第五节　第2课时　一元二次不等式的解法课件-2027届高考数学一轮复习

第五节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时　一元二次不等式的解法 第五节 【目标要求】　1.结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程的实根的存在性及实根个数.2.了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.3借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象       ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)(x -b)>0 {x|x<a, 或x>b} _______________ _______________ (x-a)(x -b)<0 {x|a<x<b} _______________ _______________ {x|x≠a} {x|x<b,或x>a} ⌀ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)且g(x)≠0. (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 5.简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为________________. (2)|x|<a(a>0)的解集为_____________. (-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 1.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 2.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式.(　　) (2)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) 当m=0时,是一元一次不等式,故错误. 解析 当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为⌀,故错误. 解析 (3)设二次方程ax2+bx+c=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式ax2+bx+ c>0的解集为{x|x1<x<x2}.(　　) 设二次方程ax2+bx+c=0的两解为x1,x2,只有当a<0且x1<x2时,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x1<x<x2},故错误. 解析 (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数y=ax2+bx+c无零点.(　　) 不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,可得对应的函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点,所以函数y=ax2+bx+c无零点,故正确. 解析 2.(人B必一P85复习题B组T8改编)设x∈R,则“>0”是“|x-1|<4”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由>0,得(x-5)(2-x)>0,得(x-5)(x-2)<0,解得2<x<5;由|x-1|<4,得-4<x-1<4,得-3<x<5.因为(2,5)⫋(-3,5),所以“>0”是“|x-1|<4”的充分不必要条件,故选A. 解析 3.(人A必一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为 ________________. 解析 (-∞,-1]∪ 4.若关于x的不等式x2-2ax+18>0恒成立,则实数a的取值范围为_______________. 由题意有4a2-4×18<0,可得-3<a<3. 解析 (-3,3) 5.(人A必一P55练习T2改编)如图所示,某学校要在长为8米,宽为6米的一块矩形土地上进行绿化,计划四周种植花卉,花卉带的宽度相同,均为x米,中间种植草坪.为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则x的取值范围为______. (0,1) 由题意,花卉带的宽度为x(0<x<3)米,则中间草坪的长为(8-2x)米,宽为(6-2x)米,所以(8-2x)×(6-2x)>×8×6,整理得x2-7x+6>0,即(x-6)(x-1)>0,又0<x<3,故0<x<1,故x的取值范围为(0,1). 解析 (1)(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 考点一 一元二次不等式的解法………………自练自悟 解析 (2)(多选题)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式-x2-x+2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 由题知方程-x2-x+2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式-x2-x+2>0的解集为{x|-2<x<1},故A错误;因为-1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确;由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误;由|x-1|<1,可得-1<x-1<1,解得0<x<2,由<0,可得-4<x<5,因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确. 解析 (3)不等式-1<x2+2x-1≤2的解集为_____________________. {x|-3≤x<-2,或0<x≤1} 解析 (4)解下列关于x的不等式x2-x-a(a+1)>0. x2-x-a(a+1)>0,即(x+a)(x-a-1)>0.当a<-时,a+1<-a,原不等式的解集为{x|x<a+1或x>-a};当a=-时,a+1=-a,原不等式的解集为{x|x≠};当a>-时,a+1>-a,原不等式的解集为{x|x<-a或x>a+1}. 解 解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. 【例1】　(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,5),则不等式cx2+bx+a>0的解集是(　　) A.　　　　 B.∪(1,+∞) C. D.∪ 考点二 三个“二次”间的关系 解析 (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a的值为______. 解法一:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根,所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=. 解法二:由x2-2ax-8a2<0(a>0)得,(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a.又因为此不等式解集为{x|x1<x<x2},所以x1=-2a,x2=4a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)= 15,a=. 解析 　 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练1】　(1)若关于x的不等式x2+px+q>0的解集为{x|x<-1或x>2},则不等式>0的解集为(　　) A.{x|-4<x<1或x>2} B.{x|-2<x<1或x>4} C.{x|x<-2或1<x<4} D.{x|x<-4或1<x<2} 解析 (2)(2026·长治质检)(多选题)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则(　　) A.a2-b2≤4 B.a2+≥4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4 解析 【例2】　(1)已知∀x∈R,x2+4kx+1>0,求实数k的取值范围. 考点三 一元二次不等式恒成立问题 解 (2)已知命题p:“∃x∈[-1,3],x2-2x-m≤0”是假命题,求m的取值范围. 由题,􀱑􀱑p:∀x∈[-1,3],x2-2x-m>0为真命题,所以m<x2-2x,对x∈[-1, 3]恒成立,又y=x2-2x在x∈[-1,3]上的最小值为-1,所以m<-1,所以实数m的取值范围为(-∞,-1). 解 (3)(2025·天津高考改编)若a,b∈R,对∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,求2a+b的最小值. 令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在[-2,2]上恒成立,即t·(x2+x)≤2ax+a+1在[-2,2]上恒成立,所以∀x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切.函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A. 解 解析 解析 解析 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围); (2)转化为函数值域问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤ 0(x∈ [a,b]). 【训练2】　(1)若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(　　) A.-2<a<2 B.a<-2或a>2 C.-2<a≤2 D.a≤-2 解析 (2)已知a>0,b∈R,若关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-6)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则4a-b的最小值为________. 解析 2　 由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪. ≥2即为≤0,即故-2≤x<1,故解集为{x|-2≤x<1}.故选C. 原不等式等价于由①,得x<-2或x>0;由②,得-3≤x≤1.画出数轴,如图,可得原不等式的解集为{x|-3≤x< -2,或0<x≤1}. 由题,可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,所以则不等式cx2+bx+a>0可化为5ax2-6ax+a>0,即5x2-6x+1<0,解得<x<1,故不等式cx2+bx+a>0的解集为.故选A. 因为关于x的不等式x2+px+q>0的解集为{x|x<-1或x>2},所以x2+px+q=0的两根是-1和2,所以p=-1,q=-2,所以>0可转化为>0,等价于解得-2<x<1或x>4.所以原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>4}.故选B. 根据题意,函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则Δ=a2-4b=0,即a2=4b(b>0).对于A,a2-b2-4=4b-b2-4=-(b2-4b+4)=-(b-2)2≤0,即有a2-b2≤4,故A正确;对于B,a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时等号成立,故B正确;对于C,由x1,x2为方程x2+ax-b=0的两根,可得x1x2=-b<0,故C错误;对于D,由x1,x2为方程x2+ax+b-c=0的两根,可得x1+x2=-a, x1x2=b-c,则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4(b-c)=a2-4b+4c=4c=16,解得c=4,故D正确.故选ABD. 由题意可得Δ=(4k)2-4<0,解得:-<k<,故实数k的取值范围为. 当t=-1时,如图①,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为,存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立. 当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图②,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点,此时t=-4,存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立; 若t继续减小,如图③,则定 点在二次函数图象开口的内部,则不存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.综上,tmin=(2a+b)min=-4. 不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为:(a-2)x2+(2a-4)x-4<0,当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,恒成立,所以a=2满足题意;当a-2≠0,即a≠2时,要使不等式恒成立,则需解得:-2<a<2;综上所述:a的取值范围为-2<a≤2.故选C. 因为a>0,所以f(x)=ax-2在区间(0,+∞)上单调递增,所以当x∈时f(x)<0,当x∈时f(x)>0,令g(x)=x2+bx-6,要想关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-6)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则当x∈时g(x)<0,当x∈时g(x)>0,所以g=+-6=0,则3a2-ba-2=0,即b=3a-,所以4a-b=a+≥2,当且仅当a=,即a=时取等号. $