第五节 椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，依据新课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质及简单应用等核心考点，结合2023-2025年全国卷与新高考卷真题分布，系统梳理知识清单、命题点分类及常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2023新高考Ⅰ卷离心率题为例，通过焦点三角形面积公式推导、离心率计算等典型题型解析，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），帮助学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

第五节　椭圆 1 新课标要求 真题分布 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 3．了解椭圆的简单应用． 2025年 全国Ⅰ卷T18， 全国Ⅱ卷T16 2024年 新高考Ⅱ卷T5 2023年 新高考Ⅰ卷T5 2 知识清单 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数 剖析　在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在． 常数 焦点 焦距 3 2．椭圆的标准方程和几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 4 x，y的 范围 ____________ ____________ 对称性 对称轴：________，对称中心：________   顶点 A1________， A2________， B1________， B2________ A1________， A2________， B1________， B2________ 轴长 长轴A1A2的长为________， 短轴B1B2的长为________ －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 坐标轴 原点 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b 5 剖析　椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 焦点 F1________，F2________ F1________，F2________ 焦距 |F1F2|＝__________ 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 离心率 e＝__________∈(0，1) a，b，c 的关系 ____________ (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) 2c c2＝a2－b2 6 【常用结论】 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ. 7 (1)|PF1|＝最大，最大值为bc； sin θ＝b2tan ； (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. 8 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 9 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) (4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) × × √ √ 10 2．(人教A版选修一P109T1改编)如果椭圆＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是(　　) A．4　　　B．14　　　C．12　　　D．8 答案：B 解析：由椭圆方程可知a＝10，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|PF1|＝6，∴|PF2|＝14. 11 3．(人教A版选修一P116习题T12改编)若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A．3 B．2＋ C．2 D．＋1 答案：A 解析：椭圆的标准方程为＝1，长半轴a＝2，半焦距c＝1，焦点坐标为(1，0)，(－1，0)．椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c＝3.故选A. 12 4．(人教A版选修一P112T4(2)改编)长轴长为20，离心率为的椭圆的标准方程为____________________________． 答案：＝1或＝1 解析：根据题意得椭圆的长轴长为20，即2a＝20，则a＝10，又由其离心率e＝＝，则c＝6，则b2＝a2－c2＝100－36＝64， 分两种情况讨论：①椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＝1； ②椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＝1. 故椭圆的标准方程为＝1或＝1. 13 命题点一　椭圆的定义及应用 例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，则该动圆圆心的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：B　 14 解析：圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(－3，0)，r1＝9，C2(3，0)，r2＝1，由|C1C2|＝6<9－1＝8可知圆C2内含于圆C1内．设动圆半径为R，由题意|C2P|＝r2＋R，|C1P|＝r1－R，两式相加可得|PC1|＋|PC2|＝r1＋r2＝10>|C1C2|＝6，故P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆．故选B. 15 (2)设F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2　　　B．4 C．6　　　D．8 答案：D 解析：＝0，∴PF1⊥PF2，又椭圆C：＝1，则|PF1|·|PF2|＝－(|PF1|2＋|PF2|2)]＝8.故选D. 16 学霸笔记： (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； (2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 17 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P115习题T6)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案：A　 解析：因为圆M的圆心为M(－1，0)，半径为r＝4，由题知|QN|＝|QP|，又|QP|＋|QM|＝r＝4，则|QN|＋|QM|＝4>|MN|＝2，所以点Q的轨迹是以M(－1，0)，N(1，0)为焦点的椭圆．故选A. 18 (2)(衔接·人教A版选修一P109练习T3)经过椭圆＝1的右焦点F2作直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长是________． 答案：20 解析：因为a2＝25，所以a＝5.△AF1B的周长＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20. 19 命题点二　椭圆的标准方程 例2 (1)已知椭圆的两个焦点为F1 ＝8，则该椭圆的方程是 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 答案：C　 20 解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，∴m2＋n2＝20，mn＝8，∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3，∵c＝，∴b＝2，∴椭圆的方程是＝1.故选C. 21 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为________________． 答案：＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由椭圆经过两点(－)，()，可得解得m＝，n＝.∴椭圆的方程为＝1. 22 学霸笔记： (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 23 　跟踪训练　(1)已知动圆P过点A(－1，0)，且与圆C：(x－1)2＋y2＝16内切，则点P的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2＋(x－2)2＝9 答案：C　 解析：设动圆P的半径为r，则r＝|PA|，|PC|＝4－r，∴|PC|＋|PA|＝4>|AC|, ∴点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，故长半轴a＝2，半焦距c＝1，则短半轴 b＝，∴点P的轨迹方程为＝1.故选C. 24 (2)已知四点A，B(1，1)，C(0，1)，D中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为________． 答案：＋y2＝1 25 解析：因为椭圆E为标准方程，其图象关于坐标轴对称，点A(1，)与点D(－1，)关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上，可知A，D两点必在椭圆上，若点B(1，1)也在椭圆上，设椭圆方程为＝1，则将A，B坐标代入椭圆标准方程＝1可得此方程组无解，故点B不在椭圆上，因此，在椭圆上的三点为A，C，D，设椭圆方程为＝1，将A，C代入椭圆可得解得所以椭圆方程为＋y2＝1. 26 命题点三　椭圆的几何性质 考向1　与离心率有关的问题 例3 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 答案：(1)A　 27 解析：由e2＝e1，得＝，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 28 (2)(2026·石家庄模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，F1到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 29 解析：设椭圆上顶点的坐标B(0，b)，右顶点的坐标A(a，0)，左焦点F1(－c，0)，则直线AB的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0，由F1到直线AB的距离为b，得＝b，又b2＝a2－c2，化简得2c2＋2ac－a2＝0，即2()2＋－1＝0，所以2e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．故椭圆E的离心率为.故选C. 30 学霸笔记： (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(不等式)求解； (3)利用公式e＝求解． 31 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P145复习参考题T2(1))椭圆＝1与椭圆＝1(k＜9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D　 32 解析：椭圆＝1的长轴长为2×5＝10，短轴长为2×3＝6，焦距为2×4＝8，离心率为.椭圆＝1(k＜9)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为，所以两个椭圆的焦距相等．故选D. 33 (2)已知椭圆C：＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF2的中点，若△QOF2的周长为6，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 34 解析：因为Q为PF2的中点，而O是F1F2的中点，所以|OQ|＝|PF1|， 所以△QOF2的周长是△PF1F2周长的一半，又△QOF2的周长为6，所以△PF1F2的周长是12，即|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，得a＋c＝6，又a＝4，所以c＝2，e＝＝.故选B. 35 考向2　与椭圆有关的最值(范围)问题 例4 (1)已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最小值是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 答案：A　 36 解析：对于椭圆C：＝1，则a＝3，b＝2，c＝＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，设点M(x，y)，其中－3≤x≤3，且＝1，故y2＝4－x2，所以＝＝(－x，－y)，故＝(－－x)(－x)＋(－y)2＝x2＋y2－5＝x2＋4－－5＝－1，故当x＝0时取最小值－1.故选A. 37 (2)已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2，－6)，P为椭圆上的一个动点，则|PM|＋|PF2|的最大值是________． 答案：30 38 解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，F1(－6，0)，则|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|，又点M(2，－6)在椭圆内部，|MF1|＝＝10，所以|PM|－|PF1|≤|MF1|＝10，即|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|≤30，当点M在PF1的延长线上时，等号成立，所以|PM|＋|PF2|的最大值为30. 39 学霸笔记： (1)充分利用椭圆的几何性质，结合图形进行分析． (2)注意利用椭圆中的范围，如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1，构造不等式． (3)列出所求目标的解析式，构造函数，利用单调性或基本不等式求最值或范围． 40 跟踪训练　(1)设F是椭圆C：＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 答案：C　 41 解析：由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆的定义可知|PF|＋|PF1|＋|QF|＋|QF1|＝4a＝20，又|PF|＝|QF1|，|PF1|＝|QF|，所以|PF|＋|QF|＝10，又PQ过原点，所以|PQ|min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C. 42 (2)若椭圆C：＝1(a>b>0)上存在一点P到其左、右焦点的距离之比为3∶1，则椭圆C离心率的取值范围为________． 答案：[，1) 解析：记左、右焦点分别为F1，F2，由题意＝3，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，椭圆上任意一点到焦点的距离满足a－c≤|PF1|≤a＋c且a>c，所以a－c≤a≤a＋c⇒≤e<1，所以椭圆C离心率的取值范围为[，1)． 43 1．椭圆x2＋2y2＝1的焦距为(　　) A． B． C．2 D．2 答案：B 解析：由x2＋2y2＝1可得x2＋＝1，则椭圆的长半轴长为a＝1，短半轴长为b＝，则其焦距为2c＝2.故选B. 44 2．若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，短轴长为2b，则所以a2＝5b2，c2＝4b2，所以椭圆C的离心率e＝＝ .故选B. 45 3．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＝1 C．x2＋＝1 D．＝1 答案：B 46 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)，所以解得a2＝10，b2＝6，所以椭圆的标准方程为＝1.故选B. 47 4．若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　) A．(2，3) B．(1，3) C．(－1，2) D．(－1，1) 答案：D 解析：因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以3－m>m＋1>0，解得m∈(－1，1)．故选D. 48 5．(2026·武汉模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是(　　) A．＋y2＝1 B．＋x2＝1 C．＝1 D．＝1 答案：C 49 解析：如图依题意，△MNF2的周长为|MF2|＋|MN|＋|NF2|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a＝12，解得a＝3.设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为，所以e＝，解得c＝2.所以b＝.故椭圆C的标准方程为＝1. 50 6．无人机飞行表演中，已知一架无人机P沿椭圆＝1进行飞行表演，如图所示，在椭圆内部的点M(2，1)处有空中定位器，无人机发射出的信号被定位器接收，有一架无人机Q始终在定位器与无人机P连线中点处伴飞，作为信号的中转传递，那么伴飞无人机Q的飞行轨迹为(无人机以及定位器都看成一个点)(　　) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 答案：C 51 解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，则＝1，由题意知即所以＝1，即＋2＝1，所以伴飞无人机Q的飞行轨迹为椭圆．故选C. 52 7．已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>2)的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|·|PF2|的最大值为5，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，又b＝2，故|PF1|·|PF2|≤2＝a2＝5，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，则c2＝a2－b2＝1，故c＝1，a＝，所以C的离心率为.故选B. 53 8．(2026·保定模拟)已知椭圆Γ：＝1的左焦点为F，P是椭圆Γ上的一个动点，椭圆Γ外一点Q的坐标为(7，3)，若|PQ|＋|PF|的最大值是13，则椭圆的短轴长为(　　) A． B．4 C．2 D．8 答案：C 54 解析：设椭圆Γ的右焦点为F1，则F1(3，0)，|QF1|＝＝5，此时|PQ|＋|PF|＝＝＝13，解得m＝7，当且仅当三点Q，F1，P共线时等号成立(其中点F1在点Q，P之间)，故短轴长为2.故选C. 55 9．椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上的任意一点，则(　　) A．椭圆C的长轴长为3 B．椭圆C的离心率为 C．|PF1|的最大值为5 D．存在点P，使得PF1⊥PF2 答案：BC 56 解析：椭圆C：＝1的长半轴长a＝3，短半轴长b＝，半焦距c＝＝2，对于A，椭圆C的长轴长为6，A错误；对于B，椭圆C的离心率为，B正确；对于C，|PF1|max＝a＋c＝5，C正确；对于D，c<b，以线段F1F2为直径的圆在椭圆C内，因此不存在点P，使得PF1⊥PF2，D错误．故选BC. 57 10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(　　) A．轨道的焦距为d2＋d1 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为2 D．当越大时，轨道越圆 答案：BCD 58 解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，根据题意得d1＝a－c，d2＝a＋c，故2a＝d1＋d2，2c＝d2－d1，对于A，焦距2c＝d2－d1，故A错误；对于B，因为离心率e＝，故B正确；对于C，短轴长2b＝2，故C正确；对于D，离心率e＝，当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确．故选BCD. 59 11．已知点A(3，0)，椭圆B：＝1(a＞0)的右焦点为F，若线段AF的中点C恰好在椭圆B上，则椭圆B的长轴长为________． 答案：4 解析：由题意知，A(3，0)，F，点C是AF的中点，所以C.因为点C在椭圆B上，所以满足＝1.化简得2＝a－2，两边平方得a2－8a＋16＝0，解得a＝4.所以椭圆B的长轴长为2＝4. 60 12．椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF2|＝2|PF1|，∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，因为∠F1PF2＝90°，由勾股定理得|F1F2|2＝|PF2|2＋|PF1|2，故|F1F2|＝x，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝3x，|F1F2|＝2c＝x，则e＝. 61 13．(13分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，椭圆E的焦距为4. (1)求椭圆E的标准方程； 答案：由|AB|＝4，得2a＝4，解得a＝2，设椭圆E的焦距为2c，由焦距为4，得2c＝4，解得c＝2. 又b＝＝2，所以椭圆E的标准方程为＝1. 62 (2)已知点M(M不在x轴上)在椭圆E上，求直线AM，BM的斜率之积． 答案：由题意得A，B，设M(x1，y1)(y1≠0)，由M(x1，y1)在椭圆E上，得＝1，即， 所以kAM·kBM＝， 即直线AM，BM的斜率之积为－. 63 14．(15分)已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求此椭圆的方程； 答案：由题意，设椭圆的方程为＝1(a>0，b>0)， ∵焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，∴2c＝|F1F2|＝2， 又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2， ∵c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的方程为＝1. 64 (2)若点P满足∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 答案：(△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝cos 60°，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4，∴(2a)2－3|PF1|·|PF2|＝42－3|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴sin 60°＝. 65 15．(5分)已知点P在椭圆＝1上，点Q在圆x2＋y2－2y＝0上，F(－1，0)，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　　) A．5－ B．5＋ C．2 D．5＋2 答案：B 66 解析：设椭圆＝1的另一个焦点为F′(1，0)， 67 圆的圆心为C(0，1)，其半径r＝1，那么|PF|＋|PF′|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF′|.所以|PQ|＋|PF|＝4＋|PQ|－|PF′|.所以要求|PQ|＋|PF|的最大值，即求4＋|PQ|－|PF′|的最大值．因为|PQ|－|PF′|≤|QF′|，所以当P，Q，F′三点共线时，|PQ|－|PF′|的最大值为|QF′|.而|QF′|＝|CF′|＋r＝＋1，所以4＋.所以.故选B. 68 16.(5分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，PF⊥QF，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为－，则C的离心率为________． 答案：－1 69 解析：不妨设，M(x1，y1)，由PF⊥QF可知，直线PF，QF斜率均存在且不为0，∵kMQ＝－<0，且kMQ·kMP＝，∴kMP＝，∴直线MP的倾斜角为60°，∴∠QFO＝30°. 70 设F1为C的左焦点，连接QF1，根据椭圆的对称性得QF1∥PF，则∠F1QF＝90°，∵|F1F2|＝2c，∴|QF1|＝c，|QF|＝ ＝c＝2a，∴C的离心率e＝－1. 71 $