利用导数研究函数的极值、最值课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的极值、最值”核心考点，依据高考评价体系梳理了极值与导数关系、极值点问题、闭区间最值三大考查方向，通过近五年真题分析明确“由极值求参数”“含参函数最值分类讨论”等高频命题角度，归纳出导函数图像判断极值点、实际应用优化建模等常考题型，体现高考备考的精准针对性。 课件亮点在于“真题训练+思维路径+素养融合”的复习策略，如以2025年新高考Ⅱ真题“已知极值点求参数”为例，详解“求导建方程+验证导数变号”的解题步骤，培养学生的数学思维与推理能力。设置易错点警示（如区分极值点与导数为零的必要不充分条件）和分层训练（基础自检、能力提升、素养拔高），帮助学生掌握分类讨论、逻辑分析等答题技巧，教师可据此系统开展复习教学，助力学生高效备战高考。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第3节　利用导数研究函数的极值、最值 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第3节　利用导数研究函数的极值、最值 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 函数的极值与导数的关系 1.(人教B版选择性必修第三册教材习题改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　)[命题点❶] A.1 B.2 C.3 D.4 A 返回目录 解析:由导函数f'(x)的图象知,在x=-2处,f'(-2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,所以x=-2是f(x)的极大值点;在x=-1处,f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,所以x=-1是f(x)的极小值点;在x=2处,f'(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,所以x=2是f(x)的极大值点.综上,f(x)的极小值点的个数为1. 返回目录 关键点2 函数的极值、极值点问题 2.(2025·山西太原期中)函数f(x)=xex的极小值是(　　)[命题点❶] A.- B. C.-e D.e A 解析:由题设f'(x)=(x+1)ex,当x<-1,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,当x>-1, f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以函数的极小值为f(-1)=- 返回目录 3.(2025·新高考Ⅱ,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　.[命题点❷] -4 解析:f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4. 返回目录 关键点3 函数的最值问题 4.(2025·江苏南京三模)已知函数f(x)=xe-x,则当x∈[0,2]时,f(x)的最大值为(　　)[命题点❸] A. B. C. D. B 解析:由f(x)=xe-x,可得f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),当0≤x<1时,f'(x)>0;当1<x≤2时, f'(x)<0; 故f(x)=xe-x在区间[0,1)上单调递增,在区间(1,2]上单调递减, 故当x∈[0,2]时,f(x)=xe-x在x=1时取得极大值,也即最大值f(1)= 返回目录 5.已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1,2)上存在最大值,则实数a的取值范围为　　　　　.[命题点❸] (,1) 解析:f(x)=ln x-ax-2⇒f'(x)=-a=, 当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上严格单调递增,不符合题意; 当a>0时,令f'(x)>0⇒0<x<;f'(x)<0⇒x> 所以f(x)在区间(0,)上严格单调递增,在区间(,+∞)上严格单调递减, 所以f(x)在x=处取得极大值. 因为函数f(x)在区间(1,2)上存在最大值,所以1<<2⇒a∈(,1). 返回目录 回归教材•考教衔接 1.函数的极值与导数[❶] 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 返回目录 返回目录 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件. 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤.[❸] ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　函数的极值、极值点 角度 1 求函数的极值(极值点) 命题视角:给定具体函数,直接求极值或极值点,考查导数运算和符号判断. 例1 (1)(2025·江西上饶模拟)函数f(x)=e2x-3x的极小值为(　　) A.1+3ln 2 B.3ln 2- C.ln D.(1-ln) D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题得f'(x)=2e2x-3,令f'(x)=0,得x=ln, 当x∈(-∞,ln)时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,ln)上单调递减; 当x∈(ln,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(ln,+∞)上单调递增,于是f(x)有极小值f(ln)=(1-ln). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(原创)已知函数f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x,求f(x)的极值. 解:因为f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x, 所以f'(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1. 因为y=2ln(1+x),y=-+1在区间(-1,+∞)上均为增函数, 所以f'(x)在区间(-1,+∞)上为增函数,而f'(0)=0,故当-1<x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0.故f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=0,无极大值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·河南三门峡高三开学考试)f(x)=x+cos x在[0,π]上的极小值点为　　　　　.  解析:因为f(x)=x+cos x,x∈[0,π],所以f'(x)=-sin x,令f'(x)=-sin x=0,得x=或x=,所以当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈()时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(,π)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=时,f(x)取极小值,即极小值点为 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 由函数的极值求参数问题 命题视角:主要通过方程思想利用极值点处导数为零列方程求解,并强调检验的必要性. 例2 (1)(2025·浙江嘉兴二模)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析:f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),令f'(x)=0得x=0或x=,当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值; 当>0,即a>0时,若x<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;若x>,f'(x)>0,f(x)单调递增; 返回目录 考点1 考点2 考点3 若0<x<,f'(x)<0,f(x)单调递减,得f(x)在x=处取得极小值,即f()=()3-a×()2=-4,解得a=3; 当<0,即a<0时, 若x>0,f'(x)>0,f(x)单调递增;若x<,f'(x)>0,f(x)单调递增;若<x<0,f'(x)<0,f(x)单调递减, 得f(x)在x=0处取得极小值,即f(0)=03-a×02=0≠-4,不满足题意; 综上,实数a=3. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·广东茂名开学考试)已知函数f(x)=ex-k(x2+2)有两个极值点a,b,若a=2b,则f(0)=　　　　　.  1- 解析:依题意f'(x)=ex-2kx,则因为a=2b,所以 显然a,b≠0,两式相除得eb=2,则b=ln 2,则a=2ln 2,将b=ln 2代入eb=2kb中,解得k=,则f(0)=1-2k=1- 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (多选)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　 　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 BCD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设为x1,x2,所以所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数的最值 角度 1 求函数的最值 命题视角:(1)直接求最值:给定函数和区间,利用导数求单调区间再确定最值.(2)含参求最值:需分类讨论参数对函数单调性和最值的影响. 例3 (1)(2022·全国乙,文11)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π]. 令f'(x)=0,得x=或x=当x∈[0,)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈()时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(,2π]时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故当x=时,函数f(x)有极大值f()=+2;当x=时,函数f(x)有极小值f()=- 又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2,故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·河南新乡模拟)已知直线x=a与函数f(x)=ex,g(x)=x的图象分别交于点A,B,当|AB|取得最小值时,a=(　　) A.0 B.1 C.e D. A 解析:由题意可得|AB|=|f(a)-g(a)|=|ea-a|,令函数h(x)=f(x)-g(x)=ex-x,则h'(x)=ex-1. 由h'(x)<0可得x<0,由h'(x)>0可得x>0,所以函数h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)min=h(0)=1,即|AB|的最小值为1,此时a=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(a>0),求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解:函数f(x)=(x-1)ex-ax2,求导得f'(x)=xex-ax=x(ex-a),令f'(x)=0,则x=ln a (x∈[1,2]). ①当ln a≥2,即a≥e2时,ex-a≤0,f'(x)≤0,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,因此函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2)=e2-2a; ②当1<ln a<2,即e<a<e2时,函数f(x)在区间[1,ln a)上单调递减,在区间 (ln a,2]上单调递增,因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2; 返回目录 考点1 考点2 考点3 ③当ln a≤1,即0<a≤e时,ex-a≥0,f'(x)≥0,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,因此函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)=-a. 综上,当a≥e2时,f(x)在区间[1,2]上的最小值为e2-2a; 当e<a<e2时,f(x)在区间[1,2]上的最小值为a(ln a-1)-a(ln a)2; 当0<a≤e时,f(x)在区间[1,2]上的最小值为-a. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 由函数的最值求参数问题 命题视角:高考中,已知函数最值求参数的命题核心是建立最值的表达式,通过解方程或不等式求解参数,并常需结合分类讨论和单调性分析. 例4 (1)(2025·江苏盐城模拟)函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:f(x)=x3-x2,则f'(x)=x2-2x=x(x-2),则由f'(x)>0得x<0或x>2;由f'(x)<0得0<x<2,则f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,因为f(-1)=f(2),则当f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值时,有得-1≤a<2, 则实数a的取值范围是[-1,2). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·江苏扬州三模)若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值为2,则实数a的值是　　　　　.  1 解析:因为f'(x)=aex-1,当a>0时,令f'(x)=0,可得x=-ln a, 由f'(x)<0可得x<-ln a,由f'(x)>0得x>-ln a, 所以函数f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减,在区间(-ln a,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(-ln a)=a(+a)+ln a=2,解得a=1;当a=0时,f(x)=-x,显然函数f(x)在R上单调递减,故不符合题意; 当a<0时,f'(x)=aex-1<0,函数f(x)在R上单调递减,故不符合题意. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (2025·湖南常德一模)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  [1,+∞) 解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),当a=0,x≤1时,f(x)=1>0,没有最小值, 由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0, 因此解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞). 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　利用导数解决实际问题 命题视角:高考的命题角度主要集中在优化问题:求利润最大、用料最省、体积最大等,核心是建立函数模型,再用导数求最值.特别强调自变量的取值范围要符合实际意义,结果需要验证合理性. 例5 (2025·河南新未来高三开学考试)已知某款玩具的头部形状可视为球形,某厂家利用3D打印技术制作该头部模型,一批发商向该厂家定制半径为r(单位:dm)的玩具头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为4πr4元,厂家可制作的模型的最大半径为1 dm,若批发商以3元/dm3的价格收购,则该厂家售卖单个模型最多可以获利(　　) A.π元 B.元 C.元 D.元 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意可得利润L(r)=3r3-4πr4=4πr3-4πr4(0<r≤1), ∴L'(r)=4πr2(3-4r),且0<r≤1.令L'(r)=0,∴r=,当0<r<时,L'(r)>0,L(r)单调递增;当<r≤1时,L'(r)<0,L(r)单调递减,∴利润L(r)在r=时取得最大值,此时L()=,∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考重点考查函数的极值问题,极值(点)求参数的逆向思维等,并常与单调性、零点及不等式恒成立等问题深度交汇,旨在检验分类讨论与数形结合的数学核心素养. 1.(2025·河南新乡三模)已知函数f(x)=x3-3x+a的极小值为6,则实数a的值为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 A 解析:由已知得f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,得x=±1,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)=a-2=6,解得a=8. 返回目录 2.(原创)已知函数f(x)=e2x-kx(k∈R),则下列关于f(x)极值点个数的说法正确的是(　　) A.当k≤0时,有1个极值点 B.当k>0时,有1个极值点 C.当k>2e时,有2个极值点 D.当0<k<2e时,有2个极值点 B 返回目录 解析:对f(x)求导得f'(x)=2e2x-k.令f'(x)=0,即e2x=若k≤0,则0,而e2x>0,e2x,f(x)无极值点,故A错误;若k>0,方程有唯一解x=ln,且当x<ln时f'(x)<0,当x>ln时f'(x)>0,因此f(x)有1个极值点,故B正确;C,D错误,因为k>0时仅存在1个极值点. 返回目录 3.(2025·广东广州模拟)函数f(x)=e2x+2ex-4x的极小值为　　　.  3 解析:易得f'(x)=2e2x+2ex-4=2(ex+2)·(ex-1),故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)的极小值为f(0)=3. 返回目录 命题趋势2:高考中的导数求最值,聚焦含参分类讨论、已知最值逆向求参以及实际应用中的优化建模,并强化与其他知识点的综合交汇与创新应用. 4.(原创)已知函数f(x)=mln x+的最小值为-m,则m的值为(　　) A. B. C.e D.e2 D 返回目录 解析:由f(x)=mln x+,得f'(x)=,若m≤0,则f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上为减函数,函数无最小值,不合题意; 若m>0,当0<x<时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)有最小值mln+m=-m,解得m=e2. 返回目录 5.(2025·福建莆田模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万千克,每种植1千克莲藕,成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额(单位:万元)是f(x)=-x3+x2+x,则要使利润最大,每年需种植莲藕 (　　) A.8万千克 B.6万千克 C.3万千克 D.5万千克 D 返回目录 解析:种植x万千克莲藕的销售额是f(x)=-x3+x2+x,成本为2+x,则利润g(x)=f(x)-x-2=-x3+x2-2,x∈(0,10],求导得g'(x)=-x2+x=-x(x-5),当x∈(0,5)时,g'(x)>0; 当x∈(5,10)时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(0,5)上单调递增,在区间(5,10)上单调递减,所以当x=5时,g(x)取得最大值,也即当利润最大时,每年需种植莲藕5万千克. 返回目录 模块外融合:利用导数研究函数极值与最值问题正日益频繁地与三角恒等变换、平面向量、数列、不等式及函数零点等模块交汇命题,通过知识交叉强化综合运用能力,体现高考的选拔功能. 6.(2025·山东济南高三开学考试)已知函数f(x)=cos x+cos 2x+cos 3x,则f(x)的最小值为　　　　　.  - 返回目录 解析:由cos 3x=cos(x+2x)=cos xcos 2x-sin xsin 2x=2cos3x-cos x-2sin2xcos x =2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x,所以f(x)=cos x+(2cos2x-1) +(4cos3x-3cos x)=cos3x+cos2x-,令t=cos x∈[-1,1],则f(x)=g(t)=t3+t2-,所以g'(t)=4t2+2t=2t(2t+1),当-<t<0时g'(t)<0,当-1≤t<-或0<t≤1时g'(t)>0,所以g(t)在区间(-,0)上单调递减,在区间[-1,-),(0,1]上单调递增,由g(-1)= -<g(0)=-,故f(x)=g(t)的最小值为- 返回目录 $