专题07 用一次函数解决实际问题【期末复习重难点培优专题六大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以6类高频实际应用题型为框架，通过“精讲+精练”构建从问题抽象到函数建模的解题体系，结合分层真题演练实现能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配方案问题|1精讲+2精练|建立双函数模型比较最优解|一次函数表达式与不等式应用| |最大利润问题|1精讲+2精练|根据约束条件求函数最值|一次函数增减性与方案设计| |行程问题|1精讲+2精练|图像分析与分段函数建模|速度-时间-路程关系转化| |梯度计价问题|1精讲+2精练|分段函数表达式构建|分类讨论思想与实际收费模型| |其他实际问题|1精讲+2精练|变量关系识别与函数表达|跨学科情境中的数学抽象| |函数与几何综合|1精讲+2精练|坐标转化与图形面积计算|一次函数与平面几何融合| |真题实战演练|25题（分层）|基础夯实到拓展拔尖|中考命题趋势与能力梯度匹配|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 用一次函数解决实际问题『期末复习重难点专题培优』 【6个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共38题】 1 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 1 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 3 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 4 题型四 梯度计价问题 6 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 8 题型六 一次函数与几何综合 9 优选真题 实战演练 11 【基础夯实 能力提升】 11 【拓展拔尖 冲刺满分】 14 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【精练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【精练2】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元? (2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少? 【精练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【精练2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． (1)分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； (2)若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球．2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米/秒的速度匀速上升；2号气球以6米/秒的速度匀速上升，30秒时，1号气球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为___________； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ 【精练1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【精练2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图所示为某汽车行驶的路程（千米）与时间（小时）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题： (1)汽车在前小时内的平均速度是_____； (2)汽车中途停了_____小时； (3)当时，求与的函数关系式． 题型四 梯度计价问题 【精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【精练1】（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【精练2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在一次物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面的高度为（单位：），落到地面所用时间为（单位：），已知与成正比例关系，当时，．若现在小球离地面的高度，则小球落地所用时间（   ）． A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）某游泳馆推出两种付费方案： 方案一：按次收费； 方案二：购买会员证，凭证享受5折优惠（会员证限本人使用，时效一年）．两种收费方案的函数图像如图所示，请回答下列问题： (1)分别写出两种收费方案年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式； (2)结合游泳次数，通过计算分析采用哪种方案年游泳费用较少． 【精练2】（24-25八年级下·广东广州·期中）某农户种植一种经济作物，总用水量与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示． (1)分别求出当和时，与之间的函数关系式； (2)若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到？ 题型六 一次函数与几何综合 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【精练2】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“更香”是古代中国特有的计时装置，香线采用特殊工艺制成．小颖买了一款香，通过记录燃烧时间与剩余香的长度得到二者之间的关系式是，则下列说法不正确的是（   ） A．这款香燃烧2小时后，剩余香的长度是 B．在燃烧过程中，剩余香的长度随着燃烧时间均匀减少 C．这款香的初始长度是 D．这款香燃烧1小时，香长度减少 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙两位同学的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点）的个数相等，则k的取值范围为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 4．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在x轴上，直线：与正方形的边有两个交点O、E，当时，k的取值范围是____． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出段与之间的函数表达式； (2)当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 9．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 10．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）在一定条件下某溶液的体积与温度成一次函数关系，函数图象如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．时，该溶液的体积为 B．V与t的函数关系式为 C．若要求该溶液的体积不超过，则 D．温度t每增加该溶液体积V就增长 3．（24-25八年级下·安徽池州·期末）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当拉力时，重物的重力 B．当时， C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 6．（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 8．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E． (1)求直线的表达式； (2)求直线的表达式； (3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由． 10．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）某学校绿化校园，计划购进A、B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)填空①购买B种树苗_____棵，②y与x的函数关系式为_____； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，共有多少种购买方案； (3)在满足（2）的条件下，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 用一次函数解决实际问题『期末复习重难点专题培优』 【6个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共38题】 1 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 1 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 4 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 8 题型四 梯度计价问题 12 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 14 题型六 一次函数与几何综合 16 优选真题 实战演练 26 【基础夯实 能力提升】 26 【拓展拔尖 冲刺满分】 35 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 【精练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 【精练2】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元? (2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指出哪种方案学校花钱最少? 【答案】(1)跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元 (2)共有3种购买方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少 【分析】（1）根据题意列出分式方程进行计算即可； （2）设购买跳绳a个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可． 【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元． （2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个． 依题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴，共三种方案； 设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元， 则， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，则， 答：共有3种方案，当学校购买450根跳绳，150个毽子时，总费用最少． 【精练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)①共有66种购买方案；②购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元 【分析】（1）设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，再写出y与x的函数关系式即可； （2）①根据题意求得的取值范围即可解答； ②利用一次函数的增减性，可得当时，取最大值． 【详解】（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台， 根据题意； （2）①解：根据题意可得， 解得， ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴共有种情况， 即共有66种购买方案； ②解：， 随的增大而减小， 当时，取最大值，， （台）， 答：购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元． 【精练2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）河北作为农业大省，拥有丰富多样的土特产，许多产品还获得了国家地理标志认证，极具地方特色，如迁西板栗、平泉香菇、永年大蒜、沧州金丝小枣……某商店销售甲、乙两种河北当地土特产，每斤甲种土特产的利润比每斤乙种土特产的利润多2元，销售甲种土特产获利60元和销售乙种土特产获利40元时的销售质量相同． (1)分别求甲、乙两种土特产每斤的利润； (2)若该商店计划购进甲、乙两种土特产共800斤进行销售，设购进甲种土特产m斤（），销售完这批土特产共获利w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若甲种土特产的质量不超过乙种土特产质量的倍，求出w的最大值． 【答案】(1)每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元 (2)①；②4160 【分析】本题考查分式方程、一次函数、不等式的应用，根据题意列出分式方程、不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元，根据题意列出分式方程，解方程，注意检验是否为原分式方程的解； （2）①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤，根据题意列出w与m之间的函数关系式； ②根据题意可列出不等式，进而得到，由①知，函数，随m的增大而增大，将代入函数，求出的最大值即可． 【详解】（1）解：设每斤乙种土特产的利润为x元，则每斤甲种土特产的利润为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：每斤甲种土特产的利润为6元，每斤乙种土特产的利润为4元； （2）解：①设购进甲种土特产m斤，则购进乙种土特产斤， 由题意得：， 与m之间的函数关系式为； ②根据题意得：， 解得：， 又， ， 由①知，函数， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 此时， 的最大值为4160． 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用探测气球进行了试验．选用的1号气球．2号气球从海拔10米的处同时出发，其中1号气球以8米/秒的速度匀速上升；2号气球以6米/秒的速度匀速上升，30秒时，1号气球不再继续上升，悬浮，等2号气球达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为（米），（米），它们飞行的时间为（秒）．（注意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围） (1)点坐标为___________； (2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度（米）与飞行的时间（秒）之间的函数表达式； (3)求出线段对应的海拔高度（米）关于飞行的时间（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义是什么？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求出1号气球到达的高度，再求出2号气球达到同样高度时所需的时间，即可求出点坐标； （2）根据路程=速度时间，即可得； （3）根据题意求出点的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可． 【详解】（1）解：1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升的高度为：（米）， 气球是从海拔10米的A处出发， 点的纵坐标为（米），横坐标为30秒，即点坐标为， 2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达点250米高度所需时间为：（秒）， 点坐标为． （2）解：2号气球从海拔10米处出发，6米/秒的速度匀速上升， 根据路程=速度时间，即可得． （3）解：1号气球从40秒时开始匀速下降，又过了40秒降落到出发点， 点的横坐标为80（秒），纵坐标为10，即， 设，把，代入得： ，解得， 则线段对应的函数表达式为． 【精练1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)60，1；25 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； （2）解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 【精练2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图所示为某汽车行驶的路程（千米）与时间（小时）的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题： (1)汽车在前小时内的平均速度是_____； (2)汽车中途停了_____小时； (3)当时，求与的函数关系式． 【答案】(1)千米/小时 (2) (3) 【分析】（1）结合函数图象得出汽车在前小时内的路程，进而求出平均速度； （2）结合函数图象即可得到答案； （3）使用待定系数法求函数关系式即可． 【详解】（1）解：（千米/小时）， ∴汽车在前小时内的平均速度为千米/小时； （2）解：由图可知，中途停了（小时）； （3）解：设， 将点，代入，得， ， 解得， ∴． 题型四 梯度计价问题 【精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 【精练1】（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【答案】(1) (2)外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可； （2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 即函数关系式为（）； （2）解：当时，（元） 答：外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【精练2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在一次物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面的高度为（单位：），落到地面所用时间为（单位：），已知与成正比例关系，当时，．若现在小球离地面的高度，则小球落地所用时间（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例的解析式的性质设，代入，，求出的值，即求出解析式，再代入，求取，舍去负值即可． 【详解】解：∵与成正比例关系， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴， ∴当时，，解得或（舍）． 【精练1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）某游泳馆推出两种付费方案： 方案一：按次收费； 方案二：购买会员证，凭证享受5折优惠（会员证限本人使用，时效一年）．两种收费方案的函数图像如图所示，请回答下列问题： (1)分别写出两种收费方案年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式； (2)结合游泳次数，通过计算分析采用哪种方案年游泳费用较少． 【答案】(1)方案一：（，且为整数）；方案二：（，且为整数） (2)游泳次数小于20次时，选择方案一；游泳次数为20次时，两种方案均可；游泳次数大于20次时，选择方案二． 【分析】（1）方案一：可直接用待定系数法求解正比例函数解析式即可；方案二，先确定单价，再由函数图象即可求解； （2）分别令，然后解方程和不等式即可求解． 【详解】（1）解：方案一：设，代入得， 解得 ∴（，且为整数）； 由方案一可得单价为元/次，则方案二凭证享受5折优惠后为元/次， 由图象可得，方案二先交会员费元， ∴方案二的年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式为（，且为整数）； （2）解：当时，则，解得； 当，则，解得； 当，则，解得， ∴当游泳次数小于20次时，选择方案一；游泳次数为20次时，两种方案均可；游泳次数大于20次时，选择方案二． 【精练2】（24-25八年级下·广东广州·期中）某农户种植一种经济作物，总用水量与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示． (1)分别求出当和时，与之间的函数关系式； (2)若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到？ 【答案】(1)时，；时， (2) ，天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）根据待定系数法即可求解； （2）将已有的值代入（1）中所得的解析式求解即可． 【详解】（1）解：时，设函数关系式为：， 结合函数图象有：， 解得：， 即时，函数关系式为：， 同理可求：时，函数关系式为：； （2）当时，根据时，， 有： ； 总用水量 ，此用水量大于 ， 令：，解得：， 答：种植时间为11天，总用水量为 ；种植时间为天时，总用水量达到． 题型六 一次函数与几何综合 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出点和，设，然后分第一象限和第三象限两种情况，利用铅锤法求面积，列式进行计算即可求解； （3）将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，设该直线交y轴于点，设符合条件的点为点M、，过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N，证明，求出点M、H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解；∵， ∴点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：∵直线的表达式为， ∴令，则， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴， 设， 当点P在第一象限时，设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴， 令，则， 设直线与y轴交于点D， 则D坐标为， ， 解得或5， ∵， ∴， ∴； 当点P在第三象限时，如图， 设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴直线解析式， 令，则， 设直线与y轴交于点E， 则E坐标为， ， 解得， ∴； 综上所述，点或． （3）解：存在，理由如下： 如图，等腰直角，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了4个单位，则，该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则，， 设点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则，且， 解得且， 则点，， 由题意得，点M和点关于点H对称， ∴由中点坐标公式，得； 综上所述，点M或． 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E坐标为 ； (3)Q坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标，根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可以计算出直线的解析式； （2）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （3）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， ， ∵点C为的中点， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （3）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或． 【精练2】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）分别令直线解析式中和，求出对应的、值，即可得到点、的坐标． （2）①通过构造全等三角形，求出点的坐标；②已知点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴． 令，则， ∴． （2）解：①过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴． ∵直线绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ②设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“更香”是古代中国特有的计时装置，香线采用特殊工艺制成．小颖买了一款香，通过记录燃烧时间与剩余香的长度得到二者之间的关系式是，则下列说法不正确的是（   ） A．这款香燃烧2小时后，剩余香的长度是 B．在燃烧过程中，剩余香的长度随着燃烧时间均匀减少 C．这款香的初始长度是 D．这款香燃烧1小时，香长度减少 【答案】D 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，根据给出的y与x的函数解析式，结合x（燃烧时间）、y（剩余长度）的实际意义，计算判断各选项正误即可． 【详解】解：对选项A，∵当时，，∴燃烧2小时后剩余长度为，A说法正确； 对选项B，∵是一次函数，x的系数为固定常数，∴y随x均匀变化，即剩余香长度随燃烧时间均匀减少，B说法正确； 对选项C，∵初始燃烧时，代入得，∴香的初始长度为，C说法正确； 对选项D，∵燃烧1小时后，，剩余长度，初始长度为，∴长度减少了，D说法不正确，符合题意． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙两位同学的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点）的个数相等，则k的取值范围为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键． 甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可； 乙：根据规则满足条件的总共有10个点，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围． 【详解】解：甲：∵点横纵坐标之和为5， ∴， ∴第一次向左平移1个单位，即， ∵横纵坐标之和为4， ∴，即第二次向上平移1个单位， ∴，而的横纵坐标之和为5， ∴，即第三次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第四次向上平移1个单位，即， ∵横纵坐标之和为5， ∴第五次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第六次向上平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为5， ∴第七次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第八次向上平移1个单位，即， ∴甲同学说法正确，符合题意； 乙：按照平移规则依次计算可得点共有10个点， 当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间， 设直线过点时，即，解得， 设直线过点时，即，解得， ∴当时，直线两侧点（）的个数相等， ∴乙同学说法正确，符合题意， 故选：C． 4．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【答案】3 【分析】根据题意，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：直线直线，则可设直线的解析式为， 又， ，解得， 即直线的解析式为， 又，四边形是长方形， 当时，， ， 又， ． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在x轴上，直线：与正方形的边有两个交点O、E，当时，k的取值范围是____． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，找到临界点即可解答． 【详解】解：当时， 当时， ， ， 根据勾股定理，得， 将点E坐标代入， 得， ，， ， ∴正方形的边长为4， ， 当E与B重合时，， 当时，k的取值范围是， 当时， ， ， 当时，k的取值范围是， 综上，k的取值范围是：或． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 【答案】或 【分析】先根据调和点的定义和矩形周长公式推导出调和点的坐标满足且、，通过分类讨论，得到调和点在正方形的边(正方形的顶点除外)上，；再对一次函数解析式变形，确定其恒过的定点；接着分别求出直线经过正方形的关键顶点和时的临界值，结合一次函数倾斜度的变化规律分类讨论，判断不同斜率区间内直线与轨迹是否有符合条件的交点，排除无交点的区间和不符合的临界值，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为，，， ∴，即，且，， 在第一象限内，，原方程可化为，在平面直角坐标系中表现为不含端点的线段； 同理，平面直角坐标系中满足的点在正方形上且不与点、、、重合， 问题转化为直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)， 将一次函数变形为， ∴当时，，即一次函数的图象必经过定点． ①当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为，线段在该直线上，故符合条件． 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 综上，时满足条件． ②当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为， 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 当时，直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)无交点，不满足要求． 综上所述，的取值范围为或． 7．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 5 6 … 火箭速度 100 150 200 250 300 … 火箭发射后第13秒时火箭的速度是____________． 【答案】650 【分析】由速度随时间均匀变化可得与满足一次函数关系，求出函数解析式后代入对应t的值即可得到结果． 【详解】解：设函数表达式为， 将，和，代入表达式，得，解得， ∴与的函数表达式为， 当时，． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出段与之间的函数表达式； (2)当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以求出段与之间的函数表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：设段与之间的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段与之间的函数表达式为； （2）将代入，得：， 解得， 答：当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓． 9．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 10．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小红家去年共缴水费394.3元 (3)小明家去年用水150吨 【分析】（1）根据年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费3.1元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费4.25元，可以得到y与x的函数关系式； （2）把代入计算即可； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时， 答：小红家去年共缴水费394.3元； （3）解：当时， 解得： 答：小明家去年用水150吨． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）在一定条件下某溶液的体积与温度成一次函数关系，函数图象如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．时，该溶液的体积为 B．V与t的函数关系式为 C．若要求该溶液的体积不超过，则 D．温度t每增加该溶液体积V就增长 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐个选项判断可以得解． 【详解】解：由题意，设一次函数解析式为， ∵一次函数的图象过， ∴． 解得：． ∴该函数解析式为，故B正确，不合题意． ∴当时，，则该溶液的体积为，故A正确，不合题意． ∵当时，，则， ∴要求该溶液的体积不超过，则，故C正确，不合题意． 又∵温度t每增加， ∴体积的增长． ∴该溶液体积V就增长，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽池州·期末）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当拉力时，重物的重力 B．当时， C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用．由图可得拉力与重力成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，拉力与重力成一次函数关系，拉力F随着重力的增加而增大， 故选项C结论正确，不合题意； 设，将和代入，得：， 解得， ， 当拉力时，解得， 故选项A结论正确，不合题意； 由图可得，当时，， 故选项B结论错误，符合题意； 由图可得，当时，， 故选项D结论正确，不合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 【答案】14 【分析】本题考查一次函数的应用．由图象交点个数可知比赛途中两组同学相遇了2次，然后根据待定系数法分别求出函数解析式，求解交点坐标即可． 【详解】解：如图， ， 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 同理段的函数表达式为； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得， 甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为， 故答案为：14． 6．（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质、勾股定理的应用等，解决问题的关键是根据折叠的性质得出，．先求得点A、B的坐标，进而求得，由题意得：，故点，设点D的坐标为：，根据，即可得到m的值． 【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴， 故点， 设点D的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， 故点． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为： ，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为： ， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴ ， 综上所述：或． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E． (1)求直线的表达式； (2)求直线的表达式； (3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点P的坐标为：或或 【分析】（1）求出点A与点B的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （2）过点E作于点H，求出点E的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由题意可分当时，P点在C点下，当，P点在C点上时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （2）解：∵， ∴， ∴， 过点E作于点H， ∵的平分线交x轴于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （3）解：由点B关于x轴的对称点为点C，可知：， 设， ①如图1，当时，P点在C点下， 过点P作轴交于点G，交y轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当，P点在C点上时， 由①得，， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，过点M作轴交y轴于点L，过P点作交于K， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点P的坐标为：或或． 10．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）某学校绿化校园，计划购进A、B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)填空①购买B种树苗_____棵，②y与x的函数关系式为_____； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，共有多少种购买方案； (3)在满足（2）的条件下，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)①；② (2)共有11种购买方案 (3)最省钱的方案是A种树苗购买11棵，B种树苗购买10棵，该方案的费用是1690元 【分析】（1）根据计划购进A、B两种树苗共21棵，购买A种树苗棵，即可求得购买B种树苗数； 根据总费用＝购买A树苗的费用+购买B树苗的费用即可求解； （2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，结合，且为整数即可求解； （3）根据（2）的取值，再利用（1）所得的函数关系式确定费用何时取得最小值，进而求出费用的最小值． 【详解】（1）解：∵计划购进A、B两种树苗共21棵，购买A种树苗棵， ∴购买B种树苗棵． 由题意得，． （2）解：由题意得，， 解得， ∵， ∴，且为整数， ∴， ∴共有11种购买方案． （3）解：由（1）可知，， ∵，，且为整数， ∴当时，取最小值， ∴最省钱的方案是A种树苗购买11棵，B种树苗购买10棵，该方案的费用是1690元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $