精品解析：河南驻马店市第二高级中学等校2025-2026学年高三下学期开考试学数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 （ ）． A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ）． A B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 设等差数列的前n项和为，且，，则，，…，中最大的项为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，后容器甲中水的体积（且，单位：）．已知起始状态容器甲中水的体积为，后容器甲中水的体积为，再经过容器甲中水的体积为（ ）． A. B. C. D. 7. 若双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 8. 中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（ ）． A. 408种 B. 336种 C. 240种 D. 120种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则的值可能为（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 10. 已知函数的定义域为，，且，则下列说法正确的有（ ）． A. 的值域为 B. 是增函数 C. 的值域为 D. 有且仅有1个零点 11. 已知半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的是（ ） A. 若则 B. 若则点M10的坐标为 C. 若则数列的前项和小于 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则______． 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 14. 如图所示，在三棱锥中，是棱上的点，，，，，三棱锥的体积是，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好经济效益，某地近5年的脐橙产量（单位：万吨）如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 脐橙产量 20 22 24 28 30 已知年份编号和脐橙产量线性相关． （1）用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）试预测该地2027年的脐橙产量． 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 在中，点D在边上，且，． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 17. 如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面． （1）证明：． （2）若圆台的高为2，求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 19. 已知O为坐标原点，点在椭圆上，过点M且与椭圆E相切的直线与直线，分别交于A，B两点． （1）已知椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4． ①求椭圆E方程． ②是否存在定值m，使得？若存在，求出定值m；若不存在，说明理由． （2）求面积的最小值（用a，b，m表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由复数的运算法则，可得． 2. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以． 3. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，， 因为，所以， 即，解得． 4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点与点F关于直线l对称，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线求出焦点和准线，利用对称求解即可. 【详解】根据题意易知，准线． 点和关于直线对称， 可得， 解得． 5. 设等差数列的前n项和为，且，，则，，…，中最大的项为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，，由此判断出等差数列的单调性和符号，从而判断出中的最大值. 【详解】由，得，即， 所以，所以，， 所以，，则， 所以， 而由于，则， 从而最大． 6. 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，后容器甲中水的体积（且，单位：）．已知起始状态容器甲中水的体积为，后容器甲中水的体积为，再经过容器甲中水的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，考查应用意识．可先求出函数的解析式，再求出. 【详解】由题意可得，解得， 则， 即再经过后容器甲中水的体积为． 7. 若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，根据双曲线的定义求解出，判断的形状，再结合余弦定理得出的关系，计算求解. 【详解】，． ，所以，是等边三角形，． 在中，，即， 化简得，所以． 8. 中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（ ）． A. 408种 B. 336种 C. 240种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【详解】“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有  种方法；再将剩余5个元素全排列，有  种方法，共  种， 先将“射”和“御”捆绑，内部有  种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有  种， 故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共  种， 故不同的排法共有种． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则的值可能为（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，则． 若，则． 若，则，即， 所以，，． 10. 已知函数的定义域为，，且，则下列说法正确的有（ ）． A. 的值域为 B. 是增函数 C. 的值域为 D. 有且仅有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件确定函数为常函数，再结合，确定这个常数大于1，进而逐项判断即可. 【详解】由，得． 令，则，所以为常函数． 令，则． 因为，所以，是增函数，B正确． 的值域为，A错误，C正确． 由，是增函数，所以有且仅有1个零点，D正确． 11. 已知半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的是（ ） A. 若则 B. 若则点M10的坐标为 C. 若则数列的前项和小于 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先几何定位：圆与射线、轴正半轴相切，故圆心在的角平分线上，设该角为，则，圆心到原点的距离与半径直接关联.然后等比数列推导：两圆外切时，圆心距为，结合三角函数，整理得，即是首项为1的等比数列.最后选项验证：由求，进而得公比，计算或前项和； 心坐标由直接计算；分析公比范围，判断的取值区间. 【详解】 如图，过点，分别作，，垂足分别为，， 过点作，垂足为. 设，易得，. 由，得， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，点的坐标为. 由，得，所以，A正确. 由，得（负根舍去）， 则，， 所以，点的坐标为，B错误. 的前项和为，C正确. ，由，得，得， 得，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的单调性可得，解方程即可得到答案. 【详解】在上单调递减，在上单调递增， 所以和不可能都属于或， 因为，所以，， 因为，所以，解得． 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入，得，，求解即可. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，， 解得，， 则的最小值为4． 故答案为：4 14. 如图所示，在三棱锥中，是棱上的点，，，，，三棱锥的体积是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为棱的中点，连接，，，,证得平面，求得，且，结合三棱锥的体积公式，列出方程，求得的长，进而得到的长度. 【详解】设分别为棱的中点，连接，，，, 在中，，因为，所以， 在中，，所以． 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以, 在中，，所以． 因为，且平面，所以平面， 在直角中，， 则，又， 则， 因为， 所以 ， 即，解得， 又因为，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量（单位：万吨）如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号 1 2 3 4 5 脐橙产量 20 22 24 28 30 已知年份编号和脐橙产量线性相关． （1）用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）试预测该地2027年的脐橙产量． 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）35.2万吨 【解析】 【小问1详解】 依题意，，， ，， 因此，， 所以y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 令，得， 所以预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨. 16. 在中，点D在边上，且，． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，先由正弦定理求得，再由余弦定理即可求解； （2）在和中，分别使用余弦定理联立求得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以，解得． 在中，由余弦定理得， 即， 解得（舍去）． 【小问2详解】 因为，所以． 在和中，由余弦定理得， ， 所以，， 两式相加可得， 解得（舍去）． ， ． 17. 如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面． （1）证明：． （2）若圆台的高为2，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1） 作，垂足为M，连接． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为平面，所以，． 因为圆台的上、下底面平行，所以圆， 则，． 因为平面，所以，即点，，M，P共面． 因为平面，所以，， 所以四边形为矩形， 所以，． 在中，，． 在中，，解得， 所以． 在中，M，分别为，的中点， 所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）作，由面面垂直的性质及圆台的性质可得四边形为矩形，再由勾股定理可得为的中点，最后根据三角形中位线可证； （2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据面面角向量法计算可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得． 设平面的法向量为， 则，即，令，得． 因为，所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【小问1详解】 当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． 【小问2详解】 法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令，则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则，解得，结合，得． 综上，a的取值范围为． 法二：．若在上单调递增，则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，即． 当时，，，，所以，即； 当时，，，，所以，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知O为坐标原点，点在椭圆上，过点M且与椭圆E相切的直线与直线，分别交于A，B两点． （1）已知椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4． ①求椭圆E的方程． ②是否存在定值m，使得？若存在，求出定值m；若不存在，说明理由． （2）求面积的最小值（用a，b，m表示）． 【答案】（1）①；②存在 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据离心率和长轴确定的值，可得解； ②设，，切线方程与直线联立求出点坐标，再由得，求解即可； （2）记直线与x轴交于点P，则，的面积为，则，利用导数求最值. 【小问1详解】 ①由题可知，解得， 所以椭圆E的方程为． ②不妨设，． 由，得，． 由，得，． 若，则．不妨设点M在y轴右侧． 又，所以，， 则，，． ， ． 若，则， 即，解得． 同理，当时，若，则． 当时，则，，， ， ． 若，则， 即，化简得． 综上，存在，使得． 【小问2详解】 记直线与x轴交于点P，则． 的面积为， 则． 令，则． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则， 即，即面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $