精品解析：河南郑州市第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期考前质量检测数学试题

2026年普通高校招生统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1．本场考试120分钟，满分150分．试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知函数 ，正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线和分别交于两个不同的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每个国家都要有人去，则不同的安排方法有72种 B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据的相关性比B组数据的强 C. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的第25百分位数是4 D. 若事件C，D满足，且，则C，D相互独立 10. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（ ） A. B. 以线段AB为直径的圆与直线相切 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为______． 13. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 14. 小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为X，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． 16. 某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 （1）根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； （2）从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，G为线段上的动点（不含端点）． （1）证明：平面． （2）设，记二面角的平面角为，用t表示的值，并求出当时实数t的值． 18. 已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，上顶点为，O为坐标原点． （1）求的垂心坐标． （2）设直线l的斜率存在且不为零，直线l与椭圆Γ交于M，N两点． （i）已知点，若M，N在y轴两侧，且满足，试证明直线MN过定点，并求出该定点的坐标； （ii）若M，N两点都不与重合，且，求面积的取值范围． 19. 已知函数，正项数列满足． （1）求函数的最值与零点； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）设数列的前n项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高校招生统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1．本场考试120分钟，满分150分．试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合， 则，因此. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 4. 已知函数 ，正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析出函数是上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，然后再利用基本不等式中“”的妙用即可求得结果. 【详解】已知函数 ，则， 因此函数是一个奇函数， 又因为在上恒成立，因此函数是上的增函数， 由于正数满足 ，则有，即得 ， 从而有 ， 因此， 根据基本不等式有，即， 当且仅当，即时取等号，满足为正数的条件， 所以的最小值为. 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 6. 一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 7. 已知直线与曲线和分别交于两个不同的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，整理可得，结合正弦函数有界性运算求解，注意. 【详解】令，解得，即， 由题意可知：，，则， 令，，则， 可得， 因为，则，可得， 则， 又因为，即， 所以的取值范围是. 8. 已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】对两边取自然对数，得， 即， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个， 又因为， 所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每个国家都要有人去，则不同的安排方法有72种 B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据的相关性比B组数据的强 C. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的第25百分位数是4 D. 若事件C，D满足，且，则C，D相互独立 【答案】CD 【解析】 【分析】利用分组分配结合排列组合计算判断A，根据相关系数的概念即可判断B，利用百分位数即可判断C，利用事件的独立性和条件概率即可判断D. 【详解】对于A：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流， 每人只去一个国家，每个国家都需要有人去， 则不同的安排方法有种，故A错误； 对于B：由，所以组数据的相关性比组数据的强，故B错误； 对于C：数据从小到大排列1，3，5，6，8，9，11，13， 由，所以第25百分位数是，故C正确； 对于D：由，所以， 所以C，D相互独立，故D正确. 10. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，所以是数列的第3项， 是数列的第3项，所以，，所以，故A正确. 对于B，当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，，故B正确. 对于C， ， 故C正确. 对于D，由C知， 所以， 故D错误. 11. 已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（ ） A. B. 以线段AB为直径的圆与直线相切 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点弦公式，易知直线垂直于轴时，弦最短即可判断选项；分别求出半径与圆心到直线的距离即可判断选项；联立方程，结合韦达定理，表示出化简判断选项；利用圆的弦长公式，将转化为关于的表达式，构造函数，利用导数分析单调性，结合的条件，即可求出的取值范围. 【详解】解：由题意知，焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为， 设过焦点F的直线l的方程为，A，B两点坐标分别为，. 选项，由抛物线焦点弦的性质可得，焦点弦长， 当直线垂直于轴时，弦长最短，此时，所以， 当直线斜率存在时，，因此，正确； 选项，设中点坐标为，则圆的半径， 又，所以中点到准线的距离， 则圆心到准线的距离等于半径，所以圆与直线相切，正确； 选项，由抛物线的定义可得，， 联立，代入化简得，，则，， 又，， 所以， 错误； 选项，由圆的弦长，表示圆心到轴的距离，则， 因为，， 所以，则， 令，则，设， 则， 又因为，所以，所以在上单调递减， 因此当时，取最大值为，即的最大值为， 所以的最大值为， 又当时，，所以，即， 因此，的取值范围是，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ ，即切线经过点. . ∴ 切线的斜率. 由点斜式可得切线方程为，整理得. 13. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式定理得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再利用裂项相消法和分组求和法得到数列的前项和. 【详解】已知，当时，为的展开式中的系数， 根据二项式定理，的展开式的通项公式为， 令，此时对应的项为，因此的系数为， 所以，当时，， 检验一下的情况，代入公式得，这与不符， 因此，数列的通项公式为， 由于， 当时，， 当时，， 则数列的前项和， 由于，， 因此. 14. 小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为X，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和期望的定义分析求解即可. 【详解】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，符合题意， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【小问1详解】 在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 16. 某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 （1）根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； （2）从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）观众性别与喜欢的电影类型无关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较，即可得出结论； （2）根据条件概率的公式计算得解. 【小问1详解】 零假设：观众性别与喜欢的电影类型无关. 因为. 因此依据的独立性检验，没有充分证据不成立，即两者无关. 【小问2详解】 设事件"选出的2人中至少1名女性"，事件"选出的2人都喜欢生活片"， 由列联表知，; ，因此. 17. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，G为线段上的动点（不含端点）． （1）证明：平面． （2）设，记二面角的平面角为，用t表示的值，并求出当时实数t的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先用面面垂直的性质定理推导出，再利用勾股定理逆定理证得底面内，得证； （2）基于第一问的线面垂直关系建立空间直角坐标系，通过向量法求出两平面法向量夹角的余弦值，再转化为正切表达式并代入特定角度解出参数. 【小问1详解】 平面平面ABCD，且平面平面于， 因为四边形ABEF为矩形，所以， 平面，所以平面， 平面，所以， 因为，，易得， 过向作垂线，交于点，易得且， 则四边形为矩形，，则，， 因为，所以， 因为，平面，所以平面ABEF． 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为原点，为轴正方向建立坐标系如图： 易得，且， 则，则，即，， 设点，因为，则有， 解得，即， 易得平面的法向量可以取， 设平面的法向量为， 因， 则， 不妨令，则， 由图象可得为锐角， ， 则， 因为且，所以且，则， 当时，，解得. 18. 已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，上顶点为，O为坐标原点． （1）求的垂心坐标． （2）设直线l的斜率存在且不为零，直线l与椭圆Γ交于M，N两点． （i）已知点，若M，N在y轴两侧，且满足，试证明直线MN过定点，并求出该定点的坐标； （ii）若M，N两点都不与重合，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见详解，定点的坐标为；（ii） 【解析】 【分析】（1）分析可知的垂心在y轴上，可设，根据向量垂直可得，即可得结果； （2）设直线，，，，联立方程可得韦达定理. （i）由题意可得，结合韦达定理可得，即可得定点；（ii）根据结合韦达定理可得，令，可得，结合二次函数性质运算求解. 【小问1详解】 由椭圆方程可知：，，，则， 因为，可知的垂心在y轴上，可设， 则，， 因为，则，解得， 所以的垂心坐标为. 【小问2详解】 设直线，，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， （i）因为，则，即， 可得，整理可得 ， 即 ，整理可得 ， 且，则，解得， 所以直线过定点，该定点的坐标为； （ii）由题意可知：，则，， 若，则 ， 即，整理可得 ， 即 ， 整理可得，解得或， 若，则直线，过定点，不合题意； 若，则直线，过定点，符合题意； 可得， 且，则面积为， 令，则， 可得， 令 ，，可知在内单调递减， 则 ，，则 ，可得， 所以面积的取值范围为. 19. 已知函数，正项数列满足． （1）求函数的最值与零点； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）设数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. （2）数列为递减数列，理由见详解； （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）先对求导，判断导数正负，结合单调性，进而可求最值和零点； （2）先利用作差法得到，利用（1）可得到数列的单调性即可； （3）令，求导，进而令，利用导数得到，再利用累乘法结合放缩法可得，利用等比数列前项和公式求解得证. 【小问1详解】 因为，， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 且，当时，，当时，， 所以在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. 【小问2详解】 数列为递减数列，理由如下： 由题意，， 由（1）知在上单调递减，则，即， 令，则，所以，即， 又函数在R上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列. 【小问3详解】 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以当时，，即. 所以，故在上单调递增，且， 令，则，即，又， 所以，所以，即， 当时，，又， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $