专题05 一次函数的图形和性质【期末复习重难点培优专题九大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，以9类高频易错题型为框架，通过“精讲+精练”系统提炼解题方法，构建从解析式到图形性质再到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|9题型（1精讲+2精练）|象限判断（k,b符号法）、参数范围（不等式组解法）、平移（上加下减法则）、对称（坐标变换规律）等|从概念（解析式）到性质（象限、增减性）到变换（平移、对称）再到应用（规律探究、综合计算）递进| |优选真题实战演练|47题（基础10+拓展10）|基础夯实（性质直接应用）、拓展拔尖（多知识点综合）|覆盖期末高频考点，通过分层训练提升推理意识与应用能力|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 一次函数的图形和性质『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 1 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 2 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 2 题型四 一次函数图象平移问题 3 题型五 一次函数图象与对称问题 3 题型六 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 4 题型七 比较一次函数值的大小 4 题型八 一次函数的规律探究问题 5 题型九 求一次函数解析式 6 优选真题 实战演练 7 【基础夯实 能力提升】 7 【拓展拔尖 冲刺满分】 9 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限． A．第一、第二、第三 B．第二、第三、第四 C．第一、第三、第四 D．第一、第二、第四 【精练2】（24-25八年级下·吉林·期中）已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）已知实数a使得不等式组有解且最多有5个整数解，则a的取值范围是___________，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的值的和为___________． 【精练1】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图形如图所示，这个函数可能是______（写出一个即可） 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲】（24-25八年级下·河北沧州·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 题型四 一次函数图象平移问题 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）在同一平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后，与直线的交点可能是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 题型五 一次函数图象与对称问题 【精讲】（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【精练1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【精练2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 题型六 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）对于一次函数，当自变量的值增加1时，函数值将（    ） A．减少2 B．减少1 C．增加2 D．增加1 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·阶段检测）点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 题型七 比较一次函数值的大小 【精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）点在直线上，则的大小关系是_____ 【精练1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若点，都在直线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型八 一次函数的规律探究问题 【精讲】（24-25八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【精练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【精练2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 题型九 求一次函数解析式 【精讲】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【精练1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)通过计算判断点是否在（）中所求函数的图象上． 【精练2】（24-25八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 8．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数（为常数）的图象，下列命题： 当时，直线（为常数）与轴交点为； 若函数图象经过点，则或； 函数图象与轴交点为； 若当时，随的增大而增大，则． 其中是真命题的有______（填序号） 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 7．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 8．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 10．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与y轴交于点，与x轴交于点，点M在线段上． (1)求直线的表达式； (2)当时，求点M的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 一次函数的图形和性质『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 1 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 2 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 4 题型四 一次函数图象平移问题 6 题型五 一次函数图象与对称问题 8 题型六 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 10 题型七 比较一次函数值的大小 11 题型八 一次函数的规律探究问题 12 题型九 求一次函数解析式 15 优选真题 实战演练 17 【基础夯实 能力提升】 17 【拓展拔尖 冲刺满分】 24 题型一 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，可知函数 的图象经过第一、三、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解： 函数 ，，， 该函数图象经过第一、三、四象限． 【精练1】（24-25八年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限． A．第一、第二、第三 B．第二、第三、第四 C．第一、第三、第四 D．第一、第二、第四 【答案】A 【详解】解：对于一次函数，， ∴该直线经过第一、第二、第三象限． 【精练2】（24-25八年级下·吉林·期中）已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 【答案】(1) (2)；四 【分析】（1）根据两直线平行，值相等，列出方程进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，求出的范围，根据的符号，判断函数经过的象限即可. 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵此函数值随值的增大而增大， ∴， ∴； ∵，， ∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限. 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）已知实数a使得不等式组有解且最多有5个整数解，则a的取值范围是___________，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的值的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解与一次函数的性质． 先解不等式组中的第一个不等式，再根据不等式组有解且最多有5个整数解确定a的初步范围，最后结合一次函数图象的性质确定符合条件的整数a，计算其和即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得，． 不等式组为，不等式组有解，则， 的整数最多有5个，整数依次为，，，0，1，故最多5个整数解应满足． 故a的取值范围是． 一次函数的图象不经过第四象限， ， 解得． 结合，得． a为整数， a的取值为，，0，1． 满足条件的所有整数a的和为． 【精练1】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线不经过第二象限，可得函数表达式当中一次项系数大于等于零，常数项小于等于零，进而得到m取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ， 解得：． 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图形如图所示，这个函数可能是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一次函数解析式为，然后根据函数图象即可求解． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵根据图象可知，一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴这个函数的解析式可以是（答案不唯一）． 题型三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲】（24-25八年级下·河北沧州·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与x轴交点坐标的求解，x轴上所有点的纵坐标都为0，只需令代入解析式求出x，即可得到交点坐标． 【详解】∵x轴上点的纵坐标为0， ∴令，代入得， 解得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 【精练1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点， 当时，即，解得，； 当时，， ，， ，． 若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下： ①当，且点在点右侧时，如图所示： 则， ． ， ； ②当时，如图所示： 则， ， ； ③当，且点在点左侧时，如图所示： 则， ． ， ． 综上，点的坐标为或或． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】令，可求得一次函数图象与轴交点的横坐标，进而得到交点坐标． 【详解】解：把代入得，， 解得， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 题型四 一次函数图象平移问题 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）在同一平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后，与直线的交点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规律求出直线向下平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向下平移个单位后，得到， A、把代入得，， 把代入得，， ∴交点可能是，故A符合题意； B、把代入得，， 把代入，得，故B不符合题意； C、把代入得，， 把代入，得，故C不符合题意； D、把代入得，， 把代入，得，故D不符合题意； 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先设直线的解析式为，将、两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含的项，求出；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将、两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数与常数项，即可算出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 两式相减得，解得． ∵将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线， ∴可设直线的解析式为． ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，得． 【精练2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）若将直线向上平移个单位，使得平移后的直线经过点，则的值为_____． 【答案】2 【分析】根据平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解即可 【详解】解：将直线向上平移个单位后，根据平移规律，所得直线的解析式为， 将点代入，得， 解得 题型五 一次函数图象与对称问题 【精讲】（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据把的部分沿轴翻折，可得翻折后的解析式为，当时，对应的有，在取值范围内；的部分没有翻折，且当时，有，因为纵坐标的取值范围是，可得不等式组为，解不等式组可得：，所以的取值范围是． 【详解】解：如下图所示， 把部分沿轴翻折，对应的部分的解析式为 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，； 当时，对应的部分的解析式为， ， ， 解得：， ， ． 【精练1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 【精练2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 题型六 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）对于一次函数，当自变量的值增加1时，函数值将（    ） A．减少2 B．减少1 C．增加2 D．增加1 【答案】A 【分析】分别计算自变量取和时对应的函数值，作差得到函数值的变化量，即可得出结论，本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：当时， 当时， 即当自变量的值增加1时，函数值减少2． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·阶段检测）点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)该一次函数的解析式为 (2)当时，该一次函数的函数值y的取值范围是 【分析】（1）使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，由k的正负判断y随x的变化规律，代入x的端点值计算得到y的取值范围． 【详解】（1）解：∵点A，B在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，该一次函数的函数值y的取值范围是． 题型七 比较一次函数值的大小 【精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）点在直线上，则的大小关系是_____ 【答案】/ 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小， 结合增减性判断纵坐标的大小关系. 【详解】解：直线是一次函数，其中一次项系数， 随的增大而减小. 点，的横坐标满足. . 【精练1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若点，都在直线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数的增减性比较大小，也可代入横坐标直接计算函数值再比较． 【详解】方法一：利用一次函数增减性判断 ∵直线中，一次项系数 ∴随的增大而减小， ∵两点的横坐标满足， ∴． 方法二：代入计算比较 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知， 随x的增大而增大， ， ． 题型八 一次函数的规律探究问题 【精讲】（24-25八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 【精练1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【答案】 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 【精练2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 题型九 求一次函数解析式 【精讲】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例函数的定义设出函数解析式，再将已知的、值代入，求出比例系数，从而得到函数解析式． （2）将点代入已求出的函数解析式，得到关于的方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为． ∵当时，， ∴， 解得． ∴与之间的函数解析式为． （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 【精练1】（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)通过计算判断点是否在（）中所求函数的图象上． 【答案】(1)； (2)点不在（）中所求函数的图象上，见解析． 【分析】（）设，然后把，代入，运用待定系数法计算即可求解； （）当时，求出的值，与点坐标进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设， 整理得， 把，代入，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（）得， 当时，， ∴点不在（）中所求函数的图象上． 【精练2】（24-25八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 则， ∴， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：列表如下： … 3 0 … … 1 … 函数图象如下所示： 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“上加下减”的平移规则即可求解，向下平移不改变一次项系数，只改变常数项． 【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后，所得解析式为． 整理得． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位，所得直线的函数表达式为． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：①当时，函数，②当时，函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：①当时，函数， ， 随的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，； ②当时，函数， ， 随的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，； 综上可知，当时，则函数值y的取值范围是． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；；进而得出，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即； ； ； ∴点的坐标是． 8．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及画一次函数的图象是关键． （1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再经过，两点作直线即可； （2）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再计算三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解： 为正比例函数， ， ． （2）解： 不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 10．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论的情况，根据一次函数性质判断两个函数图象位于哪些象限，再根据当时，，进行判断即可． 【详解】解：当，图象过第一、二、三象限，过第一、二、三象限； 当，图象过第一、三、四象限，过第一、二、四象限； 当，图象过第一、二、四象限，过第一、三、四象限； 当，图象过第二、三、四象限，过第二、三、四象限； 当时，， 综上，只有D符合题意． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组无解求出a的取值范围，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∵不等式组无解， ∴， 解得， ∴， 即一次函数中，，， 根据一次函数的性质，当，时，函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限， 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据一次函数的k值判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵直线中， ∴y随x的增大而减小， ∵，且点，都在直线上， ∴． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数（为常数）的图象，下列命题： 当时，直线（为常数）与轴交点为； 若函数图象经过点，则或； 函数图象与轴交点为； 若当时，随的增大而增大，则． 其中是真命题的有______（填序号） 【答案】 【分析】①将代入直线方程，得，再令可得与x轴的交点坐标； ②将代入即可求解； ③令解答即可； ④求出函数的顶点坐标，再根据当时函数的增减性解答即可． 【详解】解：将代入直线方程，得， 令，即，解得， 所以当时，直线为常数与轴交点为， 故是真命题； 将代入，得， 解得或； 故是真命题； 令，解得， 所以函数图象与轴交点为， 故是假命题； 由③知函数的顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大，则，解得， 故是真命题． 所以其中是真命题的有． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点，点A，点B的坐标，根据即可求解； （2）分点在线段上和在点的右边进行讨论计算即可求解． 【详解】解：（1）令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式是． 故答案为：． （2）由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， 当点在线段的处时，如图， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 当在点的右边处时，如图， 连接并延长交于点， ∵， ∵轴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴点与点关于点对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一元一次方程的解法．首先用待定系数法求出一次函数的解析式，设点的坐标为，根据点到轴，轴的距离之和为，可列方程，再根据的取值范围分情况求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是， 设点的坐标为， 点到轴，轴的距离之和为， ， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，点的坐标是或． 7．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，由于，y随x增大而减小，当（为任意实数）时，差值为，令其等于即可解出． 【详解】解：， 随着的增大而减小， 在（为任意实数）时， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ， 解得：， 函数表达式为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 【答案】(1)20，10 (2) (3)小明距离山顶还有 【分析】（1）由图象中数据求解即可； （2）利用待定系数法求解函数关系式即可求解； （3）先得到上午10时，，代入（2）中函数关系式中求得s即可． 【详解】（1）解：由图象得小明刚开始爬山时的速度为（米/分钟）， 他在中途休息了（分钟）； （2）解：由图象，减速后是的一次函数，设与之间的函数关系式为， 由图象可知：当时，；当时， ，解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：由题意，上午10时，， 在中，当时，， ． 答：小明距离山顶还有． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 10．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与y轴交于点，与x轴交于点，点M在线段上． (1)求直线的表达式； (2)当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得：． ∴直线的表达式为； （2）解：∵，∴． ∵， ∴，即． ∴． 将代入得：， 解得：． ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $