第三节 导数与函数的极值、最值 课件-2027届高三数学一轮复习

第三节 第三章　一元函数的导数及其应用 导数与函数的极值、最值 【目标要求】　1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值;能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.3.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用.4.能结合导数与函数性质,解决简单的函数综合问题. 1.函数的极值 (1)极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧___________,右侧__________,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f'(x)<0 f'(x)>0 (2)极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧___________,右侧__________,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极值点、极值 极小值点、极大值点统称为________,极小值和极大值统称为______. f'(x)>0 f'(x)<0 极值点 极值 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条___________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的_________; ②将函数y=f(x)的各极值与________________________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a),f(b) 1.极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1). 2.有极值的函数一定不是单调函数. 3.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 4.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值. 5.若函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 6.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数的极大值一定大于其极小值.(　　) (2)导数为0的点一定是极值点.(　　) 函数的极大值不一定大于其极小值. 解析 导数为0的点不一定是极值点,比如f(x)=x3,f'(0)=0,但是x=0不是极值点. 解析 (3)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　) (4)若函数f(x)有两个最值,则它们的和大于零.(　　) 函数f(x)=sin x在区间上的最大值为0,最小值为-1,二者之和为-1,小于0. 解析 2.(人A选二P92T1改编)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)极值点的个数为(　　) A.1 B.0 C.3 D.2 由图可知,f'(x)的图象有三个变号零点,1个不变号零点,所以f(x)极值点的个数为3.故选C. 解析 3.(人A选二P91例5改编)函数f(x)=x3-x2-6x+1的极小值是(　　) A. B.-1 C.-9 D.- 解析 4.(人B选三P100T3改编)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1在R上存在极值,则实数a的取值范围为(　　) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.[-3,3] D.(-∞,-3]∪[3,+∞) f'(x)=3x2+2ax+3,因为f(x)在R上存在极值,所以f'(x)在R上有变号零 点,所以方程3x2+2ax+3=0有两个不同的实数根,故Δ=4a2-36>0,解得a>3或a<-3.故选B. 解析 5.(人A选二P93例6改编)函数f(x)=x3-4x+在区间[-3,3]上的最大值为_____. 解析 　 【例1】　(1)(2025·全国二卷)(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 考点一 求函数的极值 对A,因为f(x)为定义在R上奇函数,则f(0)=0,故A正确;对B,当x<0时, -x>0,则f(x)=-f(-x)=-[((-x)2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对C,f(-1)= -(1-3)e-2=2(e-1)>2, 故C错误;对D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)= -(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或3(舍去),当x∈(-∞,-1)时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递 减,则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确;故选ABD. 解析 (2)已知函数f(x)=(ax+b)ex的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=3ex-e. ①求a,b的值; 解 ②求f(x)的单调区间与极值. 解 求函数极值关键是划分单调区间,用方程f'(x)=0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格. 由f'(x)=0的根左右的符号以及f'(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况,此步骤不可缺少. 【训练1】　(多选题)若函数f(x)=a2x2-3ax+2ln x在x=1处取得极大值,则(　　) A.a=1 B.a=2 C.(2,+∞)为f(x)的一个增区间 D.f(x)的极小值为2ln 2-4 解析 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=1时,f(x)取极大值,符合题意.综上,a=1,故A正确,B错误;由上可知,f(x)= x2-3x+2ln x,(2,+∞)为f(x)的一个增区间,f(x)的极小值为f(2)=×22-3×2+2ln 2=2ln 2-4,故CD正确,故选ACD. 解析 【例2】　(1)(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=_______. 考点二 已知函数极值(点)求参数 解析 -4 (2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x. ①设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程; 解 ②若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围. 解 解 讨论极值点有无(个数)问题,可转化为讨论f'(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号. 【训练2】　(1)已知函数f(x)=ex-k(x2+2)有两个极值点a,b,若a=2b,则k= (　　) A.0 B.ln 2 C. D.e 解析 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. ①当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; ①当a=1时,f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,则f'(1)=e-1.f(1)=e-2,所以切点坐标为(1,e-2),所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0. 解 ②若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. ②易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增,无极值;当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,由f'(x)<0,得x< ln a,所以函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3.由题意知a-aln a-a3<0(a>0),等价于1-ln a-a2<0(a>0).令g(a)=1-ln a-a2(a>0),则g'(a)=--2a<0,所以函数g(a)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,故当0<a<1时, g(a)>0;当a>1时,g(a)<0.故实数a的取值范围为(1,+∞). 解 【例3】　(1)函数f(x)=sin 3x+3sin x则f(x)的最大值为______. 考点三 函数的最值 解析 2 解析 (2)已知函数f(x)=xln a-xln x-. ①讨论f(x)的单调区间; 解 ②证明:f(x)≤0. 解 求含有参数的函数的最值,需先求函数的定义域、导函数,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 【训练3】　若函数f(x)=-x+ln x+ln a的最小值为1,则实数a的取值范围为________. [e,+∞) 解析 由题意可得f'(x)=3x2-3x-6=3(x2-x-2)=3(x-2)(x+1),令f'(x)=0,得x=2或x=-1,当x<-1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当-1<x<2时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x>2时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;所以当x=2时,f(x)取到极小值f(2)=8-6-12+1=-9,故C正确.故选C. 由题意,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),所以,x∈[-3,-2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(2,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.又f(-2)=-+8+=,f(3)=×27-4×3+=-<,所以,函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值为. 由题意可得f'(x)=(ax+b+a)ex,则f'(1)=(2a+b)e.又f(1)=(a+b)e,所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+b)e=(2a+b)e(x-1),即y=(2a+b)ex-ae,又函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3ex-e,所以故a=1,b=1. 由①可得f(x)=(x+1)ex,f'(x)=(x+2)ex.令f'(x)>0,得x>-2;令f'(x)<0,得x<-2;则函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,所以当x=-2时,函数f(x)有极小值f(-2)=(-2+1)e-2=-e-2.故函数f(x)的递减区间为(-∞,-2),递增区间为(-2,+∞),有极小值-e-2,无极大值. 因为f(x)=a2x2-3ax+2ln x,x>0,所以f'(x)=a2x-3a+== ,因为函数f(x)在x=1处取得极大值,所以f'(1)=(a-1)(a-2)=0,解得a=1或a=2,当a=2时,f'(x)=,当0<x<或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=1时,f(x)取极小值,不是极大值,不符合题意.当a=1时,f'(x)=,当0<x<1或x>2 由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2),因为2是函数f(x)极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2,当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+ (x-2)2=(x-2)(3x-4),当x∈,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈,f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意;所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. ①当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,其中x>0,则f'(x)=+-1=,令f'(x)=2⇒=2,化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值舍去),又此时f(1)=-3,则切线方程过点(1,-3),结合切线方程斜率为2,则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0. ②由题可得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1=,因为x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0⇒a=b+1,则f'(x)==-,若b≤0,令f'(x)>0⇒x∈(0,1),令f'(x)<0⇒x∈(1,+∞),则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;若0<b<1,令f'(x)>0⇒x∈(b,1),令f'(x)<0⇒x∈(0,b)∪(1,+∞),则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;若b=1, 则f'(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;若b>1,令f'(x)>0⇒x∈(1,b),令f'(x)<0⇒x∈(0,1)∪(b,+∞),则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,得x=1是f(x)的极小值点,满足题意;综上,x=1是f(x)的极小值点时,b>1. 依题意f'(x)=ex-2kx,则因为a=2b,所以显然a,b≠0,两式相除得eb=2,则b=ln 2,将b=ln 2代入eb=2kb中,解得k=,故选C. f(x)=sin 3x+3sin x,因为sin 3x=sin(2x+x)=sin 2xcos x+cos 2xsin x=2sin xcos2x+(1-2sin2x)sin x=2sin x(1-sin2x)+sin x-2sin3x=3sin x-4sin3x,所以f(x)= -4sin3x+6sin x,令sin x=t,t∈[-1,1],则函数变为g(t)=-4t3+6t,t∈[-1,1],原问题转化为求g(t)的最大值,因为g'(t)=-12t2+6,令g'(t)=0解得t=±,所以当t∈ 时,g'(t)<0,g(t)单调递减,当t∈时,g'(t)>0,g(t)单调递增,当t∈时,g'(t)<0,g(t)单调递减,因为g(-1)=-4×(-1)3+6×(-1)= -2,g=-4×+6×=2,所以g(t)的最大值为2,即f(x)的最大值为2. 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,f'(x)=ln a-ln x-1=ln,当x∈时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减,综上可知,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为; ②由①易得f(x)在x=处取得极大值,即最大值,f=ln a-ln-=-,设g(a)=-(a>0),则g'(a)=-×=,当a∈(0,e2)时,g'(a)>0,g(a)单调递增,当a∈(e2,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,g(a)≤g(e2)=-=0,即f≤ 0,由①知f(x)≤f,所以f(x)≤0. f(x)=-x+ln x+ln a=ex-ln x-ln a-(x-ln x-ln a),令x-ln x-ln a=t,原式可化为g(t)=et-t,g'(t)=et-1,当t>0,g'(t)>0,g(t)单调递增;当t<0,g'(t)<0,g(t)单调递减,则t=0时,g(t)取得最小值1,所以x-ln x-ln a=0有解,即x-ln x=ln a有解.记h(x)=x-ln x,h'(x)=1-=,当x>1,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)单调递增,当0<x<1,h'(x)<0, h(x)在(0,1)单调递减.故h(x)≥h(1)=1,且当x→0,h(x)→+∞,x→+∞,h(x)→+∞,所以ln a≥1,得a≥e,所以实数a的取值范围为[e,+∞). $