专题09 外接球和内切球12种常考难点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题09 外接球和内切球12种常考难点题型 题型一：外接球模型1：墙角模型外接球（还原正方体、长方体） 题型二：外接球模型2：对棱相等模型（还原长方体） 题型三：外接球模型3：斗笠模型（正椎体） 题型四：外接球模型4：垂面模型（一条侧棱垂直底面） 题型五：外接球模型5：汉堡模型（直棱柱） 题型六：外接球模型6：切瓜模型（两个平面垂直） 题型七：外接球模型7：直角三角形拼接模型 题型八：外接球模型8：折叠模型 题型九：柱体内切球 题型十：椎体内切球 题型十一：台体内切球 题型十二：外接球和内切球的最值问题 题型一：外接球模型1：墙角模型外接球（还原正方体、长方体） 1．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则， 由于三棱锥的表面积为，且各侧面均为等边三角形， 所以，可得， 所以正方体外接球半径为，故体积为. 故选：B 2.在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 故选：A 3.在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（  ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【解析】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 4.如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则四面体的外接球体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因为折前，，， 所以折后，，， 如图所示： 则四面体的外接球半径， 从而四面体的外接球体积. 故选：D． 5.已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解析】因为，，，所以， 如图所示： 取的中点，连接，则，，， 所以平面，作于，又平面， 平面，则，， 所以 平面，则是直线与平面所成角， 即，在直角三角形中， . 则 ，，则，故. 所以两两互相垂直，四面体的外接球的半径. 故答案为： 6.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【解析】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 7.在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为_____- 【答案】 【解析】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 8.一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为 ． 【答案】 【解析】设球的半径为，长方体外接球的直径长等于长方体体对角线长， 即，故， 所以． 故答案为：. 题型二：外接球模型2：对棱相等模型（还原长方体） 9．在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 10.已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，将该四面体放置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分别为 体对角线长为 其外接球半径 因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为 则即解得 或即此时无解， 故所求长度为． 故选：C． 11.在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故选：A． 12.如图已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，      此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 13.已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为__________ 【答案】 【解析】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故答案为： 题型三：外接球模型3：斗笠模型（正椎体） 15．在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正四棱锥中，，设，连接， 则平面，所以为与平面所成角， 设四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接， 依题意， 因为与平面所成角的余弦值为，即， 则，所以， 设四棱锥外接球的半径为，则 ，解得， 所以四棱锥外接球的体积． 故选：D． 16.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 17.已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 18.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_______． 【答案】 【解析】如图，设球心为，半径为， 则中，，解得， ∴该球的表面积为． 故答案为： 19.在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 题型四：外接球模型4：垂面模型（一条侧棱垂直底面） 20．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 21.已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 22.如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 23.古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A. 24.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 25.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】 【解析】因为平面，我们将三棱锥补成长方体. 在中，，， 设，根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里就是长方体底面长方形外接圆半径. ，即，解得. 又因为，这个就是长方体的一条棱. 设外接球半径为，根据长方体的体对角线长等于外接球的直径. 长方体底面长方形的对角线长为，长方体的一条棱. 根据长方体体对角线公式（这里，和是底面长方形的两条边，其对角线长为），则体对角线. 因为，所以. 故答案为：. 26.在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________ 【答案】 【解析】因为为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 27.已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】 由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 由图可知长方体的长宽高分别为， 所以体对角线长， 所以外接球的体积等于. 故答案为:. 28.已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【解析】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 29.在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 题型五：外接球模型5：汉堡模型（直棱柱） 30．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 故选：B. 31.已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为.    故选：B. 32.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8    【答案】C 【解析】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故选：C.    33.已知正三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 三棱柱为正三棱柱，则设，， ∴正三棱柱的侧面积为，∴， 又外接球半径， 当且仅当时，等号成立，此时，， ∴外接球表面积. 故选：A 34.若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是_________- 【答案】 【解析】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为， ∴，∴， 取三棱柱的两底面中心，连结， 取的中点，则为三棱柱外接球的球心， 连结，则为三棱柱外接球的半径． ∵是边长为的正三角形，是的中心， ∴． 又∵ ∴． ∴三棱柱外接球的表面积. 故答案为：.    35.在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________- 【答案】 【解析】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故答案为：. 题型六：外接球模型6：切瓜模型（两个平面垂直） 36．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（  ） A．4π B．6π C．8π D．12π 【答案】A 【解析】令正方形对角线交点为，在四面体中，， 因此四面体的外接球的球心点为，半径为1， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A 37.在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（  ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【解析】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 38.在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图取的中点，的中点，连接，则， 因为为等腰三角形，所以, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为直角三角形，且，所以为的外心， 设三棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以‖， 在等腰中，，， 则，的外心在外， 所以， 在中，，则， 所以 设三棱锥的外接球的半径为，则， 过作交延长线于点，则， 在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 39.四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 故选：C. 40.已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设AD的中点为E，设交于点O，连接， 由于，则, 而平面⊥平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故 ,底面为正方形，则， 又，故， 而，即O为四棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为， 故选：A 41.如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【解析】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 故答案为：. 42.如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【解析】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 故答案为：. 题型七：外接球模型7：共直角三角形斜边拼接模型 43．已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 44.已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，. 记矩形的对角线与交于点， 则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 45.已知矩形，其中，点沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由于都为直角三角形， 所以外接球的球心就是中点，点在翻折过程中， 其外接球的直径始终为 . 故答案为：. 46.在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为_____________ 【答案】 【解析】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 47.三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________ 【答案】 【解析】取的中点，因为，连接， 所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以， 所以是直角三角形； 又因为， 所以 所以外接球的表面积为. 故答案为： 48．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为_______ 【答案】 【解析】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故答案为：. 题型八：外接球模型8：折叠模型 49．在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A．56π B．52π C．48π D．64π 【答案】D 【解析】取的中点，连接，将三棱锥补成直三棱柱， 因为，所以， 设外接圆的半径为，又， 利用正弦定理可得，即， 直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为， 根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径， 则球的表面积为. 故选：D． 50.如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为（  ） A．π B．3π C．6π D．9π 【答案】C 【解析】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故选：C． 51.如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为__________ 【答案】 【解析】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故答案为： 52.在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】如图，取中点，连接，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，连接， 由原平面图形是菱形，且，知，分别在上，且， 是二面角的平面角，因此，是等边三角形，边长为，， 中，，所以， 又，所以， 所以四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 53.如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】对第一种情况，如下图： 取的中点，连接，，在线段上取点，使得，则为正三角形的重心. 因为，所以为的外心，即. 又为等边三角形，所以，又平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 又为正三角形的重心，所以也是正三角形的外心，所以. 所以为的外接球球心. 因为，所以，所以外接球半径. 所以外接球表面积为：. 对第二种情况：如图： 因为为的外接圆圆心，为正的外接圆圆心. 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心. 因为二面角的余弦值为， 所以，所以. 又，所以. 所以三棱锥外接球. 所以此时三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：； 54.如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    【答案】 3 【解析】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 55.已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【解析】 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角的平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 故答案为： 题型九：柱体内切球 56．已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 57.已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故选：A 58.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 59.若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【解析】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为. 故答案为： 60.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ． 【答案】 【解析】设圆柱的内切球的半径为，因为圆柱的体积为，所以，解得， 设该球的内接正方体的棱长为，则，即， 所以该球的内接正方体的体积为． 故答案为： 61.为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6cm． (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积； (3)求模具顶点到内壁的最短距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，内壁的面积即正三棱柱内切球的表面积． 如图，过三条侧棱的中点M，N，G作正三棱柱的截面， 则球心O为的中心．连接MO并延长交GN于点H． 因为，所以内切圆的半径， 即内切球的半径，所以内切球的表面积，即内壁的面积为． （2）由题意得，材料的体积即正三棱柱的体积减去其内切球的体积． 由（1）得正三棱柱的高． 因为，， 所以，即制作该模具所需材料的体积为． （3）由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相等．如图，连接OM，OA， 则由（1）知，所以， 所以A到球面上的点的距离最小值为， 即模具顶点到内壁的最短距离为． 题型十：椎体内切球 62．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故选：C 63.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等体积法求出内切球的半径即可进一步求解. 【解析】如图， 正八面体的棱长为1，点为中点（显然根据对称性可知点也是内切球球心），显然平面， 因为直线平面，所以， 在正方形中，， 所以， 正八面体的表面积为， 设内切球半径为， 由等体积法有，， 解得，内切球的表面积为. 故选：A. 64.已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大. 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以， 故选：B. 65.将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】 【解析】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 66.已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为_________ 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由题意可得：，由勾股定理可得：， 设圆锥的内切球半径为，如图可知：， 由勾股定理可得：， 解得：， 所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：， 故答案为： 67.在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【解析】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 68.已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)；(2)，． 【分析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【解析】（1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 题型十一：台体内切球 69．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 70.已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图为该几何体的轴截面， 其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线， 因此，从而，故． 设圆台的体积为，球的体积为，则 故选：A． 71.某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切， 则圆台内切球的球心O在的中点处， 设球O与母线切于M点， 所以，且，， 则， 同理，所以， 过A作，垂足为G， 则， 所以， ，即圆台的高为， 该圆台的体积为， 解得， 则球的直径，半径为， 则球的体积为. 故选：B. 72.（多选）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（  ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【解析】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 73.已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为__________ 【答案】 【解析】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故答案为： 74.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为_________ 【答案】 【解析】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故答案为： 75.已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________. 【答案】 【分析】求出内切球半径，得到圆台的高，根据圆台与内切圆之间的关系，求出上下底面半径与的关系，代入圆台的体积公式化简，结合的范围即可求出圆台体积的范围. 【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，内切球半径为. 由内切球的体积为可得，，解得， 所以圆台的高. 因为母线与底面所成角为，所以，， 所以，. 因为圆台有内切球，所以满足（切线长定理）， 联立解得， . 圆台的体积为 . 因为，所以，，， ，所以. 故答案为：. 76.如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）设底面圆心为，半径为，利用正弦定理即可求出，利用圆锥的侧面展开图是半圆即可求出，即可求出圆锥的高，设圆锥外接球半径为，建立方程求出即可求解； （2）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为，利用相似三角形即可求出，根据圆台的体积公式即可求解. 【解析】（1）设底面圆心为，半径为，所以. 由正弦定理可知，则. 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以，所以圆锥的高. 设圆锥外接球的半径为，则，解得， 所以外接球的表面积为. （2）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为， 由图根据三角形相似可知，解得，， 所以圆台的体积为. 题型十二：外接球和内切球的最值问题 77．已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故选：B． 78.已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 79.已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，当点到平面的距离取最大值时，则平面， 又，所以为等边三角形， 过点作与平面平行的平面，，得到正三柱， 则三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，如图：   ， 设外接球半径为， 则， 所以球的表面积. 故选：D. 80.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，且球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 因为，故球心在线段上， 又S是正四棱锥的表面上的一点，的最小值即球心到平面的距离， 且. 故选：B 81.在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 82.四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【解析】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 83.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 【答案】16 【解析】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故答案为：16． 84.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则___________ 【答案】 【解析】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 85.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 【答案】 【解析】设圆柱的高为h，则，故， 酒杯的体积为， 半球积分为，由题意可得， 则，又， 则，故， 而取3，故， 故答案为： 86.在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】/ 【解析】因为，所以底面为正三角形，， 由于，所以当垂直底面时体积最大， 将三棱锥放在正三棱柱中，则它们的外接球相同， 设上下底面的外接圆圆心分别为，则中点即为外接球球心， 对于，由正弦定理可得，则， 由于，则， 即外接球半径为，其表面积为. 故答案为：. 87.已知三棱锥，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则________. 【答案】 【分析】画出对应图形，有题目条件可得其中相应线与线、线与面的位置关系，结合勾股定理可计算出相应长度，即可确定三棱锥的外接球球心及半径，以及四棱锥的外接球球心及半径与的关系，当三棱锥体积最大时，借助等体积法与基本不等式可得此时、的长度，即可帮助确定四棱锥的外接球半径的具体值，即可得解. 【解析】由、，取中点， 则， 故为三棱锥外接球球心，且其半径， 由平面，且、平面，故，， 又，、平面，且， 故平面，又、平面， 故，， 又，且、平面，， 故平面，又、平面， 故，， 又，、平面，， 故平面，又平面，故， 又，故， 连接，取中点，则为四边形外接圆圆心， 连接点与中点，则，又平面， 故平面，即平面， 又，故为四棱锥的外接球球心， 且其半径， 由平面，故， ， 由，故， 有， 则，当且仅当时等号成立， 故三棱锥体积最大时，有， 由，则， 由，，则有，则有，解得， 故，则. 故答案为：. 88.如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【解析】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 外接球和内切球12种常考难点题型 题型一：外接球模型1：墙角模型外接球（还原正方体、长方体） 题型二：外接球模型2：对棱相等模型（还原长方体） 题型三：外接球模型3：斗笠模型（正椎体） 题型四：外接球模型4：垂面模型（一条侧棱垂直底面） 题型五：外接球模型5：汉堡模型（直棱柱） 题型六：外接球模型6：切瓜模型（两个平面垂直） 题型七：外接球模型7：直角三角形拼接模型 题型八：外接球模型8：折叠模型 题型九：柱体内切球 题型十：椎体内切球 题型十一：台体内切球 题型十二：外接球和内切球的最值问题 题型一：外接球模型1：墙角模型外接球（还原正方体、长方体） 1．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 2.在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 3.在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（  ） A．50 B．100 C．150 D．200 4.如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则四面体的外接球体积为（  ） A． B． C． D． 5.已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 6.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 8.一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为 ． 题型二：外接球模型2：对棱相等模型（还原长方体） 9．在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 10.已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（  ） A． B． C． D． 11.在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 12.如图已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 13.已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为__________ 题型三：外接球模型3：斗笠模型（正椎体） 15．在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 16.已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 17.已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 18.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_______． 19.在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 题型四：外接球模型4：垂面模型（一条侧棱垂直底面） 20．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（  ） A． B． C． D． 21.已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 22.如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 23.古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 24.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（  ） A． B． C． D． 25.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 26.在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________ 27.已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为 . 28.已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 29.在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 题型五：外接球模型5：汉堡模型（直棱柱） 30．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（  ） A． B． C． D． 31.已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 32.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8    33.已知正三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 34.若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是_________- 35.在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________- 题型六：外接球模型6：切瓜模型（两个平面垂直） 36．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（  ） A．4π B．6π C．8π D．12π 37.在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（  ） A．96π B．84π C．72π D．48π 38.在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A． B． C． D． 39.四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（  ） A． B． C． D． 40.已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 41.如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 42.如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 题型七：外接球模型7：共直角三角形斜边拼接模型 43．已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（  ） A． B． C． D． 44.已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（  ） A． B． C． D． 45.已知矩形，其中，点沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，三棱锥的外接球的体积为 . 46.在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为_____________ 47.三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________ 48．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为_______ 题型八：外接球模型8：折叠模型 49．在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（  ） A．56π B．52π C．48π D．64π 50.如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为（  ） A．π B．3π C．6π D．9π 51.如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为__________ 52.在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 53.如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 54.如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    55.已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 题型九：柱体内切球 56．已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 57.已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为（） A． B． C． D． 58.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（  ） A． B． C． D． 59.若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 60.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为．若圆柱的体积为，则该球的内接正方体的体积为 ． 61.为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6cm． (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积； (3)求模具顶点到内壁的最短距离． 题型十：椎体内切球 62．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（  ） A． B． C． D． 63.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（  ） A． B． C． D． 64.已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（  ） A． B． C． D． 65.将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 66.已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为_________ 67.在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 68.已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 题型十一：台体内切球 69．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（  ） A．2 B． C． D．3 70.已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（  ） A． B． C．2 D． 71.某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（  ） A． B． C． D． 72.（多选）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（  ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 73.已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为__________ 74.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为_________ 75.已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________. 76.如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积. 题型十二：外接球和内切球的最值问题 77．已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（  ） A． B． C． D． 78.已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 79.已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 80.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 81.在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（  ） A． B． C． D． 82.四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 83.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 84.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则_________ 85.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 86.在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为________. 87.已知三棱锥，面，，交于，交于，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，则________. 88.如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $