精品解析：四川成都棠湖外国语学校2025-2026学年下学期初八年级半期数学试卷

成都棠湖外国语学校2025-2026学年度下学期初2024级半期 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零．根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， 故选：D． 3. 根据不等式的基本性质，下列计算正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断即可，不等式性质为：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A选项，∵，两边同时减，不等号方向不变， ∴，原计算错误，不符合题意； B选项，∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，原计算正确，符合题意； C选项，∵，两边同时除以，不等号方向不变， ∴，原计算错误，不符合题意； D选项，题中未说明的符号，当时，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得 ； 当时， ，原计算错误，不符合题意． 4. 下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据完全平方公式分解因式的条件，需紧扣“三项式，两个平方项符号相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍”这一特征逐一判断选项． 【详解】解：，第三项不是与乘积的2倍， 故A不符合条件； ，与符号不同， 故B不符合条件； ，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件； ，符合完全平方公式分解因式的条件， 故D符合条件， 故选：D． 5. 如图，四边形经过旋转后与四边形重合，下面说法中不一定正确的是（ ） A. 点是旋转中心 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A. 点是旋转中心,说法正确，故此选项不符合题意； B.由旋转得：，所以，说法正确，故此选项不符合题意； C.,说法正确，故此选项不符合题意； D，与不一定相等，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的定义、性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的定义、性质，这是灵活解题的基础． 6. 如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关键． 由题意，结合垂直平分线的性质得到，再结合即可得到答案． 【详解】解：的边，的垂直平分线交于点， ， ， ， 故选：C． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查真假命题，逆命题，分别写出各命题的逆命题，并判断其真假，A、B、C的逆命题均存在反例，为假命题；D的逆命题符合等腰三角形性质，为真命题； 【详解】解：∵ A的逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：两直线平行，同位角相等但不是对顶角）； ∵ B的逆命题：若，则，假命题（反例：，，但）； ∵ C的逆命题：对应角相等的三角形全等，假命题（反例：形状相同大小不相同的两个三角形对应角相等但不全等）； ∵ D的逆命题：等边对等角，真命题（等腰三角形中，两边相等则对应角相等）； 故选：D． 8. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意，实际支付金额为原价减去政府补贴和厂家补贴，且不低于3000元．需正确表达各补贴的关系并建立不等式． 【详解】解：冰箱原价为4200元，政府补贴600元，厂家补贴为原价的，即， 根据题意得：， 化简为： 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. “方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， 所以， 所以， 故答案为：． 11. 过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 【答案】 ①. 八 ②. 【解析】 【分析】根据多边形的性质，边形过一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，先根据分成三角形的个数求出多边形的边数，再利用分成的所有三角形内角和之和计算多边形的内角和． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得：， 多边形内角和： ， 即这个多边形是八边形，它的内角和为度． 12. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集为__________． 【答案】x<1 【解析】 【详解】解：∵y=kx+b，kx+b＜0，∴y＜0，由图象可知：x＜1．故答案为x＜1． 13. 如图，在四边形中，，，延长，得到，已知，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，推出，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ，， ， ， ， 四边形的面积． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解； （2）提取公因式即可因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 15. 解下列各题： （1）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． （2）计算： ① ② 【答案】（1），数轴见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出不等式的解集并在数轴上表示出解集即可； （2）①分式乘法，先约分再相乘； ②分式除法，先将除法转化为乘法，再因式分解、约分． 【小问1详解】 解：由①可得，解得； 由②可得，解得， ． 其解集表示在数轴上如图所示： 【小问2详解】 解：① ； ② ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）． 【解析】 【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】解：（1）△A1B1C如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换． 17. 如图，在中，，平分，交于点． （1）求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）先求出，得，根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 平分， ， ； 18. 解答下列问题： （1）【静图识形】如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：． （2）【数形转化】如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线的函数表达式； ②点是直线上一动点，当的面积为时，请求出所有符合条件的点的坐标． （3）【动点推广】在（2）问的条件下，若点在边上，且，过点作，交于点，交直线于点，在轴负半轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）①，②或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明即可证明； （2）先求出A、B、C、D的坐标，①利用待定系数法即可求解；②过点作交于点，不妨设点P的坐标为，那么点坐标为，，通过，即可求得答案； （3）过点作交于点，先通过求得，设，再通过求得点，先证明，得到，结合三角形内角和证明，又结合三角形内角和证明，进而证明，根据解析式设直线的解析式，代入M的坐标，再求出直线的解析式，问题得解． 【小问1详解】 证明：根据旋转有：，，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：令，解得：， 令，解得：， ∴，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ①设边所在直线的函数表达式为：， 即有：，解得：， ∴边所在直线的函数表达式为：； ②如图，过点作交于点， 不妨设点P的坐标为，那么点纵坐标为， ∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得，或者， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为：或； 【小问3详解】 解：存在，．理由如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点在边上，边所在直线的函数表达式为：， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∵边所在直线为， ∴设边所在直线为， 将代入，得：， 解得：， ∴边所在直线为， 令时，， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分解因式的定义，设出未知因式，利用多项式相等时对应项系数相等求解. 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则 将等式右边展开，得， 由多项式相等，对应项系数相等，可得 解得， 因此多项式的另一个因式为， 故答案为 20. 已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识． 过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，先求出点B、点D的坐标，得出平移的方式，即可作答． 【详解】解：过点B作轴于点N，过点D作轴于点M，如图， ∵， ∴即，，， ∴， ∴在中，， 根据平移有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， ∵，点C的对应点为点A， ∴将点先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移个单位即可得到点， 即：． 22. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是____，第2026个“智慧数”是_____． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，数的奇偶性；利用平方差公式和数的奇偶性，找出哪些数是智慧数，然后列出一些智慧数，归纳出规律即可找到第2026个“智慧数”． 【详解】解：∵， 又∵与奇偶性相同 ∴当与是偶数时，为4的倍数， 又∵、为正整数， ∴不符合题意， ∴从8开始的4的倍数符合题意，即，，，，，…… 对于一个奇数，为正整数， ， ∴从3开始的奇数符合题意，即3，5，7，9，11，13，…… ∴将所有的智慧数从小到大进行排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…… ∴第3个“智慧数”是7， 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第组的第一个数为（，且为正整数）， ∵， ∴第个智慧数是第组中的第1个数，即为． 23. 已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 乘法原理：若，则或． （1）试用所学知识尝试求解下列方程： ①； ②； （2）方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）根据勾股定理求出，设，利用三角形面积公式求出，在中，由勾股定理得，代入得，求出x值即可 【小问1详解】 解：① ∴； ②， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， 在中，，， 设， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得 , ∴（舍去）， ∴ 25. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买2件商品，1件商品，共需520元；若买1件商品，2件商品，共需560元． （1）求该商店在无促销活动时、商品的销售单价分别是多少元？ （2）为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买、两款商品共30件，其中商品购买件．求当在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】（1）、商品的销售单价分别是元、元 （2） 【解析】 【分析】（1）设、商品的销售单价分别是x元、y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）商品购买件，则商品购买件，分别表示出两种方案的总费用，即可求解． 【小问1详解】 解：设、商品的销售单价分别是x元、y元， 根据题意有：， 解得：， 答：、商品的销售单价分别是元、元； 【小问2详解】 解：根据题意商品购买件，则商品购买件， 采用方案一：总费用为：； 采用方案二：总费用为：； 如果选用无人机配送服务更合算， 则有：， 即有：， 解得：， 又∵， ∴时，选用无人机配送服务更合算． 26. 在学习完问题解决策略反思之后，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，小颖分享了自己的做法，然后小亮和小明两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题： 如图1，在中，，点在边上，且，连接．若，求的长． 小颖的做法： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 请你根据小颖的做法，写出完整的求解过程． （2）小亮给出了如下的变式： 如图3，在等边中，点在边上，且，连接．若，求的长． 请你类比小颖的做法，写出完整的求解过程． （3）小明又给出了如下的变式： 如图4，在中，，点在边上且，若点在直线上，且，求的长． 请你类比小颖的做法，直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，，证明；推出，利用勾股定理求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，得到，，，，证明，推出，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求解即可； （3）分点在上，点在延长线上，两种情况，同理（2）即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图，则，，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 当点在延长线上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校2025-2026学年度下学期初2024级半期 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 根据不等式的基本性质，下列计算正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形经过旋转后与四边形重合，下面说法中不一定正确的是（ ） A. 点是旋转中心 B. C. D. 6. 如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 8. 为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：_____． 10. “方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是_____． 11. 过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 12. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集为__________． 13. 如图，在四边形中，，，延长，得到，已知，则四边形的面积为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解： （1） （2） 15. 解下列各题： （1）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． （2）计算： ① ② 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 17. 如图，在中，，平分，交于点． （1）求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 18. 解答下列问题： （1）【静图识形】如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：． （2）【数形转化】如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线的函数表达式； ②点是直线上一动点，当的面积为时，请求出所有符合条件的点的坐标． （3）【动点推广】在（2）问的条件下，若点在边上，且，过点作，交于点，交直线于点，在轴负半轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 20. 已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接，，，将沿着方向平移6个单位长度到，则点坐标是_____． 22. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是____，第2026个“智慧数”是_____． 23. 已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 乘法原理：若，则或． （1）试用所学知识尝试求解下列方程： ①； ②； （2）方法迁移：如图，已知和分别是中边上的高，其中，，求． 25. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买2件商品，1件商品，共需520元；若买1件商品，2件商品，共需560元． （1）求该商店在无促销活动时、商品的销售单价分别是多少元？ （2）为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买、两款商品共30件，其中商品购买件．求当在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 26. 在学习完问题解决策略反思之后，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，小颖分享了自己的做法，然后小亮和小明两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题： 如图1，在中，，点在边上，且，连接．若，求的长． 小颖的做法： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 请你根据小颖的做法，写出完整的求解过程． （2）小亮给出了如下的变式： 如图3，在等边中，点在边上，且，连接．若，求的长． 请你类比小颖的做法，写出完整的求解过程． （3）小明又给出了如下的变式： 如图4，在中，，点在边上且，若点在直线上，且，求的长． 请你类比小颖的做法，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $