精品解析：四川省成都市棠湖外国语学校2025-2026学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2025-2026学年四川省成都市棠湖外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：∵是负数， ∴其绝对值为其相反数，即． 故选A． 2. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了左视图的定义，熟记定义是解题关键． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形， 所以左视图是选项D， 故选：D． 3. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将中文单位“万”转换为标准数字形式，再将其写成科学记数法的标准形式。科学记数法的形式为，其中，为整数，特别注意指数的确定方式。 【详解】解：“万”表示， 2668万 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式的乘法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法；根据运算法则逐一判断． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选D． 5. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的含义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，根据定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91， 则其中位数为75， 故选：D． 6. 如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，AD=CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等式的性质可得，然后利用SSS、SAS、ASA、AAS进行分析即可． 【详解】解：∵AD=CF， ∴AD+CD=CF+DC， ∴AC=DF， A、添加BC=EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； B、添加∠A=∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； C、添加AB∥DE可证出∠A=∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； D、添加∠BCA=∠EDF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误； 函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误； 观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误； 根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，， x＝3即为函数对称轴，D选项正确； 故选D 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像. 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例关系，可设参数表示a和b，或直接利用比例性质求解． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 11. 分式方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．通过寻找最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，并对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 13. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为___． 【答案】14 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DE，即可得出答案． 【详解】解：∵AB=6，AC=9，BC=11，AE=AB， ∴EC=AC-AE=9-6=3， 由作图方法可得：AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△AED中， ∵， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD=DE， ∴△DEC的周长为：DE+EC+DC=BD+DC+EC=BC+EC=11+3=14． 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了作图-基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解为． 15. 2025～2026四川省城市足球联赛（简称“川超”）揭幕战于9月20日在成都双流体育中心举行．某网络平台随机调查了部分市民对“川超”的了解情况，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下不完整的统计图． （1）本次调查的市民共有______人； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“一般”所对应的圆心角的度数； （3）若此次共调查2000名市民，请根据上述调查结果，估计市民中对“川超”“非常了解”的人数． 【答案】（1）100 （2）补全条形统计图见解析； （3）700人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，掌握条形统计图与扇形统计图的关联是解题的关键． （1）利用“了解”人数除以“了解”所占比即可得到本次调查的市民的总人数； （2）通过总人数减去“非常了解”、“了解”、“不了解”人数求得“一般”人数，然后补全条形统计图即可，利用“一般”的占比乘以即可求解； （3）先得到“非常了解”的占比，再由样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次调查的市民共有（人）； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“一般”人数为：（人）， 补全条形统计图如图， “一般”占比为， 对应的圆心角为：； 【小问3详解】 解：由调查结果可知“非常了解”的有35人，占， 则估计市民中对“川超”“非常了解”的人数为（人）． 16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17. 某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？ （2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ 【答案】（1）50元 （2）27个 【解析】 【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x＋30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可； （2）设小区一次性购买A型垃圾桶y个，则购买B型垃圾桶（60−y）个，根据“总费用不超过4000元”列出不等式并解答． 【小问1详解】 解：设购买一个A型垃圾桶需元． 根据题意得： 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：购买一个A型垃圾桶需50元． 【小问2详解】 解：设购买个A型垃圾桶， 解得：， 答：最少要购买27个A型垃圾桶． 【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的数量关系列出方程是解决问题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数图象上一点，若的面积为12，求点M的坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数求得一次函数解析式，代入点求得点坐标，把点坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）过作轴交直线于点，设点坐标为，则点坐标为，再由进行求解； （3）取中点，过点作交轴于点，连接，由线段的垂直平分线性质得，即可得，因此与反比例函数图象交点即为点，过点作轴于点，由、坐标可得、、长，证明，利用相似比求出长，可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，由为直线与反比例函数图象交点联立方程即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：把点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得， ∴， 把代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴交直线于点， 设点坐标为，则点坐标为， 则， ， 即， 当时，则， 此时， 解得(舍去)或， 此时点； 当时，则， ， 解得或(舍去)， 此时点， 综上，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，取中点，过点作交轴于点，连接， ∴， ∴， ∴与反比例函数图象交点即为点， 过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵为直线与反比例函数图象交点， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为． 四．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知a、b同时满足，，则的值为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知，得到，再利用完全平方公式变形，即可计算答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ， ． 21. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：设勾为2k，则股为3k，弦为k，由此求出大正方形面积和阴影区域面积，由此能求出针尖落在阴影区域的概率． 详解：设勾为2k，则股为3k，弦为k， ∴大正方形面积S=k×k=13k2， 中间小正方形的面积S′=（3−2）k•（3−2）k=k2， 故阴影部分的面积为：13 k2-k2=12 k2 ∴针尖落在阴影区域的概率为:． 故答案为． 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 22. 对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字与末位数字的平方和，例如：，. 规定：，（k为正整数）， 例如：. 按此定义，______，______. 【答案】 ①. 37 ②. 40 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，根据题意分别求出到，进而确定循环规律是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， …通过计算发现，， ∵， ∴； 故答案为：37，40． 23. 如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称， 连接 取点A关于的对称点，连接 在中， 由三角形三边关系可得：， ，， ， 当P、、在同一直线上时， 有最大值 连接交于点O， ，， ∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为． 五．解答题（共3小题，共30分） 24. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，证明 即可求证； （）设， 则，利用勾股定理可得，得到，，又设，则，利用勾股定理得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为上一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又为的半径； ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 25. 如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点，连结并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）如图2，连结，，分别交，于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，； （2）过点G作，交于点H，设，可知，，根据点O为矩形的对称中心，可得，故，在中，利用勾股定理列方程求解x的值，从而可得的长； （3）过点O作于点Q，连接，，，，证明，根据相似三角形的性质得出，故，即可求出，，根据轴对称图形的性质得出，，可得，，从而，，，即可证得，得，有，而，，，知，可得，，得，进而推出，又，根据相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可知，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点G作，交于点H， 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴的长为． 【小问3详解】 解：如图，过点O作于点Q，连接，，，， ∵点O为矩形的对称中心，过点O， ∴O为中点，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴, ∴， ∵四边形与关于所在直线成轴对称， ∴， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴， 同理， 由（1）知，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴正半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点，的值为 【解析】 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【小问1详解】 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 设其中，则， ∴ ∵，， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的周长 ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后， 得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市棠湖外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 6. 如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，AD=CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值是______． 10. 在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是_____． 11. 分式方程的解为_____． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 13. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BC=11，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP，交BC于点D，点E在AC边上，AE=AB，连接DE，则△CDE的周长为___． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 2025～2026四川省城市足球联赛（简称“川超”）揭幕战于9月20日在成都双流体育中心举行．某网络平台随机调查了部分市民对“川超”的了解情况，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下不完整的统计图． （1）本次调查的市民共有______人； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“一般”所对应的圆心角的度数； （3）若此次共调查2000名市民，请根据上述调查结果，估计市民中对“川超”“非常了解”的人数． 16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 17. 某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？ （2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数图象上一点，若的面积为12，求点M的坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 四．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知a、b同时满足，，则的值为_____________． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______ ． 21. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________. 22. 对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字与末位数字的平方和，例如：，. 规定：，（k为正整数）， 例如：. 按此定义，______，______. 23. 如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是________________ ． 五．解答题（共3小题，共30分） 24. 如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 25. 如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点，连结并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点G． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）如图2，连结，，分别交，于点H，K．记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值． 26. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴正半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $