专题02 勾股定理的证明与解决问题【期末复习重难点培优专题八大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理证明与应用，通过8类高频易错题型讲练（含精讲+精练）及分层真题演练，构建“原理证明-情境应用-综合拓展”的系统性方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理与网格问题|1+2|格点距离公式、坐标法|从基础计算到图形变换，强化几何直观| |勾股定理与折叠问题|1+2|折叠不变量、方程思想|结合轴对称性质，培养空间观念| |线段平方和(差)计算|1+2|勾股定理变形应用|深化代数表达与几何性质的联系| |线段平方关系证明|1+2|构造直角三角形、等量代换|提升逻辑推理与模型意识| |勾股定理证明|1+2|等面积法（赵爽弦图等）|追溯定理本源，理解证明本质| |弦图背景计算|1+2|弦图面积关系、代数变形|渗透数学文化，强化数形结合| |构造图形解决问题|1+2|转化思想、最值模型|培养创新意识与问题解决能力| |勾股定理与无理数|1+2|数轴构造法、无理数几何意义|连接代数与几何，发展数感|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 勾股定理的证明与解决问题『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 勾股定理与网格问题 1 题型二 勾股定理与折叠问题 3 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 6 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 8 题型五 勾股定理的证明方法 9 题型六 以弦图为背景的计算题 12 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 13 题型八 勾股定理与无理数 19 优选真题 实战演练 20 【基础夯实 能力提升】 20 【拓展拔尖 冲刺满分】 29 题型一 勾股定理与网格问题 【精讲】（24-25八年级下·北京·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 【精练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：平移的距离即为对应点所连线段的长度， ∴平移距离． 【精练2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据网格的特点，，在中，根据勾股定理可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 题型二 勾股定理与折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 【精练1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·贵州·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 【答案】或6 【分析】分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：当点D在上时，如图所示： 在中，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，， ∴， 设，则， ∵， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的长为； 当点D在延长线时，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即此时的长为6； 综上，的长为或6． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【精讲】（24-25八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 【精练1】（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【精练2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（24-25八年级下·湖北襄阳·阶段检测）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 【精练1】（24-25八年级下·河北唐山·月考）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 【详解】解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 【精练2】（2024·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 题型五 勾股定理的证明方法 【精讲】（24-25八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可． 【详解】证明：选择图1： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴． 选择图2： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴， ∴． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 【精练2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】(1)直角梯形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理； （2）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． （2）解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 题型六 以弦图为背景的计算题 【精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）（数学文化）勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“勾”为，“股”为，弦的计算公式为， ，选项符合题意． 【精练1】（24-25八年级下·河北保定·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它由四个全等的直角三角形拼接而成（如图）．若小正方形的面积是4，直角三角形的直角边长分别为a，b，且满足，则大正方形的面积为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】利用完全平方公式以及勾股定理求解． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， 代入得， ， 解得， ∴大正方形的面积为20． 【精练2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 【答案】25 【分析】由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， 由可得，， ∴， ∴， ∴． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及两点之间线段最短的知识，根据题意，将代数式转化为求两条线段之和的最小值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，， 可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即， 点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 题型八 勾股定理与无理数 【精讲】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵， ∴． ，， ∴， ， 点表示的数是． 【精练1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，点在数轴上表示的数为，在数轴上取一点，使，过点作直线，在直线上取点，使，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，可得，即可得点表示的数． 【详解】解：∵直线，点、在直线上， ∴， ∵ ，， ∴， ∴点表示的数是． 【精练2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∴点P所表示的数是． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴； 故答案为． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 8．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 9．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是利用等积法证明勾股定理． （1）连接，利用等积法，根据求解即可； （2）根据面积法可进行因式分解，然后根据因式分解后所得的等式，把的两边平方即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵ （2）解：由图形可知， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先作出，再根据，取格点，作线段，取格点，使得，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，最后由勾股定理计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 先作出， 再根据，取格点，作线段，取格点，使得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，则， 由勾股定理可得． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，，由勾股定理即可解答． 【详解】解：如图： 设二人从出发到相遇用x个单位时间， 由题意得：，，，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 7．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 8．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． (1)求证：． (2)求的度数． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据证明可得结论； （2）连接，由对称性得，，，可得出 （3）作，垂足为．证明，再根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：平分，， ， ，， ， ； （2）解：连接． 点与点关于直线对称， ， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 作，垂足为． ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 10．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】(1)3 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 勾股定理的证明与解决问题『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 1 题型一 勾股定理与网格问题 1 题型二 勾股定理与折叠问题 2 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 3 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 4 题型五 勾股定理的证明方法 4 题型六 以弦图为背景的计算题 5 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 6 题型八 勾股定理与无理数 8 优选真题 实战演练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【拓展拔尖 冲刺满分】 12 题型一 勾股定理与网格问题 【精讲】（24-25八年级下·北京·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【精练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 【精练2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 题型二 勾股定理与折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【精练1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·贵州·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【精讲】（24-25八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【精练1】（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【精练2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（24-25八年级下·湖北襄阳·阶段检测）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·河北唐山·月考）在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【精练2】（2024·山东枣庄·模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 题型五 勾股定理的证明方法 【精讲】（24-25八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 题型六 以弦图为背景的计算题 【精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）（数学文化）勾股定理在《九章算术》中被表述为：“勾股术曰，勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”的值为（　　） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·河北保定·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它由四个全等的直角三角形拼接而成（如图）．若小正方形的面积是4，直角三角形的直角边长分别为a，b，且满足，则大正方形的面积为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【精练2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【精练2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 题型八 勾股定理与无理数 【精讲】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点．点为原点，点所表示的数为，则的值是___________． 【精练1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，点在数轴上表示的数为，在数轴上取一点，使，过点作直线，在直线上取点，使，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是______． 【精练2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 7．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 8．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 9．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 10．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 7．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 8．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 9．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． (1)求证：． (2)求的度数． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 10．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $