专题03 勾股定理的实际应用【期末复习重难点培优专题十大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理实际应用，通过10类高频场景题型（梯子滑落、旗杆高度等）实现从实际问题到直角三角形模型的转化，强化数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|10题型（30题）|实际情境转化为直角三角形，需构建a²+b²=c²模型|从具体场景（梯子、航海等）抽象出直角边与斜边关系，体现数学建模过程| |优选真题实战演练|14题（基础+拓展）|覆盖期中期末高频易错点，含综合应用与变式|由单一应用到多情境综合，培养推理能力与问题解决能力|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 勾股定理的实际应用『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1 题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用) 2 题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 3 题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 4 题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 5 题型六 解决航海问题(勾股定理的应用) 6 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 7 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 8 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 9 题型十 求最短路径(勾股定理的应用) 11 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 15 题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【精练2】（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北保定·期中）在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【精练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）假日里，淇淇一家在广场放风筝．如图，测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线的长度，计算出的长度为，牵风筝线的手到地面的距离为，点A、B、C、D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要让风筝沿射线方向再上升，还需放线多少米． 【精练2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【精练1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在离竹子底端4米处，折断处B离地面的高度是多少？ 【精练1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 【精练2】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，一个饮料罐下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·山东滨州·期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【精练2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 解决航海问题(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【精练1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【精练2】（24-25八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． (1)求灯塔到航线的距离； (2)在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·月考）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【精练1】（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【精练2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【精练1】（24-25八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【精练2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段检测）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 题型十 求最短路径(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，长方体的长宽高分别为，，，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的路程最短为______． 【精练2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 2．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 5．（24-25八年级下·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 7．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为______米． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中______尺；水的深度是______尺；这根芦苇的长度是______尺．    6．（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距________海里． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 8．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 9．（24-25八年级下·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 勾股定理的实际应用『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1 题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用) 3 题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 6 题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 7 题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 9 题型六 解决航海问题(勾股定理的应用) 11 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 13 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 15 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 17 题型十 求最短路径(勾股定理的应用) 20 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 29 题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 【精练2】（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 【答案】4 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由勾股定理，得. 题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河北保定·期中）在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】B 【分析】设灯杆为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图： 设灯杆为x米，则绳子的长为米， 在直角中，米，， ∴， 解得， ∴灯杆为8米． 【精练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）假日里，淇淇一家在广场放风筝．如图，测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线的长度，计算出的长度为，牵风筝线的手到地面的距离为，点A、B、C、D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要让风筝沿射线方向再上升，还需放线多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作构造矩形和，先用勾股定理求出，再加上的长度得到风筝离地面的垂直高度； （2）先算出风筝上升后到的垂直距离，再用勾股定理求出新的风筝线长，最后减去原线长得到还需放线的长度． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴风筝离地面的垂直高度为； （2）解：如图2，延长至点，连接， 则， 在中， ， ∵， ∴还需放线． 【精练2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 【答案】实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 【分析】利用辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明，将AC、BD、CD转化到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理求出绳索长度，结合旗杆高度求出最低点即可． 【详解】解：作于，于，则， ， ， 在和中， ， ， ，， （米）， （米）． 又（米），且， ，即， （米）， （米）， （米）， 在中，由勾股定理得： ， （米）， 米（绳索长度不变）， （米）， 答：实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 【精练1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在离竹子底端4米处，折断处B离地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是米，则斜边为米．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面米，则斜边为米， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度是米． 【精练1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 【答案】4.2 【分析】设尺，则尺，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案. 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴折断处离地面的高度是尺. 【精练2】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，一个饮料罐下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，， ∵点A在上底中心处， ∴点C为下底中心处， ∵下底面直径是， ∴， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是． 【精练1】（24-25八年级下·山东滨州·期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 【精练2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 题型六 解决航海问题(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 【精练1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）， D选项符合题意． 【精练2】（24-25八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． (1)求灯塔到航线的距离； (2)在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 【答案】(1)50海里 (2)小时 【分析】（1）由题意得到海里，求得，过点A作于T，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到，求得海里，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得 ， 海里， 过点作于， ， ， 答：灯塔到航线的距离是50海里； （2）解：， ， ， ∴为等腰直角三角形，且， （海里）， 在中，，根据勾股定理得， （海里）， 海里， 小时； 答：轮船从到处所用的时间为小时． 题型七 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·陕西商洛·月考）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 【精练1】（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 【精练2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型八 判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】解：由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【精练2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 题型九 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【精练1】（24-25八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 【精练2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段检测）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 题型十 求最短路径(勾股定理的应用) 【精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ∴， ∵， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是． 【精练1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，长方体的长宽高分别为，，，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的路程最短为______． 【答案】 【分析】将长方体表面展开，利用两点之间线段最短，根据勾股定理分别计算三种不同展开方式下的路径长度，比较大小即可． 【详解】解：第一种情况：将长方体的前面和右面展开在同一平面内， 构成的直角三角形的两条直角边长分别为和， 此时，蚂蚁走过的最短路程为 ， 第二种情况：将长方体的前面和下面展开在同一平面内（或左面与下面）， 构成的直角三角形的两条直角边长分别为 和， 此时，蚂蚁走过的最短路程为， 第三种情况：将长方体的上面和后面展开在同一平面内（或左面与后面）， 则构成的直角三角形的两条直角边长分别为和， 此时，蚂蚁走过的路程为， ∵， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 【精练2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆柱形玻璃容器的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于； ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 2．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选C． 4．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河南周口·期末）一种盛饮料的圆柱形杯子，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里（如图），杯口外面至少要露出，为节省材料，吸管长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵圆柱形杯子底面半径， ∴底面直径， 杯子内最短长度：吸管垂直放入杯内时，长度等于杯子的高，即； 杯子内最长长度：吸管斜放至杯底边缘时，长度为， ∴吸管总长度a需满足：最小值：， 最大值：， 吸管长的取值范围是：． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解． 【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下， 如图，过点作于点， ∵与恰好互余，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 【详解】解： 斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 4．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．图中______尺；水的深度是______尺；这根芦苇的长度是______尺．    【答案】 1 12 13 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的，设水深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：尺， 设水深为x尺，芦苇尺，尺 中，由勾股定理：， 解得：， 所以， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 故答案为：1，12，13． 6．（23-24八年级下·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距________海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键． 如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，为9点时两艘小船的距离， 由题意知，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 8．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 9．（24-25八年级下·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得， ， ， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】(1)1.6 (2) 【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线定理以及轴对称求最短路径的核心知识点． （1）先在中用勾股定理求出，再在中用勾股定理求出． （2）利用是的垂直平分线，将转化为，其最小值为线段 的长，再通过构造直角三角形，用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：∵ ， ，． ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长． 取的中点，连接． ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $