精品解析：广东省广州市第二中学2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级 数学试卷

2025学年第二学期期中质量监测 初二年级数学试卷 （满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，选项A错误． ∵与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误． ，选项C正确． ，选项D错误． 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、最长边为，，，，不能构成直角三角形． B、最长边为，，，，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． C、最长边为，，，，不能构成直角三角形． D、最长边为，，，，不能构成直角三角形． 5. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、 的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 6. 要使变为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 7. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 8. 如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 9. 固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零得到不等式，进而求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在中，，D为边的中点．若，则的长是________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案． 【详解】如图，∵，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式建立一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得： 展开得 移项合并同类项得 解得 故这个多边形的边数是． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是_____________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：72． 15. 四边形中，，与之间的距离为4，，则边的长为______． 【答案】5或11##11或5 【解析】 【分析】如图，过作于H，过作于分两种情况讨论，再证明四边形AHMD是矩形，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于H，过作于 四边形AHMD是矩形， 由题意得： ∴ 当落在时， 同理可得： 此时 综上的长为5或11． 故答案为：5或11． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16. 如图，已知菱形的边长为4，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______． ①；②；③当最小时，；④当时，则． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，得到，则可证明，得到，据此可判断①②；证明是等边三角形，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值，可证明，据此可判断③；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出 ，过点E作于点H，可证明是等腰直角三角形，得到，可推出 ， ，则 ，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∴此时点M为的中点， ∴，， ∴， ∴点N为的中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当时，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，则， ∴，， ∴ ， 过点E作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证，，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，、分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，利用判定，可利用全等三角形的性质可得． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据平方差公式进行化简，再合并同类项，最后带值求解． 【详解】解：， ， ， 当， ， ， ． 【点睛】本题考查了整数的化简求解，二次根式的运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，例如平方差公式，合并同类项等． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，在图中画出点的位置，点的坐标为______； （2）在图中，求证：是直角三角形； （3）在图中过点画一条直线平分的面积． 【答案】（1）画图见详解，，或 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质分种情况讨论，得到形成平行四边形的点的种情况，以及点的坐标． （2）根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形． （3）根据平行四边形的中心对称性，得到过对角线交点的任意直线都平分其面积，即可得到答案． 【小问1详解】 解：以、、及点为顶点的四边形为平行四边形有种情况，如图， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 当为对角线时，四边形是平行四边形，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或； 【小问2详解】 解：， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点，连接并延长交于点，直线即为所求． （3）在图2中过点画一条直线平分的面积． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，运用勾股定理求出即可求解； （2）先利用勾股定理计算出，进而得到即可． 【小问1详解】 解：由题可知为直角三角形，， 设，则， 又，即，解得， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：如图， 则， ， ， 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了． 23. 如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． （1）猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证明，再由全等三角形的性质得，，最后由勾股定理即可求解； （2）延长交于点，连接，由矩形的性质证明，再由全等三角形的性质证明垂直平分，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中， ∵， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，点的坐标为，且、满足方程． （1）点的坐标为______；点的坐标为______； （2）如图1，若，点在的延长线上，轴于点，且，求证：； （3）如图2，点在轴正半轴上，点是点关于的对称点，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）或8或 【解析】 【分析】（1）运用非负数的性质先求出，，可得点，的坐标； （2）连接，证明四边形是矩形，得出，取的中点，连接，证明可得结论； （3）分、和三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， 又 ∴， ∴， ∴点的坐标为；点的坐标为； 【小问2详解】 解：连接， ∵ ，即， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 取的中点，连接，则，即， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∵，， ∴，， 由翻折得，； 若是直角三角形，则： ①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图，则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图， 由折叠得， 又， ∴， ∴三点共线， 在中，， ∴， 又， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上，当为直角三角形时，的长为或8或． 25. 如图1，已知正方形边长为4，点为边上一点（不与、重合），连接，将沿折叠得到，延长交边于点，连接． （1）求的度数； （2）如图2，若直线与直线交于点，作，垂足为，交于点，求证：； （3）若，边有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质可得，结合正方形的性质证明，则，即可推出； （2）根据正方形的性质以及全等三角形的性质证明，则，结合，可得为线段的垂直平分线，从而推出，即可得证； （3）先根据勾股定理求出线段，分析点的运动轨迹可得点的运动轨迹是线段，作点关于线段的对称点，则，，则根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，，，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 设，则由（1）知，，，，， 在中，， 即， 解得，即， 如图，过点作于点L， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点与点重合时，点在点正上方（设为点），， 当点与点重合时，点在点正上方（设为点），，， 点的运动轨迹是线段， 作点关于线段的对称点，连接，，则，， 令与交于点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 由对称性质得，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量监测 初二年级数学试卷 （满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. ，， 5. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 要使变为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，在中，，D为边的中点．若，则的长是________ 13. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是_____________． 15. 四边形中，，与之间的距离为4，，则边的长为______． 16. 如图，已知菱形的边长为4，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，，分别与交于点，，连接、．以下结论正确的是______． ①；②；③当最小时，；④当时，则． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，、分别是，上的点，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，在图中画出点的位置，点的坐标为______； （2）在图中，求证：是直角三角形； （3）在图中过点画一条直线平分的面积． （3）在图2中过点画一条直线平分的面积． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 23. 如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． （1）猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，点的坐标为，且、满足方程． （1）点的坐标为______；点的坐标为______； （2）如图1，若，点在的延长线上，轴于点，且，求证：； （3）如图2，点在轴正半轴上，点是点关于的对称点，当为直角三角形时，求的长． 25. 如图1，已知正方形边长为4，点为边上一点（不与、重合），连接，将沿折叠得到，延长交边于点，连接． （1）求的度数； （2）如图2，若直线与直线交于点，作，垂足为，交于点，求证：； （3）若，边有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $