专题01 基本立体图形9种重难点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题01 基本立体图形10种重难点常考题型 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 题型二 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 题型三 正棱锥、正棱台及其有关计算 题型四 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 题型五 圆柱、圆锥、圆台及其有关计算 题型六 圆柱的展开图及最短距离问题 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 球及球的有关计算 题型九 简单组合体及其有关计算 题型十 基本立体图形与其他章节的融合 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 1．下列命题正确的是（  ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 【答案】D 【分析】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可. 【解析】对于A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误； 对于B，正八面体的所有面都是三角形，则B错误； 对于C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误； 对于D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确. 故选：D. 2.下列命题正确的是（  ） A.底面是矩形的平行六面体是长方体； B.棱长都相等的直四棱柱是正方体； C.侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； D.对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 【答案】D 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，A为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，B是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，C是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，D是真命题. 【解析】A是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. B是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. C是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. D是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：D． 3.多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【解析】充分性：多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足； 必要性：当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足. 故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件. 故选：A. 4.下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【解析】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 5.给出下列四个命题，正确的是（  ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【解析】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（  ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【解析】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 题型二 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 7．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解. 【解析】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示， 因为，即， 由的周长为， 要使的周长的最小，则共线，即， 又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， 所以，即虫子爬行的最短距离是. 故选：B. 8.在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【解析】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B 9.如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（  ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【解析】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 10.已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【解析】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 11.如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【解析】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 12.如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【解析】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故答案为：. 13.正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为_____________ 【答案】 【分析】将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内，连接，则的长即为三角形周长的最小值，由勾股定理求出答案. 【解析】如图所示，将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内， 对应于，点对应点，连接，分别交于点， 故， 则的长即为三角形周长的最小值， 其中，， 由勾股定理得. 故答案为：. 14.在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将将底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【解析】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 15.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 题型三 正棱锥、正棱台及其有关计算 16．已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据正六棱锥的结构特征，借助于易求得其高线长. 【解析】 如图，因为正六棱锥的底面边长为1， 由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，. 所以正六棱锥的高为. 故选：C. 17.如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【解析】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 18.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【解析】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 19.已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【答案】 【分析】根据顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心，求出AO，然后由勾股定理可得. 【解析】如图，在正三棱锥中，， 由正三棱锥的性质可知，顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心， 则， 所以. 故答案为： 20.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为___________ . 【答案】 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【解析】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为： 题型四 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 21．下列对于圆柱的各判断中正确的是（  ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【答案】C 【分析】由旋转体的结构特征依次判断各个选项即可得到结果. 【解析】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误； 对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误； 对于C，由圆柱的定义知C正确； 对于D，圆柱有无数条母线，D错误. 故选：C. 22.下列说法正确的是（  ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 【答案】B 【分析】利用圆台的定义判断A，B；利用圆锥、圆台的定义判断C；利用棱台的定义判断D作答. 【解析】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，A错误； 根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确； 根据圆锥、圆台的定义知，圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，C错误； 棱台的两个底面相似，其中较小的面是上底面，较大的面是下底面，D错误． 故选：B 23.（多选）给出下列命题命题是（  ） A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 【答案】AC 【分析】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【解析】解：A根据圆锥的母线的定义，可知A正确； B把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误； C根据圆台的定义，可知C正确； D当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误． 故选：AC． 24.（多选）下列说法正确的是（  ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断. 【解析】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于时，，即， 所以圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）； 故选：BCD． 25.将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【解析】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 题型五 圆柱、圆锥、圆台及其有关计算 26．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可. 【解析】设底面半径为， 易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线， 所以. 故选：B 27.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【解析】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D. 28.已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面展开图的特点列出方程求解即可得出答案. 【解析】 设圆的半径为，则底面圆的周长为. 由题意得：弧长度为. 根据圆锥侧面展开图的特点，可得：，解得. 故选：A. 29.（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（  ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 【答案】ABD 【分析】根据圆台的性质计算判断． 【解析】圆台的轴截面是等腰梯形，D正确； 设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即， 所以，A正确； 表面积为，B正确； 高，C错误． 故选：ABD． 30.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 【答案】4 【分析】作出辅助线，得到各边长，由勾股定理求出圆台的高. 【解析】如图所示，为圆台的轴截面，分别为上下底面圆心， 则，， 过点作⊥于点，则，， 在中，由勾股定理得， 故圆台的高为4. 故答案为：4 31.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【解析】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 题型六 圆柱的展开图及最短距离问题 32．圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【解析】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 33.如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（  ）    A． B．2cm C． D．1cm 【答案】A 【分析】小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求. 【解析】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，    在中，，， ∴. 故小虫爬行的最短距离是. 故选：A. 34.如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【解析】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 35.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（  ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果. 【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺）， 因此葛藤最少长（尺）. 故选：C. 36.如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【答案】15 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【解析】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 37.（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【解析】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 38．圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（  ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可. 【解析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 39.如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（  ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 40.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径. 【解析】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故选：A 41.圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为弧度，沿圆锥侧面移动到D，利用余弦定理可求最短距离. 【解析】 如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形， 设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半， 得：，即， 在中，点是的中点，由余弦定理得： ， 所以，故所求的最短距离为. 故答案为：. 42.如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为，母线长为，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长. 【答案】沿线段爬行； . 【分析】把圆锥沿过点的母线展成扇形，由题意得到蚂蚁爬行的最短路径为线段；利用扇形的弦长与半径即可求出，过作于点，通过在中求出的长 即可求线段的长. 【解析】把圆锥沿过点的母线展成如图所示的扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段， 由题意知，圆锥的底面周长为，， 设，则， 过作于点，则， 在中，，， 所以. 所以小蚂蚁沿线段爬行，才能最快到达点A，且该路径的长为. 题型八 球及球的有关计算 43．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【解析】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 44.若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径. 【解析】设球心为，半径为， 若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得． 故球的直径为． 若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图： 设， 由题可得，，，， 则，解得（不合题意舍去）． 故选：D． 45.设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，则这两点之间纬线的长度为__________． 【答案】 【分析】先得北纬纬圆半径，再由弧长公式即可得结果. 【解析】地球的半径为，在北纬纬圆半径为， 由于两点的经度差是， 所以这两点间的纬线的长为：. 故答案为: 46.球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案. 【解析】设球的半径为,球心为由题意，， 所以， 所以在中，由于，所以， 所以，D两点间的球面距离为. 故选：A 题型九 简单组合体及其有关计算 47．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（  ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C. 48.如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（  ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 49.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（  ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【答案】A 【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【解析】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 50.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（  ）    A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 【答案】ABD 【分析】A选项：求出正四面体的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度. 【解析】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示： 取的中点，连接，过点作于点，则为等边的中心， 外接球球心为，连接，则为外接球半径，设，    由正四面体的棱长为2，则，， ， ，， 由勾股定理得：，即，解得：， 此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点， 其中与共面，其中即为正四面体外接球半径， 设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确； B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：    面积为，B正确； C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又， 由余弦定理得：， 故，且半径为，故交线的长度等于，C错误； D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示： 连接，交于中点，交于中点，连接，则， 则由C选项的分析知：， 所以， 故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确. 故选：ABD. 51.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则_________    【答案】2 【分析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，根据题意，结合勾股定理和三角形相似，求解即可. 【解析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示， 由题意可得， 因为正四棱锥的底面边长为6，所以，， 的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，， 因为，所以，， 因为，所以，. 故答案为：2 52.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为 .    【答案】 【分析】将几何体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），利用两点之间线段最短求的最小值. 【解析】由题设，该半正多面体的展开图如下图示，    根据已知及几何体结构知：，，且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故答案为： 题型十 基本立体图形与其他章节的融合 53.如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 【解析】如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 54.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【解析】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 55.几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【解析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 56.如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接计算体积和表面积得到答案. （2）当路径经过正方体表面时，；当路径经过半圆柱表面时，，根据大小关系得到答案. 【解析】（1）几何体的体积为： ； 几何体的表面积为：， （2）当路径经过正方体表面时，； 当路径经过半圆柱表面时，； 取，即， 当时，，， 当时，，， 即 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 基本立体图形10种重难点常考题型 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 题型二 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 题型三 正棱锥、正棱台及其有关计算 题型四 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 题型五 圆柱、圆锥、圆台及其有关计算 题型六 圆柱的展开图及最短距离问题 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 题型八 球及球的有关计算 题型九 简单组合体及其有关计算 题型十 基本立体图形与其他章节的融合 题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征和分类 1．下列命题正确的是（  ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 2.下列命题正确的是（  ） A.底面是矩形的平行六面体是长方体； B.棱长都相等的直四棱柱是正方体； C.侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； D.对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 3.多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 5.给出下列四个命题，正确的是（  ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（  ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 题型二 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题 7．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（  ）    A． B． C． D． 8.在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（  ） A．6 B． C．8 D． 9.如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（  ） A．2 B．4 C． D． 10.已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（  ） A． B． C． D． 11.如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 12.如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为_____________ 13.正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为_____________ 14.在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 15.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 题型三 正棱锥、正棱台及其有关计算 16．已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（  ） A．1 B． C． D．2 17.如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（  ）    A． B． C． D． 18.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（  ） A． B． C． D． 19.已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 20.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为___________ . 题型四 圆柱、圆锥、圆台的结构特征辨析 21．下列对于圆柱的各判断中正确的是（  ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 22.下列说法正确的是（  ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 23.（多选）给出下列命题命题是（  ） A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 24.（多选）下列说法正确的是（  ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 25.将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 题型五 圆柱、圆锥、圆台及其有关计算 26．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（  ） A．2 B．1 C． D． 27.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（  ） A． B． C． D． 28.已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 29.（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（  ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 30.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 31.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 题型六 圆柱的展开图及最短距离问题 32．圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（  ） A． B． C． D． 33.如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（  ）    A． B．2cm C． D．1cm 34.如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（  ） A． B． C． D． 35.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（  ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 36.如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 37.（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 题型七 圆锥的展开图及最短距离问题 38．圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（  ） A．0 B． C． D． 39.如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（  ） A． B．16 C． D．12 40.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（  ） A． B． C． D． 41.圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 42.如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为，母线长为，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长. 题型八 球及球的有关计算 43．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（  ） A． B． C． D． 44.若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（  ） A． B． C． D． 45.设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，则这两点之间纬线的长度为__________． 46.球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（  ） A． B． C． D． 题型九 简单组合体及其有关计算 47．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（  ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 48.如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（  ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 49.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（  ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 50.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（  ）    A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 51.如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则_________    52.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为 .    题型十 基本立体图形与其他章节的融合 53.如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 54.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 55.几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 56.如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $