专题06 一次函数与方程（组）、不等式【期末复习重难点培优专题八大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与方程（组）、不等式的关联应用，通过8类高频易错题型讲练与真题实战，构建“概念-方法-应用”的系统性突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|8题型（含期中真题精讲+精练）|交点坐标法、图象转化法、面积公式法等|以一次函数图象为核心，串联方程解（交点横坐标）、不等式解集（函数值大小）、方程组解（两线交点）的逻辑链条| |优选真题实战演练|35题（基础10题+拔尖25题）|综合应用上述方法解决动态几何、实际情境问题|从基础计算到拓展应用，体现“数学眼光观察图象、数学思维推理关系、数学语言表达规律”的核心素养|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 一次函数与方程（组）、不等式『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 2 题型三 利用图象法解一元一次方程 3 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 5 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 6 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 7 题型七 图象法解二元一次方程 8 题型八 求直线围成的图形面积 9 优选真题 实战演练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 14 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲】（24-25八年级下·四川资阳·期中）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 题型三 利用图象法解一元一次方程 【精讲】（24-25八年级下·广东清远·期中）函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【精练2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【精练1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数的图象在第四象限？ (2)函数图象是否存在一点，使该点到轴的距离为3，若存在，求该点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若直线和的交点在第三象限，求满足的条件． 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）探索函数， (1)根据绝对值定义，当时， ______；当时，______； (2)在如图平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 【精讲】（24-25八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【精练1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【精练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 题型七 图象法解二元一次方程 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【精练1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【精练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 题型八 求直线围成的图形面积 【精讲】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【精练1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【精练2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)过点作的垂线，与，分别交于，两点． ①若，求的面积； ②若点位于点的上方，直接写出的取值范围． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 7．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 8．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 9．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标． (3)求的面积 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（） A．图象经过第二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 4．（24-25八年级下·广西玉林·期末）一次函数与交于点，下列结论一定正确的有 __________．（填序号即可）． ①关于x的方程的解为；②；③若，则；④将直线沿y轴向下平移后得到直线，交于点B，若点B的纵坐标为1，当时，则． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知：函数与的图象相交于点P． （1）点P的横坐标为：________（用含有t的代数式表示） （2）过点P作x轴的垂线l，与函数交于点Q，若，且点P在点Q的上方，求t的取值范围是________． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 8．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 一次函数与方程（组）、不等式『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3 题型三 利用图象法解一元一次方程 5 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 12 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 14 题型七 图象法解二元一次方程 16 题型八 求直线围成的图形面积 18 优选真题 实战演练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 【精练2】（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲】（24-25八年级下·四川资阳·期中）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【精练2】（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 【答案】/ 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知， ， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 题型三 利用图象法解一元一次方程 【精讲】（24-25八年级下·广东清远·期中）函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 【精练2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)函数图象见解析； 性质：当时的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小 (3)1.5或5.5秒 【分析】（1）分两种情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据函数解析式即可作图，再可从增减性、最值的角度分析即可； （3）从函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 综上：； （2）解：函数图象如图： 性质：当时，的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小； （3）解：由题意得，当时，或 解得或， 或由函数图象可得，的面积为3时，的值为1.5或5.5秒． 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【精练1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【答案】/ 【详解】如图，当时，， 当，即时，如图可知，． 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数的图象在第四象限？ (2)函数图象是否存在一点，使该点到轴的距离为3，若存在，求该点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若直线和的交点在第三象限，求满足的条件． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据第四象限的点可得且，解不等式即可求解； （2）分别将，代入解析式，即可求解； （3）联立和得出，，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，．即且， ∴ （2）解：由题意得：或．当时，， ， 坐标为 当时，， 坐标为 综上所述，直线上到x轴的距离为3的点坐标为或 （3）解：由 得，， 解得 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）探索函数， (1)根据绝对值定义，当时， ______；当时，______； (2)在如图平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的x的取值范围去绝对值即可得到答案； （2）先列表，再描点和连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象找到函数值小于或等于4时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 2 3 … 函数图象如下所示： （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 【精练2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】由图象结合点的坐标，判断的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，点的左侧，直线低于直线， ∴当时，的取值范围为． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 【精讲】（24-25八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 【精练1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 【精练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 题型七 图象法解二元一次方程 【精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 【精练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 题型八 求直线围成的图形面积 【精讲】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 【精练1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；直线的函数表达式为 (2) (3)存在，或 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 【精练2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)过点作的垂线，与，分别交于，两点． ①若，求的面积； ②若点位于点的上方，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①45；② 【分析】（1）利用待定系数法求，即可； （2）①分别求出的纵坐标，进而得到，再利用面积公式求解；②利用函数图像得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 将代入得，， 解得：； （2）①将分别代入，得， ，， ， ； ②由图可知，点位于点的上方，则． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，明确两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键，先求出交点的纵坐标，再结合方程组与函数的转化关系得出方程组的解． 【详解】解：∵点在的图像上． ∴将代入得，． ∴两个一次函数图像的交点为． 又∵方程组可变形为． ∴该方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标． ∴方程组的解为． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果． 【详解】解：直线变形可得，直线变形可得， 直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 该方程组的解为， 两直线的交点坐标为． 6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 【答案】3 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 7．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 8．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）利用正比例函数，求得点B坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式求得点D坐标，即可求的面积． 【详解】（1）解：把代入中，得， 所以点的坐标为， 由图象可知， 设一次函数的解析式为， 把和代入， 得， 解得， 所以一次函数的解析式是； （2）解：在中，令，则， 解得， 则的坐标是， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标． (3)求的面积 【答案】(1) (2)，， (3)6 【分析】（1）将代入，求出y的值即可； （2）把，代入，求出k、b的值，即可得出答案． （3）由，，得，即可得． 【详解】（1）解：将代入， 得, ∴． （2）解：把，代入， 得， 解得， ∴， 令，则，解得；令，则， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点P的横坐标代入，即可求出n． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点A和点C的坐标，，求出，设，最后根据代入求解出x，进而可求出点H的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到一次函数的图象，下列结论中错误的是（    ）． A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，一次函数的性质，掌握好平移规律是关键． 根据平移规律确定的值得到解析式，再逐一验证各选项找出错误结论即可． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律， ∴得到的一次函数解析式为，即， 对于选项A：由上述推导得，此选项正确，不符合题意； 对于选项B：将代入，得， ∴图象经过点，此选项正确，不符合题意； 对于选项C：∵在中，， ∴随的增大而减小； 又∵当时，， ∴当时，，此选项正确，不符合题意； 对于选项D：∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴，此选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数（a，b是常数）的图象过点，，下列说法中，正确的是（） A．图象经过第二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，结合已知条件和一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故本选项错误． B、∵一次函数中，， ∴随的增大而增大，故本选项错误． C、∵一次函数的图象过点， ∴当时，， ∴方程的解是，故本选项正确． D、∵随的增大而增大，且当时，， ∴当时，， 即不等式的解集是，故本选项错误． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广西玉林·期末）一次函数与交于点，下列结论一定正确的有 __________．（填序号即可）． ①关于x的方程的解为；②；③若，则；④将直线沿y轴向下平移后得到直线，交于点B，若点B的纵坐标为1，当时，则． 【答案】①④ 【分析】①根据函数图像的交点坐标即为对应的函数关系式联立的方程组的解即可判断； ②将点代入，再根据即可求得； ③先求得，将、代入得，再分类讨论即可； ④先求得交点B的坐标，再根据题意画图，由此可判断结果． 【详解】解：①∵与交于点， ∴关于x的方程的解为，故①正确； ∵点在的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，故②错误； ∵点在的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得：， 当时， ， ∵， ∴， ∴， 当时， ， ∴； ∴或，故③不正确； ④∵交于点B，若点B的纵坐标为1， ∴当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴由下图可知：当时，，故④正确． 故正确的有①④． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知：函数与的图象相交于点P． （1）点P的横坐标为：________（用含有t的代数式表示） （2）过点P作x轴的垂线l，与函数交于点Q，若，且点P在点Q的上方，求t的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点坐标问题等知识．点P为两函数图象的交点，联立得到方程即可求解横坐标；根据点P在点Q上方，得出纵坐标不等式，结合条件化简求解t的范围即可． 【详解】解：（1）由与相交于点P， 联立方程得， 解得，故点P的横坐标为． 故答案为：； （2）∴点P的坐标为， 过点P作x轴的垂线l，方程为． 函数化为， 点Q在l上，横坐标为，纵坐标． 由点P在点Q上方，得， 即． 化简得． 已知，即， 故， 解得． 故答案为． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解． 将代入，可得点的横坐标，即可得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，三角形面积的求法，掌握相关知识点是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）连接，令与y轴的交点为点D，求出点坐标，根据，即可求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为． （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是． （3）解：如图，连接，令与y轴的交点为点D， 当时，，， 点B坐标为，点D坐标为， ， 当时，，解得， 点C坐标为， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $