专题06 立体几何中的截面问题8种常考难点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题06 立体几何中的截面问题8种常考难点题型 题型一：截面形状的判断 题型二：截面的作法 题型三：截面的周长 题型四：截面的面积 题型五：截面切割几何体的体积 题型六：截面切割几何体的体积的应用 题型七：球的截面 题型八：立体几何中的截面的最值问题 题型一：截面形状的判断 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 2.如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（  ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.    故选：C 3.已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】如图①，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能． 如图②，截面AMDEN为五边形，选项C可能．因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形， 故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能　         故选：D 4.在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（  ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【解析】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 5.（多选）用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．六边形 【答案】BC 【解析】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.    如图所示的截面三角形. 设，所以，，. 所以由余弦定理得： 所以为锐角.同理可求：为锐角，为锐角.所以为锐角三角形.故A正确. 对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形， 可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.    B选 对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形. 对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形.    故选：BC. 6.（多选）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【解析】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 7.（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（  ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【解析】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 8.（多选）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【解析】对选项A，假设过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状为三角形，则必为三角形的一条边， 但线段不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边.故A项错误； 对选项B，如图，取AB的中点为，连接PM，过点P，Q，M的平面作截面， 则平面，设平面，且点， 由平面平面，则，又，且，又， 则，故所在直线与重合，又， 连接MD，，则四边形为平行四边形，且， 故此时过点P，Q，M的平面截正方体所得的截面为四边形， 故选项B正确； 对选项C，如图，连接，过点的平面作截面， 则平面，设平面，且点， 由平面平面，则， 取上靠近的四等分点为，连接， 再分别取的中点，连接， 由，，可得四边形为平行四边形， 则，同理可证，又由分别为的中点，则， 则由平行的传递性可得，， 即所在直线与重合，即平面； 同理，取上靠近的三等分点为M，连接， 由平面平面，可得，平面； 连接，此时过点的平面截正方体所得的截面为五边形PBNQM， 故C项正确； 对选项D，如图，取M，N，E，F分别为对应棱的中点， 连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM， 与BC项同理可由平面平面，平面平面，平面平面， 得，，， 即此时过点的平面截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确. 故选：BCD． 9.（多选）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（  ） A．无论点N在何处，始终有成立． B．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】CD 【解析】A选项，当点N与重合时，如图， 此时与不垂直，夹角为锐角，A错误； B选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，B错误； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面BDN截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 故选：CD 题型二：截面的作法 10．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，画出过的截面。 【答案】 【解析】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面。 11.在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【解析】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 12.如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. 作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】图形见解析 【解析】如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 13.已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹。 【答案】作图见解析. 【解析】作直线，交延长线于， 连接分别交于， 最后连接，则五边形，即为所求. 14.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【解析】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 题型三：截面的周长 15．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 16.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（  ）    A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 17.（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（  ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 18.（多选）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（  ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【解析】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 故选：ABD. 19.如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【解析】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 20.已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    【答案】 【解析】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点， 则平面截正四棱锥所得的截面为五边形， 如图所示：    易知，， ， 所以五边形的周长为． 故答案为： 21．在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为 . 【答案】8 【解析】解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F    过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N. 由作图可知：EN∥FM， ∴四点EFMN共面 可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM. ∴ 可得EF=MN=2. 同理可得：EN=FM=2. ∴截面的周长为8. 故答案为：8. 题型四：截面的面积 22．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【解析】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 23.如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故选：C 24.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（  ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 25.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 【解析】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 26.如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析； (2) 【解析】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 题型五：截面切割几何体的体积 27．在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 28.（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（  ） A．截面的形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是直角梯形 C．此截面可以将正方体体积分成1：3 D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值 【答案】AC 【解析】假设正方体的棱长为2. 对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，    可知，即截面的形状是正三角形，故A正确； 对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，    如果为直角梯形，例如， 由正方体的性质可知：，可知平面， 又因为平面，则∥或重合， 由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误； 对于选项C： Q为所在棱中点，如图，    则正方体的体积为8，三棱柱的体积为， 所以截面将正方体分成，故C正确； 对于选项D：如图所示，假设为的中点，， 则， ， 可得， 则六边形的周长为， 显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误； 故选：AC. 29.如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为__________ 【答案】 【解析】如图，连接，， ∵E，F分别为棱BC，的中点，则， 又∵，且，则为平行四边形， ∴， 可得， 故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为． 设正方体的棱长为2，则， 可得正方体的体积， 三棱台的体积， 故分成的上、下两部分几何体的体积比为． 故答案为：． 30.如图，在长方体中，为棱的中点．    (1)证明：平面平面； (2)画出平面与平面的交线，并说明理由； (3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3) 【解析】（1）在长方体中， ， 与都是等腰直角三角形， ，， 平面平面，， 又面，面， 又平面平面平面； （2）延长与的延长线相交于，连接， 则即为平面与平面的交线，理由如下： 平面，平面， 平面与平面的交线为； （3）令与的交点为， 则三棱台的体积为， 为棱的中点，为的中点， 是的中点，是的中点， ， ，， 三棱台的体积为， 过 三点的平面将四棱柱分成的上部分的体积为. 过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为.    题型六：截面切割几何体的体积的应用 31．如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 延长与交于，连接交于， 则平面与三棱锥的截面是， 将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体， 设，，， ， ，设，则， ，则， ，解得：，由于 所以 故选：D. 32.在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（  ） A. 4∶5 B. 5∶7 C. 10∶17 D. 8∶19 【答案】D 【解析】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 故选：D. 33.（多选）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD 【解析】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C、D：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.故C错误；D正确. 故选：AD. 34.如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则截面的面积最小值为____________ 【答案】 【解析】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为. 故答案为： 题型七：球的截面 35．已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为（  ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故选：D. 36.在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，根据题意，，，， 由余弦定理，， 则有，所以， 则可以将三棱柱补形为长方体，棱长分别为，，， 所以长方体的外接球O的半径． 由题意可得，球心O到侧面的距离h是的一半即， 设侧面所在平面被球O所截的圆的半径为r，则，所以， 所以该截面面积为． 故选：C. 37.已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 故选：D. 38.已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    39.已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【解析】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 40.在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 故答案为： 41.已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 . 【答案】 【解析】解：取的中点，连接，则， 而平面，得平面， 当点在之间时，作分别交于点， 作分别交于点，连接，则平面与平面平行，得到的截面为五边形， 如图所示： 令，则，， 可得，得，，得， 由，得， 所以， 又因为与的夹角等于与的夹角，且由正四棱锥性质可知与垂直， 所以， 可得截面的面积为：， 根据二次函数的性质，可知，当时，取得最大值， 故答案为： 题型八：立体几何中的截面的最值问题 42．如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】4 【解析】解：将正四面体补成正方体如图，则正方体棱长为， 为中点，也是中点，则， 可得平面，由于，设截面为平行四边形，则有平面平面， 平面平面，平面平面，则有， 同理，正方体中有，∴， 和都是等边三角形，则， ∴， 当且仅当时取等号． 即该多边形截面面积最大值为4. 故选：D. 43.已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 44.已知正方体的棱长为2，平面截正方体所得的图形为六边形，设该六边形的周长为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接, 由于平面，平面，故， 又平面，故平面， 又平面，故，,则， 同理可得, 平面，故平面， 由于平面，故平面平面， 平面与平面的交线为,平面与平面的交线为， 故，同理可得 故平面如图阴影部分，，    同理可得,故六边形周长为定值，所以B正确. 故选：B 45.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为 . 【答案】 【解析】 把正方体的各个面平铺在一个平面上，可以发现，EFMNPQ共线时六边形的周长最短， 此时六边形的周长为 故答案为: 46.在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】分如下三种情况，①如图1，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面； ②如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面； ③如图3，延长交于点，连接，则三角形为所求截面． 显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可． 在①中，易知，，设， 则，， 所以所求截面面积 ， 由于均在单调递增，所以函数在上单调递增， 故，故截面面积的最大值为． 故答案为： 47.如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为_________-    【答案】 【解析】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接，    设， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;    则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故答案为： 48.如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    【答案】 【解析】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.    正三棱锥中，，所以， 所以，故周长的最小值为. 又，所以，则. 故答案为：；. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何中的截面问题8种常考难点题型 题型一：截面形状的判断 题型二：截面的作法 题型三：截面的周长 题型四：截面的面积 题型五：截面切割几何体的体积 题型六：截面切割几何体的体积的应用 题型七：球的截面 题型八：立体几何中的截面的最值问题 题型一：截面形状的判断 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2.如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（  ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 3.已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形 4.在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（  ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 5.（多选）用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．六边形 6.（多选）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7.（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（  ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 8.（多选）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 9.（多选）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（  ） A．无论点N在何处，始终有成立． B．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 题型二：截面的作法 10．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，画出过的截面。 11.在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 12.如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. 作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 13.已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹。 14.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    题型三：截面的周长 15．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（  ）    A． B． C． D． 16.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（  ）    A． B．6 C． D． 17.（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（  ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 18.（多选）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（  ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 19.如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 20.已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    21．在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为 . 题型四：截面的面积 22．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（  ） A． B． C． D． 23.如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为（  ） A． B． C． D． 24.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（  ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 25.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 26.如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 题型五：截面切割几何体的体积 27．在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（  ） A． B． C． D． 28.（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（  ） A．截面的形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是直角梯形 C．此截面可以将正方体体积分成1：3 D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值 29.如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为__________ 30.如图，在长方体中，为棱的中点．    (1)证明：平面平面； (2)画出平面与平面的交线，并说明理由； (3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比． 题型六：截面切割几何体的体积的应用 31．如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（  ） A．1 B． C． D． 32.在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（  ） A. 4∶5 B. 5∶7 C. 10∶17 D. 8∶19 33.（多选）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 34.如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则截面的面积最小值为____________ 题型七：球的截面 35．已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为（  ） A. B. C. D. 36.在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为（  ） A. B. C. D. 37.已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为（  ） A. B. C. D. 38.已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 39.已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 40.在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 41.已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 . 题型八：立体几何中的截面的最值问题 42．如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 43.已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 44.已知正方体的棱长为2，平面截正方体所得的图形为六边形，设该六边形的周长为，且，则（  ） A． B． C． D． 45.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为 . 46.在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 ． 47.如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为_________-    48.如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则 ．    1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $