专题08 空间几何体的表面积与体积6种常考重点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题08 空间几何体的表面积与体积6种常考重点题型 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 题型四：圆柱、圆锥、圆台、球的体积 题型五：组合体的体积 题型六：体积或表面积的最值问题 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（  ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【解析】 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为． 故选：C. 2.在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（  ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 3.正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图， 连接，当分别为与的交点时，的周长最小， 此时，而，，则，， 所以三棱锥的侧面积为. 故选：A 4.如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 5.如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（  ） A． B． B． C． D．    【答案】A 【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 6.（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（  ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【解析】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 7.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【解析】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 8.已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为 【答案】512 【解析】设正四棱台的高为，由棱台的体积公式得，解得， 令正四棱台上下底面中心为，一个侧面等腰梯形上下底边中点分别为， 则四边形为直角梯形，，， 于是该正四棱台的斜高， 所以该正四棱台的表面积（）. 故答案为：512 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 9．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 10.已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台表面积. 故选：B 11.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所得几何体的表面积为， 故选：D 12.已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 13.（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 故选：BD. 14.如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 【答案】 【解析】设圆锥母线长，底面半径为，由题意，即， 侧面展开的扇形的弧长是，于是侧面积为， 底面积为，故表面积为. 故答案为： 15.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为_________ 【答案】 【解析】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故答案为： 16.如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为___________ 【答案】 【解析】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故答案为： 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 17．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（  ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】. 故选：B. 18.已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 19.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，棱台的高，表示上下底面面积， 所以棱台的体积 . 故选：A. 20.一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 21.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积（  ） A．8 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【解析】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积为，即， 三棱柱的体积为，即，因此 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为. 故选：D. 22.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为_________ 【答案】 【解析】 由已知可得：，可得，再由可得， 所以正四棱锥的体积为：， 故答案为：. 23.如图所示的正方体的棱长为a，则三棱锥的高为____________；体积为____________． 【答案】 【解析】设三棱锥的高为h， 在正方体中，， 所以是等边三角形，即， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以三棱锥的高为． 故答案为：，. 24.在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 【答案】 【解析】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形，正四棱锥的高为正方体棱长的一半，即， 所以正八面体的体积为. 故答案为： 25．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【解析】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 题型四：圆柱、圆锥、圆台、球的体积 26．圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有：， 所以 故选：D. 27.已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意知，所以，又， 所以，所以圆锥的体积． 故选：D 28.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径， 由正弦定理可得，则， 易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为. 故选：A. 29.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高， 所以，根据侧面积相等有，即， 综上，圆柱体积，圆锥体积， 所以. 故选：D 30.已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面面积为，圆台另一个底面的面积为，高为， 则圆台的体积为：，圆锥的体积为：， 由题意可知：， 即：，变形可得：， 解得：（负值舍去），则. 故选：B 31.冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（  ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 32.已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则，可得， 则， 由圆锥的体积为，则，可得． 故选：D． 33.已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为， 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，所以， 所以圆锥的体积为，圆柱的体积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，化简得， 所以圆柱和圆锥的底面半径之比为, 故选:C. 题型五：组合体的体积 34.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】半球的体积为，圆柱的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为. 故选：A. 35.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 36.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（  ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【解析】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 37.一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示， 该组合体的表面积是: ; 体积是． 故答案为： 38.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为_________-    【答案】 【解析】    计算正方体体积：， 计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：， 最后可得组合体体积： 故答案为： 39.如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________. 【答案】 1 4 【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于的方程，求出即可计算求解长方体的体对角线长度. 【解析】，，E为的中点，， 由题长方体体积为 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为， 所以， 所以长方体的体对角线长度为. 故答案为：1；4 40.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 【答案】(1)所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体 (2)表面积为；体积为． 【解析】（1）根据题意知，将所得平面图形绕直线旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体； （2）该组合体的表面积为 ， 组合体的体积为 ． 41.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 42.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 题型六：体积或表面积的最值问题 43．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 44.已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则， 轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4， 体积为，则，又因为，所以， 故． 故选：C. 45.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（  ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【解析】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故选：C. 46.知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 47.已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】9 【解析】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 48.将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】 【解析】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 49.已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为________ 【答案】 【解析】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故答案为： 50.如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】 / / 【解析】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 空间几何体的表面积与体积6种常考重点题型 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 题型四：圆柱、圆锥、圆台、球的体积 题型五：组合体的体积 题型六：体积或表面积的最值问题 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（  ） A．20 B．16 C．24 D．6 2.在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（  ） A．10 B．8 C．4 D．2 3.正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（  ） A． B．1 C． D．2 4.如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（  ） A． B． C． D． 5.如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（  ） A． B． B． C． D．    6.（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（  ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 7.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 8.已知正四棱台的上下底边长分别为，正四棱台体积为，则此表面积为 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 9．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（  ） A． B． C． D．2 10.已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（  ） A． B． C． D． 11.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（  ）    A． B． C． D． 12.已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（  ） A． B． C． D． 13.（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（  ） A． B． C． D． 14.如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的表面积为 ． 15.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为_________ 16.如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为___________ 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 17．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（  ） A．12 B．14 C．15 D．16 18.已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（  ） A．2 B． C．1 D． 19.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（  ） A． B． C． D． 20.一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（  ） A． B． C． D． 21.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积（  ） A．8 B．12 C．24 D．28 22.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为_________ 23.如图所示的正方体的棱长为a，则三棱锥的高为____________；体积为____________． 24.在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 25．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 题型四：圆柱、圆锥、圆台、球的体积 26．圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（  ） A． B． C． D． 27.已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 28.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 29.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（  ） A．2 B． C． D． 30.已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（  ） A． B． C． D． 31.冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（  ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 32.已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（  ） A． B． C．2 D．3 33.已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（  ） A． B． C． D． 题型五：组合体的体积 34.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（  ） A． B． C． D． 35.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（  ） A． B． C． D． 36.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（  ）    A．108 B．162 C．180 D．189 37.一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m，高为2m的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是 ，体积为 ． 38.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为_________-    39.如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________. 40.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 41.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 42.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 题型六：体积或表面积的最值问题 43．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（  ） A． B． C． D． 44.已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（  ） A． B． C． D． 45.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（  ） A．6 B．12 C．16 D．24 46.知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 47.已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 48.将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 49.已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为________ 50.如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $