专题01 二次根式的加减乘除运算【期末复习重难点培优专题十大题型+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式运算全题型，以“题型分类讲练+真题分层演练”构建方法体系，通过10类高频易错题型实现从概念理解到综合应用的逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|10题型（含精讲+精练）|①乘除混合运算：先化简再运算<br>②最简二次根式：紧扣“两不含”定义<br>③复合根式化简：完全平方公式转化法|从概念（最简根式）到运算（加减乘除/混合），再到应用（化简求值/实际问题），形成“概念-运算-应用”三阶逻辑链| |优选真题实战演练|50题（分基础/拓展层）|分层训练：基础题夯实运算规范，拓展题强化综合应用（如几何与根式结合）|对接中考命题趋势，覆盖高频考点（混合运算占比30%、化简求值占比25%），提升应用意识|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 二次根式的加减乘除运算『期末复习重难点专题培优』 【10个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 二次根式的乘除混合运算 1 题型二 化为最简二次根式 2 题型三 已知最简二次根式求参数 3 题型四 二次根式的加减运算 4 题型五 二次根式的混合运算 6 题型六 分母有理化 7 题型七 已知字母的值，化简求值 7 题型八 已知条件式，化简求值 8 题型九 二次根式的应用 10 题型十 复合二次根式的化简 12 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【拓展拔尖 冲刺满分】 19 题型一 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 【精练2】（24-25八年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型二 化为最简二次根式 【精讲】（24-25八年级下·广东韶关·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母； 【详解】解：A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，∴B是最简二次根式； C：的被开方数是小数，∴C不是最简二次根式； D： ，被开方数含能开得尽方的因数，∴D不是最简二次根式． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，判断各选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，即可得到答案． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 【精练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简：______． 【答案】 【详解】解： 题型三 已知最简二次根式求参数 【精讲】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 【精练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 题型四 二次根式的加减运算 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）解：； （2）解：. 【精练1】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则，逐一计算各选项即可判断正确答案． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴ A选项错误． ∵ ，∴ B选项错误． ∵ ，∴ C选项正确． ∵ ，∴ D选项错误． 题型五 二次根式的混合运算 【精讲】（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【精练1】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】（1）利用二次根式的除法运算性质, 将原式拆分后分别计算即可, 也可先化简括号内的二次根式再计算； （2）运用平方差公式展开计算, 可以简化运算过程． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算：． 【答案】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 题型六 分母有理化 【精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简：______． 【答案】 【详解】解：． 【精练1】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【精练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 题型七 已知字母的值，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）若，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据得出，，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 【精练2】（24-25八年级下·云南曲靖·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 【答案】D 【分析】先求出，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型八 已知条件式，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ，， ，， ． 【精练1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·河北唐山·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 题型九 二次根式的应用 【精讲】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 【精练1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 【精练2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 题型十 复合二次根式的化简 【精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题干中的方法变形即可； （2）把变形为即可求出答案； （3）求出，或即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ， 为正整数， ∵，且，，均为正整数， ∴或， 或 ∴当时，； 当时，， 或． 【精练1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：； 【类比归纳】 (1)填空： (2)请你仿照小明的方法化简； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 【精练2】（24-25八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式乘除运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； B、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； C、∵， ∴该选项正确； D、∵， ∴该选项错误． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为，， ∴余下部分的面积为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算： 【答案】 【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义和平方差公式计算，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解：原式． 9．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方差公式简化乘法运算，再依次化简二次根式，计算减法，即可得到结果； （2）根据二次根式的性质，绝对值的性质，零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别化简每一项后，再合并计算，即可得到结果． 熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把，代入和，分别求解即可； （2）把变形为，把（1）中数据代入求解即可； （3）先根据求出的小数部分是，的整数部分是，得出、的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ． （2）解：． （3）解：∵， ∴，， ∴的小数部分是，的整数部分是， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到为无理数，得到时，，进而得到判断①；根据且，得到，进而推出，判断②；根据，得到，求出正整数解，进行判断即可． 【详解】解：∵x不是完全平方数， ∴为无理数， ∵，其中a，b，c，d，x均为正整数， ∴当时，， ∵， ∴， ∴；故①正确； 当且时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不存在正整数，使； 故不存在任何的m，n满足条件；故②正确； 当时，则， ∴， ∵均为正整数，， ∴或， 当时，则，，， 不存在正整数满足条件； 当时，则或，，，或， ∴或； 当时，；满足题意； 当时，；满足题意； ∴M，N共有2种结果；故③错误； 故选C． 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合等边对等角，得到，含30度角的直角三角形的性质得到，证明，得到，含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长交于T，连接，由平行四边形的性质得到，，则，再由角平分线的定义可推出，证明，得到，导角证明；再由等边对等角得到，则，即可得到；由三线合一定理可得，，则可证明都是等腰直角三角形，进而可得，即，则，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于T，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与交于点E，的平分线与交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴，， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质以及平行四边形的性质得出点F的运动轨迹是在上，，再根据等面积法得，证明，得出轴对称的性质以及矩形的判定得，运用勾股定理进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵点E是对角线上的动点，连接，以为边作， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵点E是对角线上的动点， ∴点F的运动轨迹是在上， 如图：过点C作，过点A作， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵在矩形中，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 过点作的对称点，交于一点G， 此时， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 过点作直线交的延长线于一点R ∴在中， 连接，设 在， 即 解得 ∴ 在， 故答案为： 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 【答案】 【分析】根据，可知a、b均为负数，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ． 7．（24-25八年级下·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 10．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，由平移的性质证明，进一步可得结论。 （2）如图，将沿平移至，连接，证明，，结合，可得，由平移可得：，，，证明共线，再进一步可得结论。 （3）先证明，如图，过作于，作于，设（单位），则，可得，，，求解，，，同理可得：，，，设，，可得，，进一步证明，可得. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴， 由平移可得：，，， ∴共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴. （3）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，， ∴， 解得：，， ∴， 同理可得：，，， 设，， ∴，， 由勾股定理可得：， 整理得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 二次根式的加减乘除运算『期末复习重难点专题培优』 【10个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 二次根式的乘除混合运算 1 题型二 化为最简二次根式 2 题型三 已知最简二次根式求参数 2 题型四 二次根式的加减运算 2 题型五 二次根式的混合运算 3 题型六 分母有理化 3 题型七 已知字母的值，化简求值 4 题型八 已知条件式，化简求值 4 题型九 二次根式的应用 4 题型十 复合二次根式的化简 6 优选真题 实战演练 7 【基础夯实 能力提升】 7 【拓展拔尖 冲刺满分】 9 题型一 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【精练1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）计算：． 【精练2】（24-25八年级下·上海·期中）计算： 题型二 化为最简二次根式 【精讲】（24-25八年级下·广东韶关·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简：______． 题型三 已知最简二次根式求参数 【精讲】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【精练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 题型四 二次根式的加减运算 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 【精练1】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）计算： (1)； (2)． 【精练2】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 二次根式的混合运算 【精讲】（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：． 【精练1】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算 (1) (2) 【精练2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算：． 题型六 分母有理化 【精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简：______． 【精练1】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：． 【精练2】（24-25八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 题型七 已知字母的值，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期中）若，则的值为______． 【精练1】（24-25八年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【精练2】（24-25八年级下·云南曲靖·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 题型八 已知条件式，化简求值 【精讲】（24-25八年级下·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【精练1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【精练2】（24-25八年级下·河北唐山·月考）已知，，求的值． 题型九 二次根式的应用 【精讲】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 【精练1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【精练2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 题型十 复合二次根式的化简 【精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【精练1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：； 【类比归纳】 (1)填空： (2)请你仿照小明的方法化简； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【精练2】（24-25八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2) 根据上述思路，试将予以化简． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（24-25八年级下·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，则的值为 _____． 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）计算：______． 6．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 8．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算： 9．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）计算： (1) (2) 10．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上的动点，连接，以为边作，连接．则的最小值为________． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 7．（24-25八年级下·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 8．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 10．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $