内蒙古自治区 锡林郭勒盟三县多校联考 2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

保密★启用前 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 八年级数学期中考试 考试范围：第十九—二十一章；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（本题3分）如图，已知一架梯子（）斜靠在墙OM（）上，米，米．现将梯子的底端B沿水平地面向左滑动到D，梯子的顶端从A滑到C．若米，则的长为（    ）    A．米 B．1米 C．米 D．米 3．（本题3分）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（  ）．    A．42 B． C． D． 4．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．（本题3分）若且，则，结出如下几个结论：①；②；③；④式子有意义，则，其中正确的共有个（ ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，中，，，平分，过点C作于F点，过A点作于D点，与交于E点，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①④ 8．（本题3分）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和为中点，连接、、，与交于点O，与交于点，连接，若，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积比为，其中正确的结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9．（本题3分）如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为________时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 10．（本题3分）如图，三边长分别为，记，那么，当，，时，______． 11．（本题3分）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为______． 12．（本题3分）学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在的两条对角线上分别取两个动点E、F，始终保持，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形．小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为、和、，若F点的“极限位置”恰好是A、C，当，且与的夹角为，则当点E处于“极限位置”时，的长为__________． 三、解答题（共64分） 13．（本题10分）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 14．（本题10分）【阅读理解】 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 【解决问题】 （1）的有理化因式是___________； （2）化去分母中的根号：___________．（直接写结果） 【拓展延伸】 （3）求证：； （4）利用发现的规律计算下列式子的值：． 15．（本题8分）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 16．（本题10分）笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 17．（本题12分）如图，在中，，点是的中点，点在上，，，垂足分别为，连接．    (1)求证：； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)试判断线段之间有何数量关系？直接写出你的结论． 18．（本题14分）在直角坐标系中，已知，，且．    (1)求的面积； (2)将线段平移至，且，且，求点C的坐标； (3)如图2，已知，（点M在线段上），且实数m、n、s满足，点P是线段上的一点，连接、、，有，求D点坐标． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考八年级数学期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B B C A B 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 2．C 【分析】利用勾股定理先求解，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为点，   ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 折叠后椅子比完全打开时高， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质可得，继而得到，根据平移特征可得点D坐标． 【详解】解：如图，作轴，垂足为E， ∵点， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得， ，，， ， ，即，解得， 的值是， 故选：B． 6．C 【分析】根据定义，，则，同理，故正确；设，得，代入可得正确；设，，，则，，，运用幂的运算法则，得，故错误；由题知，且且，解得且，故错误． 【详解】解：，则，同理，故正确； 设根据定义得，即，故正确； 设，，， 则，，；， ， ，故错误； 根据定义，式子有意义，则有且且， 解得且，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查新定义的理解，理解新定义，结合幂的运算法则作相应计算是解题的关键． 7．A 【分析】延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；先求出，再证出是等腰直角三角形，由此即可判断②正确；过点作于点，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，先证出，再设，则，，从而可得，，由此即可判断④不正确． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，， 是等腰三角形，， ， ，则结论①正确； 中，，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，结论②正确； 如图，过点作于点， 则是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，结论③正确； 如图，过点作于点， 由角平分线的性质得：， ， 是等腰直角三角形，， ， 设，则，， ， ， ， 即，结论④不正确； 综上，正确结论的序号是①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 8．B 【分析】利用等边三角形的性质，直角三角形的特征，等边三角形的三线合一性质，可判定①；利用直角三角形性质，斜边大于直角边，可判定②；利用全等三角形的性质，可判定③；利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，可判定④；利用三角形面积特点，可判定⑤． 本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点的综合运用． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，F为中点， ∴ ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误， 故选B． 9． 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．找出剪下的角展开后可以得到一个正方形的条件即剪下的角必须是一个直角，以此进行分析即可． 【详解】解：由于剪下的角展开后可以得到一个正方形，那么剪下的角必须是一个直角。 因此，虚线与折痕所成的锐角的度数为． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式求出p的值，再代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 11．南偏西 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出，再根据平角定义求出即可． 【详解】解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 12．2 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，解题的关键是理解极限位置为此时点到另一个动点所在直线的最短距离，是解题的关键．设交于点，根据题意，易得当点为极限位置时，，当为极限位置时，，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点，由题意，得：， ∵F点的“极限位置”恰好是A、C， 当点为极限位置时，此时，即， ∴， 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点为极限位置时，则：， 同理：，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数运算、分式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行乘方运算、括号内运算以及化简绝对值，再进行乘除运算，然后相加减即可； （2）首先进行括号内运算，并将后面部分的分子、分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，然后约分完成化简，之后将代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 14．（1） （2） （3）详见解析 （4） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式的运用，无理数比较大小．熟练掌握分母有理化，平方差公式的运用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行作答即可； （2）分母有理化即可； （3）根据，，然后比较大小即可； （4）根据原式，计算求解即可． 【详解】解：（1）由题意知，的有理化因式是， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∵， ∴， （4）解： ． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到，然后再结合题意即可证明四边形为矩形； （2）先判断与均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出长，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，． 16．能，原路线长为千米，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案． 【详解】解：能； ，， ． 是直角三角形，且， ． 在中， ， （千米）． 答：原路线长为千米． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论； （2）由“”可证，得，，再证，即可得出结论； （3）设与交于点，连接，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 又， ， ； （2）证明：， ，， ， 点是中点， ，， ， 在和中，，， ， ， ，， ， 即， 为等腰直角三角形； （3）解：，理由如下： 设与交于点，连接，   ，， ， 又，， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 18．(1)9 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，得到，解得，，得到，，得到，推出； （2）过点C作轴，延长交l于M，过点A作于T，过点B作于点N，设，根据， 求得，得到，根据， 求得，得到或，得到点C的坐标是或； （3）设，根据，解得，得到，，推出，根据，推出四边形是平行四边形，得到，根据平行线之间距离处处相等，推出，推出，过点D作轴于点Q，过点B作轴于点S，根据， 求得， 得到D点的坐标为． 【详解】（1）∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ∴； （2）过点C作轴，延长交l于M，过点A作于T，过点B作于点N，设， ，即， 解得，， ∴， ，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴点C的坐标是或；    （3）连接，设， ∵， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B和点N的纵坐标都是， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解答，， ∵点D在第四象限， ∴， 过点D作轴于点Q，过点B作轴于点S， ，即， 解得 ∴D点的坐标为．    【点睛】本题主要考查了非负数，三角形及梯形面积，二元一次方程组，平行四边形，坐标与图形，熟练掌握非负数的性质，三角形的面积计算公式及梯形面积计算公式，解二元一次方程组，平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，是解题的关键． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $