内蒙古自治区 锡林郭勒盟三县多校联考 2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

**基本信息** 立足七年级数学期中核心内容，融合跨学科情境与创新题型，通过基础概念辨析、规律探究及实践应用，考查抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|无理数判断、数轴性质、点的坐标规律|结合新定义“[a]操作”考查抽象能力，点跳动规律题培养推理意识| |填空题|4/12|平行线条件补充、“迥异数”“倍和数”新定义|“迥异数”“倍和数”设计体现数学语言表达，考查模型观念| |解答题|6/64|实数计算、光的反射定律应用、坐标平移、探照灯运动探究|14题融合物理光的反射，18题探照灯旋转问题，强化应用意识与几何直观|

《2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考七年级数学期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C A B C 1．C 【分析】本题主要考查无理数的定义．根据无理数的三种形式：①无限不循环的小数；②含的代数式；③开方开不尽的数；判断即可得到答案． 【详解】解：，， 无理数有：，， ∴无理数共2个， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的性质，求一个数的立方根，近似数，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故错误； ②，互为相反数，当时不成立，故错误； ③如果一个数的绝对值是它本身，这个数是正数或0，故错误； ④近似数所表示的准确数的范围是大于或等于，而小于，正确， ⑤的立方根是，故⑤正确； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现， ， ， 即， 故选：A． 4．B 【分析】根据推算过程分别计算并判断． 【详解】解：①，即对11进行一次操作后的结果是3，故正确； ②，即对210进行三次操作后的结果是1，故正确； ③正整数n进行第3次操作后变为，则a的最大值为3， 则第二次操作后变为，故b的最大值为15， 则第一次操作后变为，故n的最大值为255，故错误； 正确的为①，②， 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力． 5．C 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角、平方根、实数与数轴的关系、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：相等的角可能为对顶角，也可能为等腰三角形的底角等，不一定是对顶角， 故A选项是假命题，不合题意； 1的平方根为1和，平方根不等于本身， 故B选项是假命题，不合题意； 实数与数轴上的点存在一一对应关系，故C选项是真命题，符合题意； 只有当两条直线平行时，内错角才相等， 故D选项是假命题，不合题意； 故选：C． 6．A 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：点可以看作周期运动，运动周期为4， ， ∴动点第2025次运动到点， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查图形平移的性质．解决问题的关键是理解平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积． 三角形的面积为，平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积．据此分析四个说法是否正确． 【详解】解：三角形的面积为， 平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积． 如图，当三角形沿着与垂直的方向平移时，三角形扫过的面积最大， 是一个长6宽5的长方形面积加上三角形的面积，即，所以①正确； 三角形沿着与垂直的方向平移时（），可以向左下平移，也可以向右上平移，存在两种不同的平移方式，所以③正确； 如图，三角形平移时，偏离与垂直的方向一定的角度， 使三角形扫过的面积是一个底为5高为4的平行四边形的面积加上三角形的面积，此时，可以向左下平移，也可以向右上平移，存在两种不同的平移方式； 如图，三角形平移时，偏离与垂直的方向一定的角度， 使三角形扫过的面积是一个底为4高为5的平行四边形的面积加上三角形的面积，此时，可以向左上平移，也可以向右下平移，存在两种不同的平移方式，所以一共存在四种不同的平移方式，④正确； 如图，过点A作的垂线交于G，， 所以是三角形中最短的线段， 当三角形沿着与垂直的方向平移时，S的值最小， 设平移后的三角形为，过点D作的垂线交于H，， S的最小值是20.4，不是20，所以②不正确． 综上，正确的为①③④， 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴，即，②正确； ③过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，③说法错误． 综上，正确的有2个， 故选：C． 9． 【分析】本题考查了平行线的判定、性质和直角的定义．此题需先证明，再过点E作，证明，则要使，添加条件为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点E作， ∴， ∴，， ∴． 那么要使，可添加条件为． 故答案为：． 10． 9 39 【分析】本题考查了两位数的表示方法、代数式的运算及一元一次方程的求解，解题的关键是理解“迥异数”的定义（个位与十位数字互不相同且均不为零）和函数的计算规则（新两位数与原两位数的和与11的商）． 计算时，先求出18对调后的两位数，再计算两数之和，最后除以11；求“迥异数”时，先根据十位数字和个位数字表示出原数与对调后的数，利用列方程求解，再结合“迥异数”的定义确定的取值，进而得到的值． 【详解】解：∵为“迥异数”，对调其个位与十位数字得新两位数81， ∴原数与新数的和为， ∴； 设“迥异数”的十位数字为，则个位数字为， ∴原数，对调后新两位数为， ∵， ∴， 化简得，即， 解得， ∴个位数字为，且、、，符合“迥异数”定义， ∴； 故答案为：；39． 11． 【分析】根据平方根求得，分两种情况：，，进行分类计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查新定义、平方根、有理数的加减法法则，理解题意，熟练掌握平方根的定义求得，运用分类讨论的思想是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．根据题意直接计算，即可求出答案；设四位数m为，可推得能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：； 设四位数m为， ∵m是“倍和数”， ∴， ∴， ∴， ∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数， 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 故所有满足条件的“倍和数”用的最大值为， 故答案为：． 13．(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案． （2）直接利用绝对值的性质、去括号法则分别化简，然后合并得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（1）80；（2），理由见解析；（3）或. 【分析】本题考查的是平行线的性质的应用，平行公理的应用，角的和差运算； （1）因为两面镜子平行，所以入射角等于反射角，且同位角相等．已知入射光线与平面镜的夹角，则反射角也为，那么反射光线与平面镜的夹角为，同理另一面镜子的反射光线与平面镜夹角也为，进一步可得答案． （2）设，．证明，可得，即，再进一步可得答案． （3）如图，当在的下方时，过作，如图，当在的上方时，过作，再进一步的利用平行线的性质与角的和差运算可得答案. 【详解】（1）解：由入射角反射角可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：． 理由：设，． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． （3）解：如图，当在的下方时，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在的上方时，过作， 同理可得：，， ∴， 综上：或. 15．(1)图见解析，； (2)先向上平移1个单位，再向右平移5个单位（或先向右平移5个单位，再向上平移1个单位）； (3)． 【分析】本题考查了直角坐标系中的点坐标，平行的性质． （1）根据怀柔区人民政府坐标为，汉庭酒店的坐标为画出平面直角坐标系，再写出万达广场的坐标即可； （2）由图形知，，线段先向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到线段； （3）由（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示， 万达广场的坐标为； （2）解：∵，，，， ∴线段先向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到线段； （3）解：由题意得，点P的坐标为． 16．(1)；；同位角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定和性质，补全过程即可解答； （2）根据平行线的性质可得，利用角度角度计算即可解答． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵，， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：；；同位角相等，两直线平行； （2）解：如图， ， ， ． 17．(1)见解析，点的坐标为 (2)①见解析；②的坐标为 【分析】（1）将点的坐标头，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，写出点的坐标即可； （2）①根据坐标系，得，将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，确定是一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换，确定平移坐标，画图即可． ②根据平移方式确定坐标即可． 本题考查了坐标系的建立，写坐标，画平移图形，确定平移坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将点的坐标头，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点，建立平而直角坐标系如图所示， 则点的坐标为； （2）①解：根据坐标系，得，将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，确定是一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换， 故，画图如下： 则三角形即为所求． ②解：根据题意，得这是一个一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换，故的坐标为． 18．(1)， (2)或或 (3)存在，， 【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解、； （2）分、在不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求； （3）设转动时间，用表示相关角，结合推导表达式，根据定值条件确定与 ． 本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴且 解得， 故答案为：，． （2）解：当、都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当在的左侧，都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当、都在的左侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 综上，当时，求的值为或或； （3）解：在转动过程中，存在一点，使得为定值， 理由：设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， ∵， ∴, ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得k为定值， 此时， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 七年级数学期中考试 考试范围：第七-九章；考试时间：100分钟；考试分数：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）在，，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 2．（本题3分）下列说法正确的有（   ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，这个数是正数； ④近似数7.30所表示的准确数的范围大于或等于7.295，而小于7.305. ⑤的立方根是2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，……，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，例如，，若将a变换成[]称为对a进行一次操作，例如：现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，对一个数进行类似操作，下列说法正确的个数是(   ) ①对11进行一次操作后的结果是3； ②对210进行三次操作后的结果是1； ③若正整数n进行3次操作后变为1，则n的最大值是225． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（本题3分）下列命题是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，1 C．实数和数轴上的点是一一对应的 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，三角形为直角三角形，，将三角形沿某一个方向平移6个单位，记三角形扫过的面积为S，则下列说法正确的是（   ） S的最大值为36； S的最小值为20； 当时，存在两种不同的平移方式； 当时，存在四种不同的平移方式． A． B． C． D． 8．（本题3分）已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9．（本题3分）如图，，试再添上一个条件使，添加的条件为___________（不再添加任何字母或数字标注）． 10．（本题3分）阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则______；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为_____． 11．（本题3分）定义一个新运算，已知，，则______；______． 12．（本题3分）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____；若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值为_____． 三、解答题（共64分） 13．（本题10分）计算： (1) (2)． 14．（本题8分）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 15．（本题10分）如图为怀柔区部分地图，若怀柔区人民政府坐标为，汉庭酒店的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出万达广场的坐标； (2)若将怀柔一中记为点A，青春路一院记为点B，怀柔区人民政府记为点C，怀柔区人大常委会记为点D．观察发现，线段可由线段经过平移得到，其中，点A的对应点是点C，点B的对应点是点D．请说明是如何平移到的； (3)在（2）的基础上，若在线段上有一点P，平移到线段后对应点为，请你用含a，b的式子表示出点P的坐标． 16．（本题10分）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 光线在同一均匀介质中沿直线传播，当光在两种物质分界面上传播方向改变又返回到原来物质中的现象，叫做光的反射．如图，入射光线与入射光线平行，被平面镜反射后的光线分别是和，实践中测得，，因此得到的结论是反射光线和平行．理由如下： ∵（已知）， ∴______（两直线平行，同位角相等）． 又∵，， ∴______（等量代换）， ∴（______）． 任务： (1)将材料中的横线部分补充完整． (2)若与的交点为P，当时，求的度数． 17．（本题12分）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上． (1)若点的坐标头，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，解答下列问题： ①将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，请画出三角形． ②若点为三角形内部的一点，请写出经过①平移后对应点的坐标． 18．（本题14分）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $