） 函数    2 1 1 ln 2 f x x ax ax x    . （1）若 0a  ，求  f x 的单调区间； （2）若 0a  ，函数   22mxg x e x mx   ，方程    2 0f x g x  有两个不相等的实数根， 求实数m 的取值范围； （3）若  f x 有三个不同的极值点  31 1 32 2, ,x x x x x x  ，证明    3 1f x f x . 【解】： （1）  f x 定义域为  0, ，   1 lnf x x a x x    ， 1x  时，   0f x  0 1x  时， 1 1 x  ，ln 0x  ，则 1 0x x   ，又 0a  ，则 ln 0a x  ，即   0f x  ， 1x  时， 10 1 x   ， ln 0x  ，则 1 0x x   ， ln 0a x  ，即   0f x  ， 所以  f x 的减区间为  0,1 ，增区间  1, . ……4分 另解：   2 1 1 0 a f x xx      ，所以  f x 在  0, 上单调递增， 又  1 0f   ，所以0 1x  时，   0f x  ， 1x  时，   0f x  所以  f x 的减区间为  0,1 ，增区间  1, . ……4分 （2） 若 0a  ，   2 1 ln 2 f x x x  ，则     22 2lnmxf x g x e mx x x     ， 方程    2 0f x g x  可化为 22 ln 22ln lnmx xe mx x x e x     ， 令   xh x e x  ，则    2lnh mx h x ， 因为   1 0xh x e    ，所以  h x 在 R 上单调递增， 所以 2ln 2lnmx x x  ， ……6分 法一：要使得方程    2 0f x g x  有两个不相等的实数根， 则方程 2lnmx x 有两个不相等的实数根， 令    2ln 0F x mx x x   ，则   2F x m x    ， ① 0m≤ 时，   2 0F x m x     ，所以  F x 在  0, 上单调递减， 所以  F x 至多有一个实数根，不合题意 ② 0m  时，  F x 在  20, m 上单调递减，在   2 , m  上单调递增， 要使得方程 2lnmx x 有两个不相等的实数根， 则    min 2 0F x F m  ，解得 20 m e   ， ……8分 当 20 m e   时， 2 e m  ， 因为    21 0, 0F m F m   ，所以  F x 在   20, m 上有且只有一个零点， 因为 2 4 2 mm  ，  2 24 4 4 2 22ln 2 2lnF m m mm m          ， 又    2lnG x x x x e   ，   21 0G x x     ，  G x 递增，     2 0G x G e e    ， 所以 2 22ln 0 m m   ，即 2 4 0F m       又  2 0F m  ，所以  F x 在   2 , m  上有且只有一个零点， 所以当 20 m e   时，方程    2 0f x g x  有两个不相等的实数根， 所以实数m 的取值范围为  20, e . ……11分 法二：(数形结合) 要使得方程    2 0f x g x  有两个不相等的实数根， 则 2ln xm x  有两个不相等的实数根， ……7分 令    2ln 0xF x x x   ，则     2 2 1 ln x F x x    ， 所以  F x 在  0,e 上单调递增，在  ,e  上单调递减， 所以  0,x e 时，    2,F x e  ，  ,x e  时，    20,F x e ，且 x 时，   0F x  ， 所以实数m 的取值范围是  20, e . ……11分 （3） 因为   1 lnf x x a x x    ， 若 0x 是方程   0f x  的根， 则 0 1 x 也是方程   0f x  的根，且，  1 0f   因为  f x 有三个不同的极值点  31 1 32 2, ,x x x x x x  所以 2 1 31, 1x x x  ……13分 要证    3 1f x f x ，只需证  1 1 1 0f x f x        ， 令     1 (0 1)x f x f x x           . 又  1 1 1 1 1 lnf x x a x x    ，则 1 1 1 1 ln x x a x   . 所以     2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ln 1 ln 2 2 ln ln x x f x x ax ax x x x x x                . 因为       ' ' 2 1 2 ln 1 1 [ ] , (ln ) x x x xx f x f f x x x x x                   .  2 2 2' 3 2 1 (ln ) 2ln 11 (ln ) x x x x f x x x              . 即             22 2 2 24 2 2 2 3 2 3 2 1 ln 12 1 ln 1 1 (ln ) (ln ) (ln ) x x xx x x x x x x x x x              . 因为0 1x  ，所以   0x  ，即  x 在  0,1 上单调递减. 又因为  1 0 ，所以   0x  在  0,1 上恒成立. 即   1 0f x f x        在  0,1 上恒成立.证得  1 1 1 0f x f x        恒成立， 即    3 1f x f x . ……17分 高二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意率项及各原答要求 1,本试卷共4页，包含[选择避(1-11D),共58分，填空题（第12题~第14盟，共15分） 解容题（第15~19题，共77分），本次考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，请将答 阻卡交回， 2。答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班圾、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字 笔写在答题卡上粗应的位置，并将考试证号用B铅笔正确填涂在答通卡的相应位盟。 3.答题时请同05意米的黑色签字笔在答题卡指定区城作答，在试卷或草裤纸上作若一律无效。 4。如有作图需要，可用2B铅笔作图。并请加需加粗，描写清能。 一、迹择题：本题共多小题，每小恩3分，共40分，在每小盟给出的四个选项中，只有一项 是符含题目要求的。 1.A+C= A.24 B.26 C.30 D.32 2.曲线y=r+x在点俱)处的切战方程为 A.2红-y-1=0 B,2x-y-3=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+1=0 玉已知函数闭=+r+上在(，D上单清递增。则实数a的取值范墨为 A.(-1.+) B.【-l+o) C.(3+o) D.3+o 《使0[x的分南列表系际则 人有最大值，最小值好 B有经大值子最小性号 1 13 C有是大植子，无最小恒 P D无大值有小子 三甲.乙，丙.丁4名同学进行劳动技术比率，决出第1名到第4名的名次甲和乙去向老师淘问成绩， 老师对甲德：很遗够，你和乙都没有得到冠军对乙说：“你当然不会是最整的”从这两个回答分 析，4人的名次排列的情形有 A,8种 B,18种 C,54种 D.64种 有二教单第1票（类车到） 6.已知函数)：（以+）氏有极大值又有板小值，则实数▣的取值戴围是 A.【-4 B.(-400 D.0,4月 不人工智检餐装匙页叶新公PPP站在T世开中心位置，N关整是一项深度伤 P(B) 造技术，某视频同站利用该技术参入了一整A视频。“A"视频占有率为Q,L,某团队决定用对 抗A山，研究了深度整伪技木来器视须的真假。该整伪技术的准确率是09，即在减找频是伪造的 情况下，它有%的可能整定打严它的误报率是0.4，即在该规顾是真实的情况下，它有40% 的可能鉴定灯A”,己知某个视猴被鉴定为A,则该视须是“人合成的可能性为 A0.1 B.02 C.03 D.04 8.定文方程/)=f广()的实数操x叫做函数了)的新驻点，若函数了（国）=#，()-x之-2x+2 h(x=l血x的新柱点"分别为a,b:c,则a,b,c的大小关系为 A.c>b>a B.b>exc C.e>a>b D.b>e>a 二，这择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 企部选对的得5分，部分遮对的得部分分，有选罐的得·分。 马。下列求导强算正确的是 人(-B(o时hrc(可名D时+s 10。设样本空阀0=1之14利，且每个样本点是等可能的，已如事件4=红2.B=包3到.C一九，4号，则 下列结论正确的是 人事件A与B为互斥率件 B.事件AB,C两两相互教立 CP4+明-号 DP(c)-号 L。连续函数y=()悬定文域为R的偶函数，且在区圆(0，+回上单调递增，则下列说法正确的是 A函数y=+f八)在0，回)上单调递增B.函数y=(因在(0，回)上单调速增 C函数y=州存在极小值点 D.著f02则f在+0+到 三、填空驱：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12已知随机变量X-的小，若E(X)-L,则D(X)=A一 13.已知(g+2红-3)=4+x+a2+%2++4,则4=人 高二数华第2页（共4） 达集合真有知下性：香某集合内有：个忧累，则滨集合共有子熊的个最为2？”。果有集合M内含 有3个元票，则其共有八个子盘，分到为M,M,-从，甲、乙两铜学依次各取一个杆集分脑记 为M,M1风，/可以相属。MnM,中元素的个数为m:则m过的瓶率九人 ·召、解若题：本题共多小思，共刀分，解答应第出文字世明、证骋过程成有算步理 长（本避B分） 2位5年3月3日。5南通马拉松在南速大酬陕和美术馆东侧鸣检开麻，经过角是中国选手 每使婷似1小时停分1秒获得半程耳拉松女子组婴某，透平骚篷成以2小时25分日世森裤马拉松 男于银亚不，为了解本地区南民对萄步运动的喜爱情况，随机调查了草分市民，其中文性市院占的%， 女性市民中有6够⅓的人喜爱腾步，男性市民中有0%的人喜爱藏岁 ()在被调查的市民中任透一人，求兰人喜爱跑步领率： (2)用规率估计解率，从本地区的所有审民中德机拉取3人，设挂取的3人中喜爱克声的人数为 X求X的分市列及数学期望 1本题15分) 已蜘回-0+eN） ()着代日的属开女中第3项与第3项的二项式系数之比为5妇 (伯求际销值： 田若f代国+/代-刘小4+4吗++，果4+24+3鸡++照的值 (2)着床3时，幽最小-小-3江-3转极大值点为x=0,术实数m的取植葱国 17.(体道15分) 已数f)-d-(e+1)-r (1)看八问在x-1处的瞬时变化率为-1，求实数a的监1 a)在()的条作下，求化)在区例0，可上约最值1 (3)若a=0,对于白线代时的任意一条树线，醇存在面线g()-+2动如x的美绿切线和它垂直， 术实数小的家值花围 本二我等第项（体4） 1缘（本避1行分） 为了能不断地传承与弘斯中圆传统文化，某校真二年绿各班在周纸会课上进行了~中国传统文化 知识度寒各班竞摩形式多样，其中高工()2)两克变套根则最具代表世，情克成拟下两愿： (1)高二(1)痴班委会设置如下竞赛规哪：从6道题中任墙2题作春。2题均管对载获得传统 文化小达人的际号.已知6道题中同学甲能答对其中的4理&。农甲在已是答对一题的前提下，没有 获得传统文化小站人移辱的腰率 (2)高二(2)爽班委会采取的克赛规则：共没置m速题。参加比赛的同学从第1感开始答思，答 对就进入下一愿。答确测典止着燕，若和道愿全部答对，就我得一个小礼品。已知用学乙答对每填酒 的餐率为} ()当m一J时。授乙苦题结桌时，答葛的个数为X随机变量X的分布列及数学期恒： 《)段乙答姑桌时，答对题目的个数为1，求使得（们>24成立的际的最小值 (参考数提：g2=0301:起3m047) 1线（本题17分》 商意代对式+证-（匹+恤 (1)若a<0,求f八因的单满区闻： (2)若a=0,国数g)=严-2+m,方程2代小+g)=0有两个不相等的实数根，求实最 丽的取值范围： (3)若八回有三个不调的极值点移丙（行<与<马），证明/八与）<代与) 离二食单票4（瑞4）