精品解析：内蒙古锡林郭勒盟三县联考2024--2025学年八年级下学期期中考试数学卷

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学期中考试卷 （考试分数：100分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的面积为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 7 3. 下列三边组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 5. 如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（ ）     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 7. 如图，已知点C为线段AB的中点，．按下列步骤作图： （1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D； （2）作射线AD，并在射线AD上截取； （3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF． 则BF的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2． 10. 已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是___________ 11. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上的一点，且，F为的中点，若的周长为30，则的长为______． 12. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 14. 计算：． 15. 如图，在中，相交于点O． （1）求的长； （2）求面积． 16. 如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 17. 计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） （2）已知：两数x，y满足，，求的值． （3）如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 18. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等． 例如：如图1，在中，如果是边上的中线，那么和是“朋友三角形”，则有． 应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：和是“朋友三角形”． （2）如图3，在四边形中，，//，，，点在上，点在上，与交于点，． ①求证：和是“朋友三角形”； ②连接，若和是“朋友三角形”，求四边形的面积． （3）在中，，，点在线段上，连接，和是“朋友三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，则的面积是________（请直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考八年级数学期中考试卷 （考试分数：100分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即可进行解答． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 2. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的面积为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠得到，，结合得到，即可求出，结合勾股定理即可求出，即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 解得：， ∴， 故选：B； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，矩形的折叠，解题的关键是根据等积法求出的高． 3. 下列三边组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理对每个选项分别计算，即可得出答案． 【详解】A．，所以能够成直角三角形，故不符合题意． B．，所以不能够成直角三角形，故符合题意． C．，所以能够成直角三角形，故不符合题意． D．，所以能够成直角三角形，故不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 4. 若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键，注意分类讨论．分腰长为4和腰长为6两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：由题意得，当腰为时，则第三边也为腰，为， 此时． 故以，，可构成三角形， 如图：， 则， ∴，则三角形的面积； 当腰为时，则第三边也为腰，为6， 此时，故以，，可构成三角形， 如图：， 则， ∴， 则三角形的面积． 故选：C． 5. 如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（ ）     A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点D作的垂线，垂足为P，首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P， 在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中 ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 故④错误； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，， 则， 即， ∵与不一定垂直， ∴不一定等于，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：. 7. 如图，已知点C为线段AB的中点，．按下列步骤作图： （1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D； （2）作射线AD，并在射线AD上截取； （3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF． 则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知，为等边三角形，再结合可计算，即可判断，然后在和中，由勾股定理依次计算CE、BF的长即可． 【详解】解：如下图，连接CD， ∵C为线段AB的中点，， ∴， ∵以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，，， ， ∵F为CE的中点， ∴， ∴在中，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键． 8. 如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作，交的延长线于点H，根据平行四边形，可得到，；结合，得到，继而得到，根据正方形的性质，得，得到；由，，得到，证明，得到，，继而得到； 证明，得到，继而得到，得到，结合运动属性，一直增大，继而判定一直减小，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】过点P作，交的延长线于点H， ∵平行四边形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质，得， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 根据正方形的性质，，得，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据运动属性，得一直增大，继而判定一直减小， 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2． 【答案】10 【解析】 【分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有，，，等量代换即可求最大的正方形面积． 【详解】解：如下图所示： 根据勾股定理可知， ∵， ， ， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 10. 已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是___________ 【答案】40或88 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的求法，分两种情况进行讨论，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，如图，过点作的垂线交于点，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：40或88． 11. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上的一点，且，F为的中点，若的周长为30，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出，的长，勾股定理求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为30， ． 为的中点， ． 在正方形中，， ， ， ， ． 四边形是正方形， ， ∵O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解． 【详解】解：延长，交于点， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ， , ． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC． 【答案】此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【解析】 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形， ∴ 答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先利用绝对值的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式进行计算，再进行加减求解即可． 【详解】解： ． 15. 如图，在中，相交于点O． （1）求的长； （2）求面积． 【答案】（1） （2）48 【解析】 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识： （1）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）根据平行四边形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，由勾股定理得：， ∴； 【小问2详解】 解：的面积是． 16. 如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； 【小问2详解】 解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 17. 计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） （2）已知：两数x，y满足，，求的值． （3）如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出； （2）根据（1）中等式，整体代入计算； （3）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出． 【小问1详解】 解：如图2，正方形的面积， 正方形的面积， ； 【小问2详解】 ，且，， ， 即， 的值为． 【小问3详解】 如图3，正方形的面积， 正方形的面积， ， 即． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：．解题时注意数形结合思想的运用． 18. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等． 例如：如图1，在中，如果是边上的中线，那么和是“朋友三角形”，则有． 应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：和是“朋友三角形”． （2）如图3，在四边形中，，//，，，点在上，点在上，与交于点，． ①求证：和是“朋友三角形”； ②连接，若和是“朋友三角形”，求四边形的面积． （3）在中，，，点在线段上，连接，和是“朋友三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，则的面积是________（请直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：连接EF， ∵四边形 ABCD为矩形， ∴， ∵AE=BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴，即是的中线， ∴和是“朋友三角形”； （2） ①证明：∵//， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴和是“朋友三角形”； ②四边形的面积为48 （3）8或 【解析】 【分析】（1）连接EF，根据四边形ABCD为矩形，可知，再借助AE=BF，可证明四边形ABFE为平行四边形，由平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”可知，即是的中线，即可证明和是“朋友三角形”； （2）①先证明，可推导，即和是“朋友三角形”；②由和是“朋友三角形”，可知，再借助，求得，根据和是“朋友三角形”、和是“朋友三角形”、，可依次求得、、、的面积，最后由四边形的面积求解即可； （3）根据题意画出符合条件的两种情况：①证明四边形是平行四边形，求出BC、并推导，根据三角形面积公式求解即可；②求出高CQ、在求出的面积，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略 ②解：∵和是“朋友三角形”， ∴， ∵， ， ∵和是“朋友三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵和是“朋友三角形”， ， ∴四边形的面积 ； 【小问3详解】 分为两种情况： ①如图1所示： ∵， ∴， ∵沿折叠A和重合， ∴， ∵与重合部分的面积等于面积的， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过作于， ∵，， ∴， 即和重合， ∴，由勾股定理得， ∴的面积； ②如图2所示： ∵. ∴， ∵沿折叠A和重合， ∴， ∵与重合部分的面积等于面积的， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过作于， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，是四边形综合题目，难度大，综合性强，解题关键是理解“朋友三角形”的概念及利用分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $