3.4 导数与函数的极值、最值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据高考评价体系明确三大考查要求，结合2023-2025年全国卷真题分析，梳理出极值判断、极值求解、最值应用等高频考点，构建了“必备知识+关键能力”的系统复习框架，覆盖选择、填空、解答等常考题型。 课件亮点在于“真题导向+分层突破+素养提升”，如通过2025年全国二卷真题解析极值点判断方法，以例2含参函数极值分类讨论培养逻辑思维，例5最值求参数问题强化运算能力，助力学生掌握导数应用答题技巧，教师可据此精准把握高考趋势，提升复习效率。

第三章　一元函数的导数及其应用 3.4　导数与函数的极值、最值 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法,会求闭区间上函数的最大值和最小值. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷 T11,T19 新课标Ⅰ卷 T10,T18 全国一卷T19 新课标Ⅱ卷 T11,T22 新课标Ⅱ卷 T11,T16 全国二卷 T10,T13,T18 必备知识　回顾 1.函数的极值 (1)函数极值的定义:如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x)的________,f(a)叫做函数y=f(x)的______;b叫做函数y=f(x)的________,f(b)叫做函数y=f(x)的______.极小值点、极大值点统称为______,极小值和极大值统称为____. 知识梳理 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 必备知识 回顾 返回 (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 一般地,函数y=f(x)在某一点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点取得极值的____条件. 可导函数y=f(x)在x=x0处取极大(小)值的充分条件:①__________;②在x=x0附近的左侧f'(x)>0(<0),右侧f'(x)<0(>0). (3)导数求极值的方法:解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是______;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是______. 必要 f'(x0)=0 极大值 极小值 必备知识 回顾 返回 　对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件. 必备知识 回顾 返回 2.函数的最值 (1)函数最大(小)值的再认识 ①一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. ②若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数在[a,b]上的______,f(b)为函数在[a,b]上的______;若函数y=f(x)在[a,b]上________,则f(a)为函数在[a,b]上的最大值,f(b)为函数在[a,b]上的最小值. 最小值 最大值 单调递减 必备知识 回顾 返回 (2)导数求最值的一般步骤 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 必备知识 回顾 返回 3.三次函数的图象、单调性、极值 设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f'(x)=3ax2+2bx+c,记Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),并设x1,x2是方程f'(x)=0的根,且x1<x2. (1)a>0 项目 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减 在R上单调递增 极值点个数 __ __ 2 0 必备知识 回顾 返回 (2)a<0 项目 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(x1,x2)上单调递增;在(-∞,x1), (x2,+∞)上单调递减 在R上单调递减 极值点 个数 __ __ 2 0 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　 　) (2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　 　) (3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　 　) (4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值. (　 　) 基础检测 × √ × √ 必备知识 回顾 返回 2. (人教A版选择性必修第二册P98习题5.3T4改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　 　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 A 必备知识 回顾 返回 解析:由题中导函数f'(x)的图象知,在x=-2处,f'(-2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,则x=-2是f(x)的极大值点;在x=-1处,f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,则x=-1是f(x)的极小值点;在x=2处,f'(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负,则x=2是f(x)的极大值点.综上,f(x)的极小值点的个数为1.故选A. 必备知识 回顾 返回 3.(人教A版选择性必修第二册P98习题5.3T6改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈,则f(x)的最大值为,最小值为______. 解析:f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈,所以f'(x)<0,故f(x)在上单调递减,所以f(x)的最大值为f,最小值为f(1)=-10. -10 必备知识 回顾 返回 4.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)=x(x-c)2有极值,则实数c的取值范围是________________________. 解析:f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2.由题意知f'(x)有变号零点,则Δ=16c2-12c2=4c2>0,解得c≠0,即c∈(-∞,0)∪(0,+∞). (-∞,0)∪(0,+∞) 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 利用导数求函数的极值 命题角度1　根据导函数的图象判断函数的极值 【例1】(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　 　) A.f(x)有极大值f(-2) B.f(x)有极小值f(-2) C.f(x)有极大值f(1) D.f(x)有极小值f(1) A 关键能力 提升 返回 【解析】　由题图得,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)<0.则函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)有极大值f(-2),无极小值.故选A. 关键能力 提升 返回 由导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:①由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;②由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度2　求已知函数的极值 【例2】　求函数g(x)=ax-ln(x+1)(a∈R)的极值. 【解】　由题意知g(x)=ax-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞), 则g'(x)=a-, ①当a≤0时,g'(x)=a-<0在(-1,+∞)上恒成立,g(x)在(-1,+∞)上单调递减,g(x)在(-1,+∞)上无极值; 关键能力 提升 返回 ②当a>0时,令g'(x)=a->0,则x>-1,令g'(x)=a-<0, 则-1<x<-1, 所以当x>-1时,g(x)单调递增, 当-1<x<-1时,g(x)单调递减, 所以g(x)在x=-1时,取得极小值g=1-a+ln a,无极大值. 综上所述,当a≤0时,g(x)在(-1,+∞)上无极值; 当a>0时,g(x)在(-1,+∞)上有极小值g=1-a+ln a,无极大值. 关键能力 提升 返回 求函数f(x)极值的步骤 第一步,确定函数f(x)的定义域. 第二步,求导函数f'(x). 第三步,解方程f'(x)=0,求出在函数定义域内的所有根. 第四步,列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0附近左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x=x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x=x0处取极小值. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度3　已知函数的极值(点)求参数 【例3】　(2026·安徽黄山一模)已知函数f(x)=a3,若f(x)有极值且极小值大于0,求a的取值范围. 【解】　f'(x)=x-,x>0, 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,由f'(x)=0,得x=,当0<x<时,f'(x)<0,即f(x)单调递减, 当x>时,f'(x)>0,即f(x)单调递增, 所以当x=时, f(x)有极小值,极小值为f()=a(1-ln a-a2), 关键能力 提升 返回 由f()=a(1-ln a-a2)>0,得1-ln a-a2>0,令F(a)=1-ln a-a2,a>0,则F'(a)= --2a<0,所以函数F(a)在(0,+∞)上单调递减,又F(1)=0,由F(a)>F(1),得a<1,所以0<a<1.综上,a的取值范围为(0,1). 关键能力 提升 返回 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:求解后验证根的合理性. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)(2025·浙江嘉兴二模)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a=(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 关键能力 提升 返回 解析:f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),令f'(x)=0得x=0或x=,若a=0,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值;若>0,即a>0,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,得f(x)在x=处取得极小值,即f=-4,解得a=3;若<0,即a<0,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,得f(x)在x=0处取得极小值,f(0)=03-a×02=0≠-4,不满足题意.综上,实数a=3.故选C. 关键能力 提升 返回 (2)已知函数f(x)=ex-ax2-e+a(a>0),讨论函数f(x)的极值点个数. 解:函数f(x)=ex-ax2-e+a(a>0)的定义域为R, f'(x)=ex-2ax,令g(x)=f'(x), 则g'(x)=ex-2a, 由题得a>0,令g'(x)=0,解得x=ln(2a), 当x∈(-∞,ln(2a))时,g'(x)<0,即g(x)在(-∞,ln(2a))上单调递减, 当x∈(ln(2a),+∞)时,g'(x)>0,即g(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增,故g(x)min=g(ln(2a))=2a[1-ln(2a)]. ①当0<a≤时,g(x)≥0,函数f(x)单调递增,函数f(x)无极值点. 关键能力 提升 返回 ②当a>时, g(x)min=g(ln(2a))<0, g(0)=1>0,即g(0)g(ln(2a))<0,因此函数g(x)在(0,ln(2a))上有唯一零点x1, 当x→+∞时,g(x)→+∞,因此函数g(x)在(ln(2a),+∞)上有唯一零点x2, 当x<x1时,g(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,x1)上单调递增; 当x1<x<x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,函数f(x)在(x1,x2)上单调递减; 当x2<x时,g(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递增. 又f'(x1)=f'(x2)=0,所以当a>时,函数f(x)有两个极值点. 综上,当0<a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点. 关键能力 提升 返回 考点2 函数的最值 命题角度1　求已知函数的最值 【例4】　已知函数f(x)=aln x-x(a>0),求函数f(x)在(0,2]上的最大值. 【解】　f'(x)=,x>0,令f'(x)=0解得x=a, ①若0<a<2, 当0<x<a时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,a)上单调递增,当a<x≤2时,f'(x)<0,f(x)在区间(a,2]上单调递减. f(x)max=f(a)=aln a-a. 关键能力 提升 返回 ②若a≥2, 当0<x≤2时,f'(x)≥0,f(x)在区间(0,2]上单调递增.f(x)max=f(2)=aln 2-2. 综上所述,当0<a<2时,f(x)max=aln a-a, 当a≥2时,f(x)max=aln 2-2. 关键能力 提升 返回 命题角度2　由函数的最值求参数 【例5】　(2025·江苏扬州三模)若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值是2,则实数a的值是__. 【解析】　由f(x)=a(ex+a)-x,求导可得f'(x)=aex-1.当a>0时,令f'(x)=0,可得x=-ln a,由f'(x)<0可得x<-ln a,由f'(x)>0可得x>-ln a,故函数f(x)在(-∞, -lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,故f(x)min= f(-ln a)=a+ ln a=2,解得a=1.当a=0时,f(x)=-x,显然函数f(x)在R上单调递减,不合题意.当a<0时,f'(x)=aex-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不合题意.综上,a=1. 1 关键能力 提升 返回 1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,将区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 2.若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 3.已知函数在开区间上有最值,可转化为有极值问题求解,若在闭区间上有最值,则需要比较区间端点值与极值的大小. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R(x)元与年产量x件的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的件数是 (　 　) A.150 B.200 C.250 D.300 D 关键能力 提升 返回 解析:由题意得,设总利润为P(x)元,则P(x)=R(x)-100x-20 000= 当0≤x≤390时,P(x)=-+300x- 20 000,则P'(x)=-+300,令P'(x)>0,得0≤x<300;令P'(x)<0,得300<x≤390.故函数P(x)在[0,300)上单调递增,在(300,390]上单调递减,则当x=300时,P(x)max=40 000.当x>390时,P(x)=70 090-100x,函数P(x)单调递减,故P(x)<P(390)=70 090-100×390=31 090<40 000.综上,当每年生产300件产品时,总利润最大.故选D. 关键能力 提升 返回 (2)若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值,则m的取值范围是(　 　) A.m<-1 B.m>2 C.-1<m<2 D.m<-1或m>2 解析:f'(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),则当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,即f(x)在x=2处取得最值,则有2m-2<2<3+m,解得-1<m<2.故选C. C 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 (2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=____. (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,求c的值. 考教衔接 -4 解析:由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2),因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,解得a=2.当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4),当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意.f(0)=-1× (-2)×(-a)=-2a=-4. 关键能力 提升 返回 课时作业20 1.(5分)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列结论正确的是(　 　) A.y=f(x)在x=-1处取得极大值 B.x=1是函数y=f(x)的极值点 C.x=-2是函数y=f(x)的极小值点 D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减 解析:由题中图象可知,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x≥-2时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=-2是函数y=f(x)的极小值点,y=f(x)无极大值.故选C. 基础巩固 C 返回 课时作业 2.(5分)(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)已知函数f(x)= sin x+x(0<x<π),则f(x)(　 　) A.极大值为,无极小值 B.极小值为,无极大值 C.极大值为,无极小值 D.极小值为,无极大值 A 返回 课时作业 解析:f'(x)=cos x+,令f'(x)=0,解得x=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因此,f(x)在x=处取得极大值,极大值为f,无极小值.故选A. 返回 课时作业 3.(5分)函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈的最大值为 (　　) A.4 B.3 D.5 解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x=3(cos xcos 2x- sin xsin 2x)+6cos x=3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x=3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cosx=3cosx(4cos2x-1)=3cosx(2cosx-1)· (2cos x+ 1),当0<x<时,f'(x)>0,当时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈ .故选B. B 返回 课时作业 4.(5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= (　 　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 解析:因为当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b= -2,f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞).又因为f(x)在x=1处取得最大值,f'(x)=,所以f'(1)==0,解得a=-2,经验证,a=-2符合题意.故选A. A 返回 课时作业 5.(5分)(2026·广东汕头一模)设a∈R,若函数f(x)=x2+x+2在(1,2)内存在极值点,则a的取值范围是 (　 　) A. C.(-∞,3) D. 解析:依题意,f'(x)=2x2-ax+1在(1,2)内存在变号零点,而x=0不是f'(x)的零点,从而得a=2x+在(1,2)上单调递增,所以3<a<.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化,其桶底采用上大下小的漏斗状设计,底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积的最小值为 (　 　) A.4π B.6π C.8π D.9π D 返回 课时作业 解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.圆形铁片的面积最小,即R2最小.因为该漏斗的容积V=π,解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0).设y=x2+,x>0,则y'=2x-,令2x-=0,可得x=,当0<x<时,y'<0,函数单调递减,当x>时,y'>0,函数单调递增.故当x=时,y取得最小值9,此时圆形铁片的面积的最小值为9π.故选D. 返回 课时作业 7.(6分,多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　 　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.当且仅当x≥时,f(x)≥2 D.x=-1是f(x)的极大值点 ABD 返回 课时作业 解析:对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;对于D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD. 返回 课时作业 8.(6分,多选)(2025·河北邯郸二模)已知函数f(x)=(x2-3)ex,则下列结论正确的是 (　 　) A.=3 B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减 C.函数f(x)有极大值6e-3 D.函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-4) BC 返回 课时作业 解析:对于A,由题意可得f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,因为f(0)=-3,所以=f'(0)=-3,故A错误;对于B,C,由f'(x)>0得x<-3或x>1,由f'(x)<0得-3<x<1,则f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,则f(x)在x=-3处取得极大值f(-3)=6e-3,故B,C正确;对于D,f(-4)=>f(-2)=,则函数f(x)在[-4,-2]上的最小值为f(-2),故D错误.故选BC. 返回 课时作业 9.(5分)(2025·陕西宝鸡二模)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则 sin x0= . 返回 课时作业 解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x,求导可得f'(x)=4cos x-3sin x= 5,令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ),由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0,由函数y=cos x可知当x∈(k∈ Z)时,cos x>0,当x∈(k∈Z)时,cos x<0,且x0为函数f(x)的极大值点,则可得x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z),故 sin x0=sin. 返回 课时作业 10.(5分)(2026·湖南常德一模)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是__________. 解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),当a=0,x≤1时,f(x)=1>0,没有最小值,由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0,因此解得a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞). [1,+∞) 返回 课时作业 11.(19分)已知函数f(x)=-ln x(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),则f'(x)=. 由题知a>0,由f'(x)>0,可得0<x<a,由f'(x)<0,可得x>a.故函数f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞). 返回 课时作业 (2)求f(x)在上的最大值g(a). 解:当0<a≤时,函数f(x)在上单调递减,此时,g(a)=f=2-ae; 当<a<e时,函数f(x)在上单调递增,在(a,e]上单调递减,此时,g(a)=f(a)=-ln a; 当a≥e时,函数f(x)在上单调递增,此时,g(a)=f(e)=-. 综上所述,g(a)= 返回 课时作业 12.(19分)(2025·广东广州三模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2. (1)当a=4时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; 解:当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4, 则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,故切线方程为y+16=-3(x-0),即3x+y+16=0. 返回 课时作业 (2)讨论函数f(x)的单调性; 解:由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,则x+1>0,函数定义域为 (-1,+∞), 当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,解得x<-1+,因为定义域为(-1,+∞),所以-1<x< -1+;令f'(x)<0,解得x>-1+.故f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上所述,当a≤0时,f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减. 返回 课时作业 (3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围. 解:由(2)可知,当a≤0时,函数无极值,当a>0时,函数在x=-1+处取得极大值, 可得f≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2≥0, 令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+, 因为2a2-a+1=2>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增, 因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以由a2-a+ln a-2-ln 2≥0可得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞). 返回 课时作业 13.(5分)(2025·陕西咸阳一模)已知f(x)=aex-内存在2个极值点,则实数a的取值范围为 (　 　) A. C. 1 素养提升 B 返回 课时作业 解析:因为f'(x)=aex-x,可知f'(x)在内有2个变号零点,由f'(x)=0可得a=,可知直线y=a与g(x)=内有2个交点.g'(x)=,令g'(x)>0,解得<x<1;令g'(x)<0,解得1<x<2.可知g(x)在上单调递增,在(1,2)上单调递减, g(1)=,g,g(2)=,,结合图象(如图)可得,故实数a的取值范围为.故选B. 返回 课时作业 14.(5分)(2025·山东聊城三模)函数f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x的最小值为_________.  解析:f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x,当x<-3时,f(x)=-x-3-2(x+2)+e-x=-3x-7+ e-x.f'(x)=-3-e-x<0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递减;当-3≤x≤-2时,f(x)=x+3-2(x+2)+e-x=-x-1+e-x,f'(x)=-1-e-x<0,f(x)在[-3,-2]上单调递减;当x>-2时,f(x)=x+3+2(x+2)+e-x=3x+7+e-x,f'(x)=3-e-x,令f'(x)>0,解得x>-ln 3,令f'(x)<0,解得-2<x<-ln 3,故f(x)在(-2,-ln 3)上单调递减,在(-ln 3,+∞)上单调递增.又f(x)=|x+3|+2|x+2|+e-x为R上的连续函数,因此函数f(x)的最小值为f(-ln 3)=7-3ln 3+eln 3=10-3ln 3. 10-3ln 3 返回 课时作业 本课结束 $