专题2.3～2.4一元二次方程根与系数和一元二次方程的应用重难点题型专训（3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（浙教版）

专题2.3~2.4一元二次方程根与系数和一元二次方程的应用重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 题型二 传播问题(一元二次方程的应用) 题型三 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型四 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型五 数字问题(一元二次方程的应用) 题型六 营销问题(一元二次方程的应用) 题型七 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 题型九 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 拓展题型一 用一元二次方程解决几何图形有关问题 拓展题型二 一元二次方程的实际应用 知识点一：一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西来宾·期末）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，是方程的两根，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得，， ． 知识点二：实际问题中常见的数量关系及表示方法 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 【即时训练】 1．（2026八年级下·重庆·专题练习）某药厂两年前生产一吨药的成本是5500元，现在生产一吨药的成本是4570元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据下降率问题的等量关系：，代入对应数据即可得到正确方程. 【详解】解：设生产成本的年平均下降率为， 列方程得 ， 故选：C. 2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 知识点三：列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 2．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____．    【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵的面积为两机器人协作区域的面积的， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 故答案为：1或3． 【经典例题一 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（24-25八年级下·河南濮阳·月考）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系，根据已知两根计算两根之和与两根之积，从而构造一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：设一元二次方程为 ，根据根与系数的关系，有 ，， 已知 ，， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 ， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期末）写出一个以、为根且满足、的一元二次方程：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根与系数的关系，根据一元二次方程可表示为 ，选取满足区间条件的根构造方程即可． 【详解】解：选取 ，，满足 和 ， 计算得，， 代入得方程 ， 化为整数系数得 ， 故答案为． 4．（25-26八年级下·广东广州·期末）某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 【答案】(1)的值为25，便签纸的边长为 (2)的值为24，便签纸的长为、宽为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根的判别式和根与系数关系等知识，熟练掌握根的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据判别式的值为0得到，解一元二次方程即可得到答案； （2）根据根与系数关系列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：∵便签纸的形状刚好是正方形 ∴矩形的长和宽相等，即方程的两个实数根相等 ∴ 解得 此时方程为 解得 答：的值为25，此时便签纸的边长为． （2）解设便签纸的宽为，则长为， 由题意得：， 解得 ∴ 答：的值为24，此时便签纸的长为、宽为． 【经典例题二 传播问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染人，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染， 根据题意可得： 解得：或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现，在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意，得：1+x+x(1+x)=144，即x2+2x－143=0， 解得：x1=11，x2=－13（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了11人， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答的关键． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播________台． 【答案】6 【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 首先设每轮每台平均传播x台电脑，根据两轮传播后总感染电脑数为，即可列方程求解． 【详解】解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台电脑． 由题意得：， ∴或（舍去）， 解得：， 故答案为：6． 4．（25-26八年级下·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播个人； (2)被感染的人数会超过800人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传播中平均一个人传播x个人，根据经过两轮感染后就会有100人被感染即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数经过两轮传播后被感染的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播个人； （2）三轮感染后，患病的人数为（人）． ∵， 被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 【经典例题三 增长率问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）德化白瓷是福建省的“世界名片”，其制作技艺入选国家非物质文化遗产．某陶瓷文创企业新设计了一款茶具套装，一经推出便广受市场欢迎．已知该茶具套装在今年5月份的销量为800套，7月份的销量为1250套．若该茶具套装的销量月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵5月份销量为800套，月平均增长率为x ∴6月份的销量为套 ∴7月份的销量为套， 又∵7月份销量为1250套， ∴列方程为， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）某城市积极响应“碳中和”目标，大力推广太阳能光伏发电项目，该市太阳能光伏发电量从2022年的500万千瓦时增长到2024年的720万千瓦时，设该市太阳能光伏发电量的年平均增长率为x，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】根据现在的产量原产量（1增长率），结合初始发电量、年平均增长率与最终发电量的关系列方程． 【详解】解：设该市太阳能光伏发电量的年平均增长率为x， 根据“该市太阳能光伏发电量从2022年的500万千瓦时增长到2024年的720万千瓦时”，可列方程为． 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）2025年国庆，汾阳博物馆“火了”，汾阳博物馆于9月29日正式开放，国庆期间在社交媒体上掀起热潮，成为“网红打卡地”．该博物馆涵盖酒文化展、金石文化展、秦晋旱码头晋商文化展等五个部分，全方位多角度的展示了汾阳深厚的历史文化底蕴．据统计，国庆期间10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，若设1日至3日游客量日平均增长率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1日至3日游客量日平均增长率为x，再根据10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，据此列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：设1日至3日游客量日平均增长率为x， 由题意可得：． 故选：C． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．进馆人次的每天减少率为x，根据“第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次”，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为， 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）某直播间在双十一预售首日（10月20日）的销售额为5万元，由于推出“定金翻倍+跨店满减”活动，10月21日、22日的销售额日平均增长率为，到10月22日时，单日销售额已达11.25万元．则每日的平均增长率____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．根据日平均增长率的定义，从10月20日到10月22日，销售额连续两天以相同比率增长，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设日平均增长率为， 根据题意，得， 解得， 所以，（舍去）． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【答案】该商场对释迦果两次调价的平均降价率为 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用； 根据两次降价后的价格建立方程求解，需注意降价率的取值范围在0到1之间． 【详解】解：设该商场对释迦果两次调价的平均降价率为x， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该商场对释迦果两次调价的平均降价率为． 【经典例题四 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 【例2】（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 【答案】5 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由小路的宽度，可得出栽种区域长为米，宽为米，结合在此区域栽种面积为486平方米的鲜花，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．空地的宽为x米，则长为米，铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米，路面的面积等于整个区域面积减空地面积． 【详解】解：空地的宽为x米，则长为米，铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米， 根据题意，得． 故选：A． 3．（25-26八年级下·上海普陀·月考）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 【答案】15 【分析】设未知数，根据面积公式建立等量关系求解即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系是解题关键． 【详解】解：设米，则米， 则 解得或 ∵院墙长15米， 则（舍去） 则遮阳棚垂直于院墙的边长为米． 故答案为：15． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 【经典例题五 数字问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（23-24八年级下·山西长治·月考）根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这个数为，则这数的平方为，然后根据“一个数比它本身的平方小4”列出方程即可． 【详解】解：设这个数为，若这个数比它本身的平方小4， 则有． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为． 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 2．（24-25八年级下·山西·月考）为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为，根据两数之积为960，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意： 整理得： 解得：（舍去，不符合题意）， 则（个） 小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是， 故选：D． 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 4．（25-26八年级下·河北邢台·月考）按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【答案】(1) (2)，常数项是10 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及多项式的常数项． （1）根据两位数的表示方法，结合已知条件列出方程，再化为一般形式． （2）先根据长方形和正方形的边长关系表示出长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出关系式，最后确定常数项． 【详解】（1）解：设个位数为，则十位数为， 又个位数字的平方恰好是这个两位数， 所以， 即 （2）解：由题意得 常数项是10． 【经典例题六 营销问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·山西朔州·月考）化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得烧杯的单价为元，根据购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍，即可列出方程． 【详解】解：设导管的单价为元，则烧杯的单价为元， 根据题意，得，即． 故选：D． 【例2】（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价______元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 1．（25-26八年级下·山西晋城·期末）为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价定为x元，根据题意得， ； 故选：D． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）信阳市位于豫鄂皖的三省交界，历史文化厚重，旅游资源丰富．据统计，2025年元旦假期，某景区共接待游客约10万人次，旅游总收入200万元．经调研发现，若景区内人均消费增加5元，则游客人数会减少0.5万人次．在预期接待10万人次的基础上，如果要使2026年元旦假期旅游总收入达到240万元，设人均消费增加元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．先求出原人均消费，再根据人均消费增加量与游客减少量的关系，分别表示出变化后的游客人数和人均消费，最后根据“总收入=游客人数×人均消费”列方程即可． 【详解】解：原旅游总收入200万元，接待游客约10万人次， 原人均消费为（元）． 人均消费增加5元，游客人数会减少0.5万人次， 人均消费增加元时，游客减少的人数为（万人次）， 根据题意，可列方程为． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为________元． 【答案】1250 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 故答案为：1250． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米 (2)①，；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【详解】（1）解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． （2）解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 【经典例题七 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（   ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发____________时，点和点的距离是10cm． 【答案】2或 【分析】设当，两点从出发秒时，点和点的距离时cm，此时cm，cm，利用勾股定理即可列出关于的一元二次方程，解之即可得到结论. 【详解】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm， 此时． 根据题意，得，即， 解得． 故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm． 故答案为或. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键. 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出t的值． 【详解】解：设t秒后，的面积为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 故选：C． 3．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 【经典例题八 行程问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 2．（2023八年级下·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 【经典例题九 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用（比赛积分问题），以及数的整除性和奇偶性分析．解题的关键是先根据比赛规则推导得分总数的表达式，再依据表达式为两个连续正整数乘积的特征，判断正确数据． 【详解】解：设参赛选手有位（为正整数） ∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局 ∴比赛总场次为 ∵每局比赛无论胜负，总分增加分 ∴全部选手的得分总数为 即得分总数必为两个连续正整数的乘积 ∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积 ∴正确的数据为210． 故选B． 2．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）学校举行篮球比赛，采用单循环赛制（每两个班之间都要进行一场比赛），一共进行了36场比赛，问有多少个班级参加比赛？设有个班级参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据题意得到每个班级需与其余个班级各进行一场比赛，再根据单循环赛制中，每两个班级之间的比赛会被重复计算一次，可知实际总比赛场次为场，根据总比赛场次为36场列方程即可． 【详解】解：∵有个班级参赛， ∴每个班级需与其余个班级各进行一场比赛， ∵单循环赛制中，每两个班级之间的比赛会被重复计算一次， ∴实际总比赛场次为场， ∵总比赛场次为36场， ∴可列方程． 故选：B． 3．（25-26八年级下·广东河源·开学考试）某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有支队伍参加了比赛，根据一共进行了场比赛，列方程求解． 【详解】解：设有支队伍参加了比赛， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该小组参加比赛的队伍共有支． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·月考）组织一次排球赛，每两个队比赛一场，共安排28场，问一共有多少个队参赛？ 【答案】一共有8个队参赛 【分析】设一共有个队参赛，根据单循环赛制比赛场次公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：设一共有个队参赛， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴一共有8个队参赛． 【经典例题十 其他问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到数量关系是解题的关键．根据题意列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 解得， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了_______行． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“增加的人数变化后的方阵人数-原方阵人数”列出方程求解． 设增加了行，根据人数变化关系列方程，求解符合实际意义的解． 【详解】解：设增加了行，因为增加的行数．列数相同，所以增加后方阵为行列． 原方阵人数为人，加入30人后总人数为人， 因此列方程：， 解得或（行数不能为负，舍去）， 故增加了3行． 故答案为：3． 1．（25-26八年级下·重庆黔江·期末）河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股定理是解题的关键．先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程． 【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为米， ∴ 水深为米， ∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边， ∴ 根据勾股定理得：， 故选：B． 2．（25-26八年级下·黑龙江大兴安岭·月考）九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【拓展训练一 用一元二次方程解决几何图形有关问题】 【例1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积：， 其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设运动的时间为，表示出相关线段的长度，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，根据题意得， ， ∴， 解得或， 当点到达终点时，所需时间为， 当点到达终点时，所需时间为， ∴取， 故选：A． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【拓展训练二 一元二次方程的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【答案】A 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 【例2】（25-26八年级下·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·上海虹口·月考）满足的有序有理数对__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的特点、解一元二次方程等知识点，掌握两个相等的无理数得有理数部分和无理数部分相等以及运用换元法解高次方程是解题的关键． 根据无理数的特点可得，易得，设，则，解得：或3；然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ，即， ∵x、y是有理数， ∴， 由②可得：， 将代入①可得：，即， 设，则，解得：或3； 当时，，则或（不合题意，舍去）， ∴， ∴有序有理数对； 当时，，此时，不符合题意，舍去． 综上，有序有理数对． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（    ）人被传染． A．380 B．6859 C．7220 D．6498 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）； 即每轮传染中平均每个人传染了18个人， ， 答：按这样的速度第三轮后共有6859人被传染． 故选：B 2．（25-26八年级下·内蒙古·期末）某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据2023年全年接待游客的总量和2025年全年接待游客的总量建立方程求解即可． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程建模和图形面积的计算，找出与不规则图形相关联的规则图形，通过和差法将涉及的规则图形面积相加或相减，得到不规则图形的面积是解题关键． 砖面面积=原正方形面积-镂空部分的总面积，四个角的镂空分别是圆，中心镂空的是同半径的圆，因此圆的半径为，求出两个圆的面积，结合正方形面积列方程求解即可． 【详解】解：原正方形边长为x，长为， 四个角的镂空圆半径， 中心镂空圆的半径与四角镂空圆相同， 镂空部分的面积为， 砖面面积为， 可列方程． 故选：A． 4．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、，然后根据它们的平方和等于56列出方程，解之即可． 【详解】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、， 根据题意可得， 解得， ∴这三个数分别为、、或2、4、6． 故选：C． 5．（25-26八年级下·山西太原·月考）年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点是一元二次方程的应用，具体来说是利用“利润(售价成本)销量”这一关系来建立方程，其中涉及到根据售价销量的变化，进而表示出销量的表达式，再结合成本和利润的要求列出方程． 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：， 整理得：． 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 7．（25-26八年级下·重庆开州·期末）近年来青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．将比赛场数的实际问题转化为一元二次方程，通过解方程得到俱乐部的个数，是解题的关键． 单循环赛的比赛场数公式为，其中为俱乐部个数．设，解方程即可． 【详解】解：设应邀请俱乐部个数为， ∵比赛总场数为， 根据题意可列方程为， 去分母，得：， 去括号，移项，得：， 因式分解，得， 解得：或（舍去）， 故． 故选：． 8．（25-26八年级下·全国·期末）有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x， ∴ 二次分裂后细胞数为． 又∵ 二次分裂后共得225个细胞， ∴． 故选A． 9．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）2023年8月27日，全国和美乡村篮球大赛（村）西北赛区的比赛在固原市西吉县吉强镇团结村篮球公园和固原市原州区中河乡中河村励志篮球俱乐部进行，来自各省区的代表队共安排了153场比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，设共有x个代表队参赛，则x的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据来自各省区的代表队共安排了153场比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设共有x个代表队参赛，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故选C． 10．（2022·安徽·模拟预测）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（   ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，根据该款APP在2019年底及2021年底的用户数，可列出关于的一元二次方程，解之可得及的值，将其代入与中，可求得2022年级2023年底的用户数，将其与10000万比较即可求解． 【详解】解：设年平均增长率为， 依题意得，， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴（万），（万）， ∵7200万＜10000万＜10417万， ∴该款APP用户在2023年首次突破一亿． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键． 11．（25-26八年级下·天津·月考）在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期末）2025年7月25日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电影第一周票房约亿元，三周总票房约亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 由于每周票房按相同的增长率增长，从第一周到第三周经历了两次增长，因此第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，根据“三周总票房约亿元”列方程即可． 【详解】解：设票房周增长率为， 则第二周票房为亿元， 第三周票房为亿元， 根据题意三周总票房约亿元， 故列方程为． 故答案为：． 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为________元． 【答案】 【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 即， 解得，，， ∵每件头盔的利润不能超过进价的， ∴每件头盔的售价不能超过元， 所以舍去， 所以售价应为100元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键． 14．（2024八年级下·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 【答案】 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 15．（25-26八年级下·江西吉安·期末）某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生． 【答案】40 【分析】设有名学生，由题意知，计算求出符合要求的解即可． 【详解】解：设有名学生 由题意知 解得或（不符合要求，舍去） 故答案为：40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程． 16．（22-23八年级下·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数关系式，就可以求出时间的最大值． 18．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 19．（25-26八年级下·河南郑州·期末）“千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． (1)求该店11、12月份的月增长率 (2)春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 【答案】(1)11、12月的月增长率为 (2)每箱售价应为90元 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设月增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设每箱售价为元，根据题意列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设月增长率为， 解得：，（舍去） 答：11、12月的月增长率为； （2）解：设每箱售价为元， ， 解得：， ∵让顾客得到优惠， ∴， 答：每箱售价应为90元． 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】能，点的运动时间为秒时，的面积为。 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．设运动时间为秒，表示出和，根据三角形的面积公式列出方程，求解一元二次方程即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得：，， ∵，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动， ∴，， ∴的面积为， 则， 解得：或舍， ∴点的运动时间为秒时，的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3~2.4一元二次方程根与系数和一元二次方程的应用重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 题型二 传播问题(一元二次方程的应用) 题型三 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型四 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型五 数字问题(一元二次方程的应用) 题型六 营销问题(一元二次方程的应用) 题型七 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型八 行程问题(一元二次方程的应用) 题型九 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型十 其他问题(一元二次方程的应用) 拓展题型一 用一元二次方程解决几何图形有关问题 拓展题型二 一元二次方程的实际应用 知识点一：一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西来宾·期末）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，是方程的两根，则的值为_________． 知识点二：实际问题中常见的数量关系及表示方法 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 【即时训练】 1．（2026八年级下·重庆·专题练习）某药厂两年前生产一吨药的成本是5500元，现在生产一吨药的成本是4570元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 知识点三：列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____．    【经典例题一 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（24-25八年级下·河南濮阳·月考）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 1．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·广东佛山·期末）写出一个以、为根且满足、的一元二次方程：_________． 4．（25-26八年级下·广东广州·期末）某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 【经典例题二 传播问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了______人． 1．（25-26八年级下·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现，在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播________台． 4．（25-26八年级下·江西南昌·月考）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【经典例题三 增长率问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）德化白瓷是福建省的“世界名片”，其制作技艺入选国家非物质文化遗产．某陶瓷文创企业新设计了一款茶具套装，一经推出便广受市场欢迎．已知该茶具套装在今年5月份的销量为800套，7月份的销量为1250套．若该茶具套装的销量月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）某城市积极响应“碳中和”目标，大力推广太阳能光伏发电项目，该市太阳能光伏发电量从2022年的500万千瓦时增长到2024年的720万千瓦时，设该市太阳能光伏发电量的年平均增长率为x，则可列方程为_______． 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）2025年国庆，汾阳博物馆“火了”，汾阳博物馆于9月29日正式开放，国庆期间在社交媒体上掀起热潮，成为“网红打卡地”．该博物馆涵盖酒文化展、金石文化展、秦晋旱码头晋商文化展等五个部分，全方位多角度的展示了汾阳深厚的历史文化底蕴．据统计，国庆期间10月1日的游客量为6300人，10月3日游客量为9072人，若设1日至3日游客量日平均增长率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）某直播间在双十一预售首日（10月20日）的销售额为5万元，由于推出“定金翻倍+跨店满减”活动，10月21日、22日的销售额日平均增长率为，到10月22日时，单日销售额已达11.25万元．则每日的平均增长率____． 4．（25-26八年级下·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【经典例题四 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川遂宁·一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 1．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）某园区内原有一块宽为20米，长为30米的长方形空地，后计划在此区域栽种面积为486平方米的鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光．如果设这个宽度为x米，那么所列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海普陀·月考）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期末）2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【经典例题五 数字问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（23-24八年级下·山西长治·月考）根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级下·山西·月考）为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 3．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 4．（25-26八年级下·河北邢台·月考）按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【经典例题六 营销问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·山西朔州·月考）化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价______元． 1．（25-26八年级下·山西晋城·期末）为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）信阳市位于豫鄂皖的三省交界，历史文化厚重，旅游资源丰富．据统计，2025年元旦假期，某景区共接待游客约10万人次，旅游总收入200万元．经调研发现，若景区内人均消费增加5元，则游客人数会减少0.5万人次．在预期接待10万人次的基础上，如果要使2026年元旦假期旅游总收入达到240万元，设人均消费增加元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为________元． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【经典例题七 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（   ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发____________时，点和点的距离是10cm． 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 3．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【经典例题八 行程问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 2．（2023八年级下·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【经典例题九 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 2．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）学校举行篮球比赛，采用单循环赛制（每两个班之间都要进行一场比赛），一共进行了36场比赛，问有多少个班级参加比赛？设有个班级参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东河源·开学考试）某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 4．（25-26八年级下·甘肃临夏·月考）组织一次排球赛，每两个队比赛一场，共安排28场，问一共有多少个队参赛？ 【经典例题十 其他问题(一元二次方程的应用)】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． A．1 B． C．1或 D． 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了_______行． 1．（25-26八年级下·重庆黔江·期末）河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为米，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江大兴安岭·月考）九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【拓展训练一 用一元二次方程解决几何图形有关问题】 【例1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（   ） A． B． C．或 D． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 4．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【拓展训练二 一元二次方程的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【例2】（25-26八年级下·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 1．（25-26八年级下·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 3．（25-26八年级下·上海虹口·月考）满足的有序有理数对__________． 4．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2） 请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（    ）人被传染． A．380 B．6859 C．7220 D．6498 2．（25-26八年级下·内蒙古·期末）某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 5．（25-26八年级下·山西太原·月考）年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 7．（25-26八年级下·重庆开州·期末）近年来青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（   ）. A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·期末）有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）2023年8月27日，全国和美乡村篮球大赛（村）西北赛区的比赛在固原市西吉县吉强镇团结村篮球公园和固原市原州区中河乡中河村励志篮球俱乐部进行，来自各省区的代表队共安排了153场比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，设共有x个代表队参赛，则x的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 10．（2022·安徽·模拟预测）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（   ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 11．（25-26八年级下·天津·月考）在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 12．（25-26八年级下·河南南阳·期末）2025年7月25日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电影第一周票房约亿元，三周总票房约亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为_______． 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为________元． 14．（2024八年级下·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 15．（25-26八年级下·江西吉安·期末）某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生． 16．（22-23八年级下·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 17． （25-26八年级下·全国·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 18．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 19．（25-26八年级下·河南郑州·期末）“千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． (1)求该店11、12月份的月增长率 (2)春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $