第五节 一元二次不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式”核心考点，涵盖二次函数与方程、不等式的关系，分式及绝对值不等式解法，含参不等式分类讨论等高考必备内容。依据高考评价体系，通过真题分析明确“三个二次关系应用”“含参分类讨论”等高频考点权重，归纳出不含参求解、等价转化等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2025年全国Ⅱ卷分式不等式为例，详解等价转化步骤，结合学霸笔记的分类讨论层次培养数学思维。通过三个二次关系题型训练，强化用数学语言规范解集表达，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第五节　一元二次不等式 1 知识清单 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 返回导航 2 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ {x|x<x1，或x>x2} 返回导航 3 2.分式不等式的解法 (1)>0⇔____________； (2)<0⇔____________； (3)≥0⇔____________； (4)≤0⇔____________． f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0 返回导航 4 3．绝对值不等式的解集：|x|>a(a>0)的解集为_________________ ___；|x|<a(a>0)的解集为________________． (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) √ × × √ 返回导航 6 2．(人教A版必修一P53T1(5)改编)不等式－2x2＋x≥－3的解集为________． 答案：{x|－1≤x≤} 解析：不等式－2x2＋x≥－3等价为2x2－x－3≤0，解得－1≤x≤，所以不等式－2x2＋x≥－3的解集为{x|－1≤x≤}． 返回导航 7 3．(人教A版必修一P54T1改编)使有意义的x的取值范围是________． 答案：{x|x≤－4，或x≥3} 解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3. 返回导航 8 4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器每个的售价的范围为________元． 答案：[15，20) 解析：设这批削笔器每个的售价定为x元，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10<x<20，又x≥15，所以15≤x<20，故每个售价定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)． 返回导航 9 命题点一　不含参的不等式 例1 (1)解下列不等式 ①－x2－3x<－4；②|1－2x|≤7； 答案：①由－x2－3x<－4得x2＋3x－4>0，即(x＋4)(x－1)>0，解得x<－4或x>1，所以不等式－x2－3x<－4的解集为{x|x<－4，或x>1}． ②|1－2x|≤7⇔|2x－1|≤7⇔－7≤2x－1≤7，解得－3≤x≤4， 所以不等式|1－2x|≤7的解集为{x|－3≤x≤4}． 返回导航 10 (2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 答案：C 解析：≥2，即为≤0，即故－2≤x<1，故解集为[－2，1)．故选C. 返回导航 11 真题探源　(源自人教B版必修一P75例3)求不等式≥1的解集． 答案：由≥1得≥0， 由题意知x－2≠0，因此(x＋3)(x－2)≥0且x≠2， 所以所求不等式的解集为(－∞，－3]∪(2，＋∞)． 返回导航 12 学霸笔记： (1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． (2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 返回导航 13 命题点二　含参的一元二次不等式 例2 解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0. 答案：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等价于(x－1)<0. ①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解； ②当a>1时，<1，(x－1)<0，解得<x<1； ③当0<a<1时，>1，(x－1)<0，解得1<x<. 返回导航 14 综上所述，当a<0时，解集为； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为. 返回导航 15 学霸笔记：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． 返回导航 16 　跟踪训练　解关于x的不等式12x2－ax>a2. 答案：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－. ①当a>0时，－<，不等式的解集为<，或>； ②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}； ③当a<0时，－>，不等式的解集为，或x>. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x，或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<，或x>. 返回导航 17 命题点三　三个二次之间的关系 例3 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}． (1)求a，b，c之间的关系，并判断a＋b＋c的正负； 答案：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)， 则－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 所以a<0，－＝1+2＝1，＝(－1)×2＝－2， 故b＝－a，c＝－2a，此时a＋b＋c＝－2a>0. 返回导航 18 (2)求关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0的解集． 答案：bx2＋cx＋3a>0⇔－ax2－2ax＋3a>0⇔x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1， 所以不等式bx2＋cx＋3a>0的解集为{x|x<－3，或x>1}． 返回导航 19 学霸笔记：“三个二次”之间的关系及其应用 (1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，若其解集为(－∞，m)则a>0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n；若其解集为(m，n)，则a<0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n. 返回导航 20 跟踪训练　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx－1. (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<－1或x>}，求f(x)； 答案：因为不等式f(x)>0的解集为{x|x<1或x>}， 所以a>0，且解得故f(x)＝2x2＋x－1. 返回导航 21 (2)在(1)的条件下，求不等式>0的解集； 答案：因为f(x)＝2x2＋x－1， 所以不等式>0，可化为>0，即>0， 而x≠0，x≠－，可得>0，解得x>－且x≠0， 则不等式的解集为{x<x<0或x>0}． 返回导航 22 (3)设关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根x1，x2，且满足x1＋x2＝2，求的值． 答案：由题意得关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根， 则ax2＋(a＋b)x＋b＝0有两实数根， 所以Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，易知此式恒成立， 因为x1＋x2＝2，由韦达定理，x1＋x2＝， 所以b＝－3a，x1x2＝－3，故. 返回导航 23 1．(2026·秦皇岛二模)已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x||x|>1}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－3} B．{x|－1<x<1} C．{x|－2<x<－1，或1<x<3} D．{x|－3<x<－1，或1<x<2} 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 24 解析：依题意，A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<－1，或x>1}，所以A∩B＝{x|－2<x<－1，或1<x<3}．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 25 2．已知关于x的不等式x2－(a－1)x＋a－2≤0的解集为{x|1≤x≤3}，则a＝(　　) A．4　　　B．5 C．6　　　D．7 答案：B 解析：由题知一元二次方程x2－(a－1)x＋a－2＝0的两个实数根分别为1和3，则由韦达定理得1×3＝a－2，解得a＝5.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 26 3．(2026·沙坪坝模拟)不等式 >0的解集是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 27 解析：原不等式等价于或故x>2或－2<x<0，故原不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 28 4．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　　) A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2，或x>2} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1} 答案：A 解析：原不等式即|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2，所以0≤|x|<2，所以解集为{x|－2<x<2}．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 29 5．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　) A. (－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 30 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 6．已知不等式：①x2－4x＋3<0，②x2＋x－6<0，③2x2－5x＋m<0，若要同时满足不等式①②的x也满足不等式③，则有(　　) A．m>2 B．m＝2 C．m≤2 D．0<m<2 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 解析：不等式①x2－4x＋3<0等价于(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3，所以不等式①的解集为(1，3)．不等式②x2＋x－6<0等价于(x＋3)(x－2)<0，解得－3<x<2，所以不等式②的解集为(－3，2)．记不等式①和不等式②解集的交集为A，则A＝(1，2)．所以满足不等式①②的x也满足不等式③，所以当x∈A时，2x2－5x＋m<0恒成立，即m<－2x2＋5x恒成立．又因为当x∈(1，2)时，f(x)＝－2x2＋5x＝－22＋∈所以m≤2.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 7．(2026·驻马店模拟)不等式≤1的解集为(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．[－2，2] 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 解析：不等式≤1可化为≥0，等价于解得x≥2或x<－2，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 8．(2026·徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x则不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|－1≤x≤2} D．{x|x>1，或x<－2} 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：由题意知－3，1为方程ax2＋bx－3＝0的两根，所以解得则不等式≥0可化为解得－1<x≤2，故不等式的解集为{x|－1<x≤2}．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．下列说法错误的是(　　) A．ax2>0(a>0)的解集为R B．不等式x2＋x＋1<0的解集为∅ C．如果ax2＋bx＋c＝0中a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集是 D．x2＋3x－4>0的解集和不等式组的解集相同 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：对于A，ax2>0(a>0)的解集为{x|x≠0}，故A错误；对于B，∵Δ＝1－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0的解集为∅，故B正确；对于C，若a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，故C错误；对于D，x2＋3x－4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)；不等式组的解集为(1，＋∞)，故D错误．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 10．(2026·信阳模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，则(　　) A．a<0 B．c>0 C．a＋b＋c<0 D．3a＋b＋c＝0 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 解析：关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，所以－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0，故A正确；所以所以则c>0，故B正确；所以a＋b＋c＝a－a－2a＝－2a>0，故C错误；3a＋b＋c＝3a－a－2a＝0，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 11．ax＋b<0 的解集为(－∞，－1)，则(ax－b)(x＋2)<0 的解集为________． 答案：(－2，1) 解析：由题干知，不等式 ax＋b<0 的解集为(－∞，－1)，可得代入一元二次不等式得(ax－a)(x＋2)<0⇒a(x－1)·(x＋2)<0，由于a>0，所以(x－1)(x＋2)<0，即 －2<x<1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 12．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为________m. 答案：1 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：设花卉带的宽度为x米，则即所以故1≤x<3，所以花卉带的宽度至少应为1米． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 13．(13分)集合A＝，集合B＝{x||x－a|≤2，x∈R}． (1)求集合A； 答案：由≤1可得≤0⇒≤0⇒ 解得－1<x≤2，故A＝{x|－1<x≤2}． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 (2)若B∩(∁RΑ)＝B，求实数a的取值范围． 答案：由A＝{x|－1<x≤2}可得∁RA＝{x|x≤－1，或x>2}， 由|x－a|≤2可得－2≤x－a≤2，故B＝{x|－2＋a≤x≤2＋a}， B∩(∁RA)＝B，故B⊆(∁RA)， a＋2≤－1或a－2>2，故实数a的取值范围为（－∞，－3][4, +∞） 故a≤－3或a>4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 14．(15分)解关于x的不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4. 答案：不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4等价于ax2＋(6－a)x－6>0， 整理得(ax＋6)(x－1)>0. 当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)； 当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； 当－6<a<0时，－>1，故不等式的解集为； 当a＝－6时，－＝1，不等式的解集为∅； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 当a<－6时，－<1，故不等式的解集为. 综上，当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)； 当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； 当－6<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－6时，不等式的解集为∅； 当a<－6时，不等式的解集为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 15．(5分)已知集合M＝{x|x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x|x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，若集合M∩N的长度为2，则M∪N的长度为(　　) A．3 B．4 C．5 D．10 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：由x2－2mx－3m2≤0⇒(x－3m)(x＋m)≤0；由x2＋mx－2m2≤0⇒(x＋2m)(x－m)≤0.所以当m<0时，M＝[3m，－m]，N＝[m，－2m]，所以M∩N＝[m，－m].因为集合M∩N的长度为2，所以－m－m＝2⇒m＝－1.此时M＝[－3，1]，N＝[－1，2]，所以M∪N＝[－3，2]，所以M∪N的长度为2－(－3)＝5.当m＝0时，M＝{0}，N＝{0}，所以M∩N＝{0}，这与集合M∩N的长度为2矛盾，故m≠0；当m>0时，M＝[－m，3m]，N＝[－2m，m]，所以M∩N＝[－m，m].因为集合M∩N的长度为2，所以m－(－m)＝2⇒m＝1.此时M＝[－1，3]，N＝[－2，1]，所以M∪N＝[－2，3]，所以M∪N的长度为3－(－2)＝5.综上可知，集合M∪N的长度为5.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 16．(5分)若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|－3≤m<－2，或4<m≤5} 解析：由x2－(m＋1)x＋m<0得(x－m)(x－1)<0，①当m<1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(m，1)，因为解集中恰有3个整数，所以－3≤m<－2；②当m＝1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为∅，不符合题意；③当m>1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(1，m)，因为解集中恰有3个整数，所以4<m≤5.综上所述，实数m的取值范围是{m|－3≤m<－2，或4<m≤5}． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 $