专题2.2 一元二次方程的解法重难点题型专训（5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（浙教版）

本讲义聚焦一元二次方程解法，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法5个核心知识点，从基础解法原理到根的情况判断，构建递进式学习支架，形成完整知识脉络。 资料以8大题型分类训练为主线，配套即时训练、经典例题及2大拓展训练，融入思维导图辅助知识梳理。通过配方法步骤实例、判别式参数问题等培养运算能力与推理意识，课中提升教学效率，课后助力学生自我检测、查漏补缺，强化知识应用。

专题2.2 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 因式分解法解一元二次方程 题型二 解一元二次方程——直接开平方法 题型三 解一元二次方程——配方法 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 换元法解一元二次方程 拓展题型一 解一元二次方程 拓展题型二 一元二次方程根的相关问题 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山西运城·月考）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 知识点三：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【即时训练】 1．（2026年安徽中考模拟信息卷（一）数学试题）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先计算判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为， ∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 知识点四：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 知识点五：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·专题练习）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 将方程因式分解得， 解得，， ∴方程的另一个根是3． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 【经典例题一 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）下列数中，能使等式成立的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先将方程整理为一元二次方程一般形式，然后通过因式分解法求解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 或， 解得或， 选项中仅符合等式要求， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·四川自贡·专题练习）方程的解为___________． 【答案】 ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 1．（25-26八年级下·上海青浦·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程与三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 先解方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断出符合条件的第三边长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，舍去， 当第三边长为4时，且，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为． 故选：D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算及解一元二次方程，注意利用题中所给新定义把新运算转化为所学函数是解决问题的关键． 根据题中所给定义得到，得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：函数，方程， ， ， ， ，， ，， 故选：C． 3．（25-26八年级下·江西九江·专题练习）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 【答案】 【分析】把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． （2）利用因式分解法解方程； 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得，即， 或， 解得； （2）解： 因式分解，得， 或， 解得． 【经典例题二 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26八年级下·广西钦州·专题练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程进行解题． 【详解】解：A：，，有实数根，故该选项不合题意； B：，，，有实数根，故该选项不合题意； C：，，无实数根，故该选项符合题意； D：，，，有实数根，故该选项不合题意． 故选：C． 【例2】．（25-26八年级下·广东肇庆·专题练习）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·广东深圳·月考）在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 2．（25-26八年级下·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级下·河北保定·月考）关于x的一元二次方程的解为___． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和求解一元二次方程，先根据一元二次方程的定义求出参数 m 的值，再代入方程求利用开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 当 时，原方程为： 化简得：， 即：， 解得 ． 故答案为． 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开方法解一元二次方程； （2）运用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， 即，； （2）解：， ， 或， ∴，． 【经典例题三 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26八年级下·广西来宾·专题练习）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 1．（25-26八年级下·四川宜宾·专题练习）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级下·山东德州·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤是解题关键．先通过配方法将方程转化为的形式，求出、的值，再计算． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 对比的形式，可得， ∴ 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于________． 【答案】16 【分析】先将方程整理为标准形式，利用直接开平方法得出根的特征（互为相反数），再根据根的和为求出的值，进而得到方程的两个根，最后代入原方程求出的值． 【详解】解：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，， 则由根与系数的关系，有 ，即 ， 解得 ． 又 ，即 ， 代入 得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程和根的性质，解题关键是发现方程的两个根互为相反数，从而利用两根之和为求出的值，再代入求解． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·专题练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】利用配方法，因式分解法分别解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，； （3）解：， ， 或， 解得，． 【经典例题四 配方法的应用】 【例1】（25-26八年级下·湖北恩施·专题练习）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的步骤．通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，进而确定和的值，最终计算． 【详解】解：， ， ， ， 与比较，得，， ． 故选：． 【例2】（2025八年级下·黑龙江·专题练习）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·山东聊城·专题练习）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·浙江台州·月考）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 4．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·专题练习）小明在学习有关整式的知识时，将x的不同取值分别代入，发现了一个有趣的现象：当x的不同取值关于“”对称时，的值相等． x 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 请结合小明的探索方法解决下列问题： (1)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (2)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (3)若关于x的多项式的值关于“”对称，求b的值； (4)整式关于_________对称． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义得出，求解即可； （4）将原式进行变形，最后得到，再判断即可． 【详解】（1）解：对于代数式，当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等， ∴关于对称， 故答案为：； （2）解：， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴关于对称， 故答案为：； （3）解：， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴多项式关于对称， ∵关于x的多项式的值关于“”对称， ∴， ∴； （4）解： ， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴多项式关于对称， 故答案为：． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·月考）在学完一元二次方程后，善于思考的小刚同学发现：根据某些一元二次方程的根的特点，可倒推原方程．已知一元二次方程的根为 ，，可推一元二次方程错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意逐一对选项进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵A选项，，直接开方得，即，，满足题意中说的方程的解， ∵B选项，因式分解得：或，解得：，，满足题意中说的方程的解， ∵C选项，配方法得：，即，直接开方得，即，，满足题意中说的方程的解， ∵D选项，利用公式法求解，，即，解得：，，不满足题意中说的方程的解， 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．把它们的序号填在各自最适宜的解法后面． （1）直接开平方法：____________． （2）因式分解法：____________． （3）公式法：____________． （4）配方法：____________． 【答案】 ④⑤ ②⑥ ③ ①⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，选择适当的方法解方程是解题的关键． 适合直接开平方法的方程的特点：方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合因式分解法的方程的特点：方程左边的二次三项式能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合求根公式法的方程的特点：方程左边的二次三 项式不能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合配方法的方程的特点：方程左边的二次三项式 不能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程． 【详解】解：结合题中所有方程，可知： （1）适合直接开平方法的方程有：④，⑤ 故答案为：④⑤ （2）适合因式分解法的方程有：②，⑥ 故答案为：②⑥ （3）适合公式法的方程有：③ 故答案为：③ （4）适合配方法的方程有：①,⑦ 故答案为：①⑦ 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 【答案】C 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据用公式法解一元二次方程的步骤排序即可． 【详解】用公式法解一元二次方程的步骤为： ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ④计算出根的判别式的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． 即顺序为：②④③①， 故选：C． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·专题练习）已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，原方程为， 解得：， 当时，， ∵ ∴， ∴，， ∵方程的根都是整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 又∵， ∴可取或或， 综上所述，满足条件的整数为：或或或， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）（1）解方程：； （2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下： 解：……第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 ，或……第⑤步 ∴，……第⑥步 小明第②步的理论依据是______． 小明的结果是否正确______（填“是”或“否”） 请你用不同于小明的方法解这个方程：． 【答案】（1），；（2）等式的基本性质1，是；见详解； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的四种常规解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解方程即可． （2）根据等式的性质，配方法解方程回答即可，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ， ，， （2）小明第②步两边同时加上9，理论依据是等式的基本性质1． 小明运用的是配方法，过程正确，结果正确， 故答案是：等式的基本性质1；是； 不同于小明的方法： 或 ， 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25八年级下·全国·随堂练习）下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程，根据判别式判断方程的解即可． 【详解】①， ∵ ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ②， 解得，，故错误； ③， ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ④， 解得，故正确． 综上所述，其中正确的有1个． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【答案】方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 3．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）已知，，是整数，满足，，，若关于的方程的解只有一个值，则的值是 _____． 【答案】或或 【分析】由结合，为整数可求出将其代入中可求出的值，结合可确定的值，将，的值代入中，分二次项系数为零及非零两种情况找出的值，此题得解． 【详解】解：，即， ， ，同号， ， ，只能同时为正数， ，只可能一个是，一个是， ， 将代入， 得， 或， ， ， 方程可变为， 当时，原方程为， 解得：， 符合题意， 当时，， 解得：或， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，依照已知条件求出，的值是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建泉州·专题练习）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（24-25八年级下·重庆合川·专题练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）是“完美”方程， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【例2】．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可． 【详解】解：※， ，即， 关于x的方程k※有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 1．（25-26八年级下·浙江·月考）对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义运算，由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列说法：①若式子有意义，则；②若方程无实数根，则；③方程的根是；④若方程 满足，且有两个相等的实数根，则．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，因式分解法求一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根据被开方数为非负数可判定①，根据一元二次方程根以系数的关系可判定②④，根据因式分解法求一元二次方程可判定③，由此即可求解． 【详解】解：若式子有意义，则， 解得，，故①错误； 方程无实数根，则， 解得，，故②正确； 方程变形得，， 解得，，故③错误； 方程，，有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C ． 3．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 4．（2026八年级下·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 【答案】(1)③ (2)选①代入，，；选②代入，， 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）利用一元二次方程根的判别式可作出选择； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，， ①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ③，：，方程没有实数根，符合题意， 她选取的是：③； （2）解：选①，代入，得，，，， ∴， ， 解，； 选②，代入，得，，，， ， ， 即，． 【经典例题八 换元法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 【例2】（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知实数a、b满足，则的值为______． 【答案】3 【分析】把看作为一个整体，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用整体思想解答是解题的关键． 1．（25-26八年级下·山西朔州·专题练习）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的重点是利用换元法结合完全平方公式，将分式条件转化为整式方程求解的代数运算能力；设，，根据已知条件代入关系式，利用平方和公式建立方程求解． 【详解】解：由，得． 由，得． 设，则，． ∵， ∴， 即， 整理得， 即， 因式分解得， 解得或． 当 时，分母，原式无意义，故舍去． 所以，即． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·河南南阳·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解 （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． （3）令，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （3）解： 令，则 ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故， 【拓展训练一 解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【分析】根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法． 【详解】解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意； C、直接开平方法，公式法，因式分解法： ① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法； ② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法； ③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。 该选项完全匹配，符合题意； D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点一元二次方程的解法选择，解题关键是抓住方程的结构特点，区分直接开平方法、公式法、因式分解法的适用场景，避免盲目使用配方法增加计算量． 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由方程可得或，即得或，进而根据是方程的一个根即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或，即， ∵是关于的方程的一个根，为有理数， ∴，的一个值是， ∴是方程的另外一个根， ∴该方程的另外两个根分别是和， 故答案为：，． 1．（25-26八年级下·山东德州·月考）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 3．（2026八年级下·浙江温州·专题练习）方程组的有理数解的个数为__________． 【答案】2 【分析】题目主要考查解三元方程组，分两种情况分析：当时，当时，分别求出有理数解即可得出结果，关键是对分析时，化简注意解的情况． 【详解】解：当时，方程组为：， 解得：或； 当时， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 将②代入整理得：③， 由①得：， 代入③整理得：， 当时， 整理得：， ∴方程无有理数根， ∴即， ∴由①得：， ∴由②得：（不符合题意，舍去）， ∴方程组有两组有理数解：或， 故答案为：2． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得； （4）解：在中，， ∴ ， ∴ ， 解得． 【拓展训练二 一元二次方程根的相关问题】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·专题练习）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·北京·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 1．（25-26八年级下·山东济宁·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据角的平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解答即可． 本题考查了角的平分线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，熟练掌握等腰三角形的判定，根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵和分别平分和， ∴，，     ∵，     ∴，     ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且 ， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）定义：符号表示不超过x的最大整数，如，解方程，则该方程所有解的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程的解以及根的判别式．通过设，将方程转化为关于的方程，根据一元二次方程根的判别式和的范围确定的取值范围，再验证求解即可． 【详解】解：设，则为整数，且． ∵， ∴， 根据题意可得该方程有实根， ∴， 即， 解得：， 即， ，解得：， ∵且， ∴， ∴． ∴，即， 由，得：， 整理得：，该不等式恒成立； ，得：， 整理得：， 解得：， ∴． ∴方程的解为或或， 所有解的和为． 故答案为： 4．（25-26八年级下·全国·假期作业）已知实数对满足，求的最大值和最小值． 【答案】的最大值为和最小值为． 【分析】本题考查了根的判别式．设，即，得到，根据即可求解． 【详解】解：设，即， ∵， ∴， 化简整理：， 则此方程必有实数根，即， ∴， ∴， ∴t的最大值为和最小值为， ∴的最大值为和最小值为． 1．（25-26八年级下·广东湛江·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 即， 解得， 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 故方程的另一个根为． 故选：B． 2．（25-26八年级下·陕西安康·专题练习）方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴方程的负根是． 故选：A． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．作于点，设，求得，推出，由勾股定理得，据此列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：作于点，设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴的值为， 故选：B． 6．（22-23八年级下·四川资阳·专题练习）若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 7．（25-26八年级下·北京·月考）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 8．（24-25八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元法，将含有绝对值的不等式转化为关于新变量的一元二次不等式进行求解，再将新变量还原为原变量，从而得出原不等式的解集． 【详解】解：令，， ∴原不等式转化为， ∴因式分解，得， ∴与异号 ∵恒成立， ∴只能是且， 又∵，恒成立， ∴由可得， 综合，得到， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，当时，． 故选：A． 9．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 10．（25-26八年级下·重庆九龙坡·专题练习）已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、方程有无数解的条件、因式分解等知识． ①代入，写出多项式、的表达式，对因式分解后，分析方程的解；只要其中一个因式为有实数解，即可判定方程有实数解． ②代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ③代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ④对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，则，． 方程即． 因有解，故方程有实数解，①正确； ②若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确； ③若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，③错误； ④由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故④错误． 综上，正确的说法为①②，共2个． 故选：B． 11．（2026八年级下·四川南充·专题练习）的根是______，的根是______． 【答案】 ， ， 【详解】解：， ， ， ，， 解得：，； ， ， ，， 解得，． 12．（25-26八年级下·青海西宁·期中）把方程配方为的形式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边都加上16得，， 配方得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·福建漳州·专题练习）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 14．（25-26八年级下·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 15．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·广东深圳·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程； （3）配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 两边同除以4，得， 开方，得， 解得：，； （2）解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； （3）解：， 移项，得， 两边都加上1，得， 开方，得或， ∴，． 17．（25-26八年级下·江西赣州·专题练习）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 18．（25-26八年级下·重庆江北·开学考试）整数使得可以表示为两个相邻的正偶数的乘积，请问所有这样的整数之和为多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，一元二次方程的判别式，解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式，解一元二次方程，进行解答． 设两个相邻的正偶数分别为，，其中为正整数，得到，根据一元二次方程的判别式可得，整理得到，分类讨论当且时；且时，进行解答，即可． 【详解】解：∵整数使得可以表示为两个相邻的正偶数的乘积， 设两个相邻的正偶数分别为，，其中为正整数， ∴可设， ∴ ∵为整数 ∴关于的一元二次方程的判别式一定是完全平方数， 可设判别式，其中为整数， 整理得： ∴ ∴ ∵为整数，为正整数， ∴和均为正整数， 又∵ ∴有以下两种情况： ①当且时， 两式相减得：， 解得：， ∴， ∴， 即：， ∴或， 由，解得：，不合题意，舍去， 由解得：， ②当且时， 两式相减得：， 解得：， ∴， ∴， 即：， ∴或， 由，解得：，不合题意，舍去， 由解得：， 综上所述：的值为或， ∴所有这样的整数之和为． 故答案为：． 19．（25-26八年级下·山东临沂·专题练习）若实数，满足，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换； 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求即的值． 【详解】解：设，则由原方程，得，       整理，得，即， 分解得：， 解得：， 则的值是或1． 20．（25-26八年级下·北京大兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； （2）解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 因式分解法解一元二次方程 题型二 解一元二次方程——直接开平方法 题型三 解一元二次方程——配方法 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 换元法解一元二次方程 拓展题型一 解一元二次方程 拓展题型二 一元二次方程根的相关问题 知识点一：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山西运城·月考）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 知识点三：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【即时训练】 1．（2026年安徽中考模拟信息卷（一）数学试题）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 知识点四：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 知识点五：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·专题练习）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【经典例题一 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）下列数中，能使等式成立的的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川自贡·专题练习）方程的解为___________． 1．（25-26八年级下·上海青浦·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 2．（2026八年级下·全国·专题练习）给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 3．（25-26八年级下·江西九江·专题练习）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）解方程 (1) (2) 【经典例题二 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（25-26八年级下·广西钦州·专题练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（25-26八年级下·广东肇庆·专题练习）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 1．（25-26八年级下·广东深圳·月考）在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 2．（25-26八年级下·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 3．（25-26八年级下·河北保定·月考）关于x的一元二次方程的解为___． 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【经典例题三 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26八年级下·广西来宾·专题练习）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 1．（25-26八年级下·四川宜宾·专题练习）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 2．（25-26八年级下·山东德州·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于________． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·专题练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 配方法的应用】 【例1】（25-26八年级下·湖北恩施·专题练习）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·黑龙江·专题练习）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 1．（25-26八年级下·山东聊城·专题练习）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（25-26八年级下·浙江台州·月考）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 4．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·专题练习）小明在学习有关整式的知识时，将x的不同取值分别代入，发现了一个有趣的现象：当x的不同取值关于“”对称时，的值相等． x 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 请结合小明的探索方法解决下列问题： (1)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (2)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (3)若关于x的多项式的值关于“”对称，求b的值； (4)整式关于_________对称． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·月考）在学完一元二次方程后，善于思考的小刚同学发现：根据某些一元二次方程的根的特点，可倒推原方程．已知一元二次方程的根为 ，，可推一元二次方程错误的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．把它们的序号填在各自最适宜的解法后面． （1）直接开平方法：____________． （2）因式分解法：____________． （3）公式法：____________． （4）配方法：____________． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 2．（22-23八年级下·重庆北碚·专题练习）已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 4．（25-26八年级下·广东深圳·专题练习）（1）解方程：； （2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下： 解：……第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 ，或……第⑤步 ∴，……第⑥步 小明第②步的理论依据是______． 小明的结果是否正确______（填“是”或“否”） 请你用不同于小明的方法解这个方程：． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25八年级下·全国·随堂练习）下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 3．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）已知，，是整数，满足，，，若关于的方程的解只有一个值，则的值是 _____． 4．（24-25八年级下·福建泉州·专题练习）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2) 已知时，，若，试证明． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（24-25八年级下·重庆合川·专题练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 1．（25-26八年级下·浙江·月考）对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列说法：①若式子有意义，则；②若方程无实数根，则；③方程的根是；④若方程 满足，且有两个相等的实数根，则．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是________． 4．（2026八年级下·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 【经典例题八 换元法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知实数a、b满足，则的值为______． 1．（25-26八年级下·山西朔州·专题练习）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，则_____． 4．（25-26八年级下·河南南阳·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【拓展训练一 解一元二次方程】 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 1．（25-26八年级下·山东德州·月考）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 3．（2026八年级下·浙江温州·专题练习）方程组的有理数解的个数为__________． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 【拓展训练二 一元二次方程根的相关问题】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·专题练习）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【例2】（25-26八年级下·北京·开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 1．（25-26八年级下·山东济宁·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）定义：符号表示不超过x的最大整数，如，解方程，则该方程所有解的和为___________． 4．（25-26八年级下·全国·假期作业）已知实数对满足，求的最大值和最小值． 1．（25-26八年级下·广东湛江·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西安康·专题练习）方程的负根是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）如图，在中，若，，E为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·四川资阳·专题练习）若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 7．（25-26八年级下·北京·月考）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 10．（25-26八年级下·重庆九龙坡·专题练习）已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2026八年级下·四川南充·专题练习）的根是______，的根是______． 12．（25-26八年级下·青海西宁·期中）把方程配方为的形式，则______． 13．（25-26八年级下·福建漳州·专题练习）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 14．（25-26八年级下·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 15．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 16．（25-26八年级下·广东深圳·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 17．（25-26八年级下·江西赣州·专题练习）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 18． （25-26八年级下·重庆江北·开学考试）整数使得可以表示为两个相邻的正偶数的乘积，请问所有这样的整数之和为多少？ 19． （25-26八年级下·山东临沂·专题练习）若实数，满足，求的值． 20．（25-26八年级下·北京大兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $