题号猜押06 天津中考数学21-23题（8大考点，解答题）（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦天津中考数学22题，按“背靠背型、母子型、借助矩形转化”三大题型分类，以区模典例构建解直角三角形应用的专项突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |背靠背型|1（和平二模）|方向角与运动路径，双直角三角形共边|基于方向角构造直角三角形，通过公共边建立方程| |母子型|1（北辰二模）|仰角俯角测量，嵌套直角三角形|利用公共直角边关联三角函数，实现未知量转化| |借助矩形转化|7（红桥等区二模）|复杂图形测量，矩形辅助线转化|通过矩形性质将非直角图形转化为可解直角三角形，体现转化思想|

题号猜押 天津中考数学22题（解答题） 考点1 背靠背型 1．（2026·天津和平·二模）天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】（1）根据速度及时间求出，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出，即可求出海里，得出从到达码头所用时间为小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，从处到处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从到达码头所用时间为（小时）， ∵到是小时，， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 考点2 母子型 1．（2026·天津北辰·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔AB的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点E，D，C依次在同一条水平直线上，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部A的仰角（）为，测得桥塔底部B的俯角（）为，又在E处测得桥塔顶部A的仰角（）为． (1)求桥上部分的高度； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【答案】(1)桥上部分的高度约为； (2)桥塔的高度约为． 【分析】（1）在中，求得，在中，求得，利用，列式计算即可求解； （2）在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：设． ，垂足为C， ． 在中，． ， 在中，， ， ， ， 得． 答：桥上部分的高度约为； （2）解：由（1），得． 在中，， ， ． 答：桥塔的高度约为． 考点3 借助矩形转化 1．（2026·天津红桥·二模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一座古塔的高度（如图所示）． 某学习小组设计了一个方案：点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得古塔顶部的仰角为，在处测得古塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算古塔的高度（结果保留整数）． 参考数据：，． 【答案】 【分析】延长与相交于点．分别解和，结合，列出方程，即可得出结果. 【详解】解：如图，延长与相交于点． 根据题意，可得． 有，，，，． 在中，， ． 在中，， ． ， ． ． ． 答：古塔的高度约为． 1．（2026·天津河北·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某建筑物的高度．某学习小组设计了一个方案：如图所示，点在同一条水平直线上，，且．在处测得该建筑顶部处的仰角为，在处测得该建筑顶部处的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算该建筑物的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】建筑物的高约为 【分析】连接交于点，分别解和，即可得出结果. 【详解】解：如图，连接交于点，根据题意，可得，，，， 在中，， ， 在中， ， ， ， ． 答：建筑物的高约为． 2．（2026·天津河东·二模）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米 【分析】过点C作于点G，过点B作于点H，则四边形为矩形，从而可得，，由题意得米，米，，，再分别解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图： 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意得米，米，，， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米． 3．（2026·天津南开·二模）如图，某水产养殖户开发一个三角形的养殖区域，，，三点的位置如图所示．已知，，． (1)求和的长(结果取整数)； (2)养殖户计划在的边上选取一点，修建垂钓栈道，测得，求栈道的长(结果取整数)．参考数据：，，，． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）过点作于点，根据含度角、度角的直角三角形的性质即可求出答案． （2）由（1）可知：，因为，所以，解即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 答：栈道的长约为． 4．（2026·天津宁河·二模）综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． (1)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） (2)计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 【答案】(1)无人机从地面起飞到H点的高度约为6米 (2)28米 【分析】（1）过D点作于点G，交线段于点M，则， ，在中，可得到米，即可； （2）过H点作于点F，则，， 在中，可得，从而得到．在中， 利用，可得，即可求解． 【详解】（1）解：过D点作于点G，交线段于点M，则， ． 在中，米，， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米； （2）解：过H点作于点F，则，， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ， 即， 解得（米）． ∴（米）． 答：天津西站小洋楼的高度约为28米． 5．（2025·天津西青·二模）如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 【答案】的长度约为1.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：，，， ，， 过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 答：的长度约为1.3米． 6．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】 【分析】过点A作于D，由正切的定义表示出和，再根据为等量关系列出等式即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于D， 根据题意得：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：所测量的这段大运河的宽度约为． 7．（2026·天津河西·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押 天津中考数学21题（解答题） 押题预测 一考点1切线性质 1.(2026天津南开·二模)△ABC内接于⊙0，过点C作⊙0的切线CD,连接AD,AD与⊙0相交于 点E.若∠BAC=45°，∠D=90°， 图1 图2 (I)如图1，若∠CAD=15°，求∠0BC和∠0CA的大小； (②如图2，B0的延长线与AD相交于点F,若CD=2,AB=V30,求⊙0的半径和线段EF的长. 【答案】(1)∠0BC=45°，∠0CA=15° ②)⊙0的半径为3，线段EF的长为V5 【分析】(1)由圆周角定理可得∠B0C=90°，进而得到∠0BC,再由切线的性质可得∠0CD=90°， 进而可得∠OCA: (2)易得四边形0CDF为矩形，得到OF=CD=2,设⊙O的半径为r,在Rt△AOF,Rt△ABF中， 利用勾股定理求出r,，进而得到EF。 【详解】(1)解：：∠BAC=45°， ÷∠B0C=2∠BAC=90o, 又0B=0C, :L0BC=L0CB,则∠0BC=45°， :∠CAD=15°，∠D=90°， ·∠ACD=90°-15°=75°， :CD是⊙0的切线， 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0C1CD,∠0CD=90°， .∠0CA=90°-750=15°； (2)解：由(1)知∠B0C=∠C0F=90°，∠0CD=90°，又∠D=90°， ∠0FD=90°， 则四边形OCDF为矩形，且OF垂直平分AE, :.OF=CD=2,OC=DF,AF=EF, 连接0C,设⊙0的半径为r, 图2 在Rt△A0F中，AF2=A02-0F2=r2-4 在Rt△ABF中，BF=r+2,AF2+BF2=AB2, 即r2.4+(r+2)2=30,解得r=3（负值已舍去)， AF=EF=r2.4=5, 则⊙0的半径为3，线段EF的长为5 考点2垂径定理 1.(2026天津北辰二模)在⊙O中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AD,0D. EO ○ GF 图① 图② (1)如图①，若LABC=22°，求∠AOD和∠BAD的大小； (②)如图②，若∠ABC=30°，过点D作⊙O的切线DF,过点B作BG⊥DF,垂足为G,交⊙O于点H,若 ⊙O的半径为2，求AD和GH的长. 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)LA0D=44°，LBAD=68 (2)AD=2,GH=1 【分析】(1)如图①，连接BD,根据垂径定理得出AC=AD,∠ABC=∠ABD=22°，根据圆周角定理得出 ∠AOD=2∠ABD=44°，根据AB是⊙O的直径，得出∠ADB=90°，在Rt△ADB中，即可求解. (2)如图②，连接OH,DH,同(1)得∠A0D=60°，结合0A=0D,得出△A0D是等边三角形，则 AD=OA=2,根据切线的性质得出LODG=90°，根据BG⊥DF,得出∠BGD=90°，证出OD∥BG,则 LAOD=∠ABG=60°，根据OB=OH,得出∠0HB=60°，根据OD∥BG,得出∠DOH=∠OHB=60°， 证出△D0H是等边三角形.则DH=OD=2,∠ODH=60°，∠HDG=30°，在Rt△DGH中，解直角三角形 即可求解。 【详解】(1)解：如图①，连接BD, B :AB⊥CD,AB是⊙O的直径， 图① AC=AD,∠ABC=∠ABD=22°， 在⊙O中，∠A0D=2∠ABD, ∠A0D=44°， ~AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠ABD=68°， (2)解：如图②，连接OH,DH. B D GF 图② 同(1)，得∠A0D=60°， :0A=0D, 3/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△AOD是等边三角形， AD=0A=2, ~DF为⊙O的切线，OD为⊙O的半径， .OD⊥DF, 即∠0DG=90°， BG⊥DF, .∠BGD=90°， ∠0DG+∠BGD=180°， OD∥BG, ∠A0D=∠ABG=60°， :OB=OH, L0HB=60°， 又OD∥BG, ∠D0H=∠0HB=60°， 0D=0H, △DOH是等边三角形. ∴.DH=OD=2,∠ODH=60°， ∠HDG=90°-∠0DH=30°， 在Rt△DGH中，sin∠HDG= GH DH' GH=2sin30°=1. ●考点3构造矩形 1.(2026天津河西一模)已知AB与⊙0相切于点C,0A=0B,∠A0B=90°，0B与⊙0相交于点 D,E为⊙0上一点. 图① 图② (I)如图①，求∠CED的大小； 4/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，当点E在AO的延长线上，过点E作⊙0f的切线，与AB的延长线交于点G,线段EG上有一点F, 且∠PCG=15,若⊙o的半径为22，求CF的长. 【答案】(1)22.5° 24v3+4v6 3 【分析】(1)连接0C,推导出0C⊥AB,得到0C平分∠A0B,求出∠C0B=45·,则 ∠CED=支∠C0D=22.5，即可解答； (2)连接0C,过点C作CH⊥EG于H,交0B于点，推导出四边形OIHE是矩形，OB‖EG, ∠A=(180°-∠A0B)=45,得到1H=0E=2N2,求出∠HCP=30°，得到 C1=0C~sin∠C0B=2,则cH=C1+1H=2+2V2,继而根据CF=o贸a求解即可， 【详解】(1)解：连接0C,如图 :AB与⊙0相切于点C, B 图① ÷OC⊥AB, 0A=0B, :0C平分∠A0B, ∠C0B=克∠A0B :∠A0B=90°， .∠C0B=45°. 在⊙0中，∠CED=方∠C0D' ∠CED=22.5°： (2)解：连接OC,过点C作CH⊥EG于H,交OB于点I,如图 5/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E ·∠CHE=90°. 图② :EG是⊙0的切线， ·∠AEG=90°. :∠A0B=90°，0A=OB 四边形0IHE是矩形，0B‖EG,∠A=(180°-∠A0B)=45, .1H=0E=22,∠CIB=∠0IH=90o, ·∠GCH=∠0AB=45°. ∠FCG=15°， .∠HCF=30°， 又：CI=0Csin∠C0B=2, CH=CI+IH=2+2√2， :在Rt△CHF中， CF=a-2-446 c0s30= 3 ●考点4特殊角的边角关系 1. (2026天津红桥二模)已知点C,D在以AB为直径的⊙0上，∠BAD=∠BAC,过点C作⊙0的切 线与BA的延长线相交于点P. B B D C 图① 图② (I)如图①，连接BD,若∠P=40°，求∠ABD的大小； (②)如图②，连接CD与OA相交于点F,若四边形ODAC是平行四边形，BF=3,求线段PC的长 【答案】(1)25· 2Pc=23 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)利用切线的性质求得∠PC0=90,得到∠P0C=50°，再利用等边对等角，结合直径所 对的圆周角是直角求解即可； (2)证明△OAC和△OAD是等边三角形，从而得到四边形0DAC是菱形，进而求得 0B=0C=OA=2,∠P=30°，最后解直角三角形即可求解. 【详解】(1)解：连接0C, B :PC与⊙0相切， ÷0C⊥PC,即∠PC0=90°， :∠P=40°， ÷∠P0C=90°-∠P=50°， 0A=OC, :∠0AC=∠0CA=(180°-∠P0C)=65, :∠BAD=∠BAC, ·∠BAD=65°， :AB为⊙0的直径， ·∠D=90°， ·∠ABD=90°-∠BAD=25°； (2)解：：四边形0DAC是平行四边形， ·AD‖C0, ·∠DA0=∠A0C, :∠BAD=∠BAC,OA=OC, ·∠OCA=∠OAC=∠AOC, :0A=0C=AC,∠A0C=60°， ·△OAC是等边三角形，同理△OAD也是等边三角形， ·OA=OC=AC=AD, ·四边形ODAC是菱形， 7/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CD⊥A0,AF=0F=号0A=号0C=0B :BF=3,即0F+0B=0B+0B=3 :0B=0C=0A=2, 又：PC与O0相切，即∠PC0=90°， ·∠P=90°-∠P0C=90°-60°=30°， PC=t=23 通关特训 1.(2026天津河东二模)已知⊙0是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分 线，AD=DC,AE=AB,延长AE与圆交于点F, ·O E E D F G 图① 图② (1)如图①，求∠F的大小： (②)如图②，过点F的切线与0C的延长线交于点G,若FG=3,求BC的长. 【答案】(1)∠F=75· (2)BC=3 【分析】(1)由已知得∠DAC=∠C=45°，由等腰三角形三线合一的性质得AD是∠BAE的角平分线， ∠BAD=∠DAE=x,由角平分线的定义得∠EAC=∠BAE=2x,则∠DAC=3x=45°，再由圆周角 的性质得∠F=∠ABD,即可求解； (2)由切线的定义得0F⊥FG,由(1)可知，∠CAF=∠BAF=30°，由圆周角定理得 ∠BOH=∠C0H=60°，再根据等腰三角形三线合一的性质得OH⊥BC,BH=CH,解Rt△OFG得 OC=OF=V5,解Rt△OHC求出CH,即可求BC的长. 【详解】(1)解：~AD是△ABC的高，AD=DC ∠DAC=∠C=45o, 8/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又AE=AB, AD是∠BAE的角平分线， 设∠BAD=∠DAE=X, AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC=∠BAE=2x, ∠DAC=3x=45°， 解得x=15°， ∴∠F=ABD=90°-∠BAD=75°； (2)解：连接0F,与BC交于点H, DE G FG与⊙0切于点F, OF⊥FG, 由(1)可知，∠CAP=∠BAP=30°，点F为弧BC的中点， 连接0B, ∴∠B0H=∠C0H=60°， 又0B=0C OH⊥BC,BH=CH, 在Rt△OFG中， FG=3, “0C=0F=V5, 在Rt△OHC中， OH-0C-CH-VOC0H- ..BC =2CH=3. 2.(2026天津河北二模)已知，在⊙O中，直径CE⊥弦AB,垂足为点H,连接0A,0B,ED是⊙O的弦. 9/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E D D 图① 图② (I)如图①，连接AD,若LB0C=50°，求∠ADE的大小； (2)如图2，直线I切⊙O于点D,与CE的延长线交于点P,连接BD,若BD∥CE,LB0C=30°，OA=2, 求∠BDE的大小和线段PD的长 【答案】（①）LADE=65 ②∠BDE=105°，PD-2W5 3 【分析】(1)由题可知∠A0C=∠B0C=50°，进而得到∠AOE,结合圆周角定理即可求解； (2)根据平行线的性质及等边对等角，先求出∠ODB、∠DOE,进而得到∠ODE,，再根据 LEDB=∠ODE+LODB求解，在RtAODP中，根据PD=OD·tan∠POD计算边长即可. 【详解】(1)解：在⊙O中，直径CE⊥弦AB于点H, .AC=BC,即LA0C=LB0C, 又：∠B0C=50°， LA0C=50°， ∴.∠A0E=180°-∠A0C=130°， :∠ADE=∠A0E=65°： 2 (2)如图，连接0D, 直线1切⊙O于点D, D 0D1PD,∠0DP=90°， :0B=0D,0E=0D, ∠OBD=∠ODB,∠OED=∠ODE, BD∥CE,∠BOC=30°， 10/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠0BD=∠C0B=30°，∠D0E=∠0DB=30°， .∠0DE=75°， ∠EDB=∠0DE+∠ODB=105°， PD 在Rta0DP中，∠ODP=90°，∠DOE=30°，OD=OA=2,tan∠POD= OD PD=OD-an∠POD=2 3 3.(2026天津和平.二模)已知AE为⊙O的直径，B,C,D为⊙O上的点，连接AB,BC,CD,DE ,∠BAE+∠BCD=150°. B D D 图① 图② (I)如图①，求∠AED的度数； (②)如图②，当AB∥DE时，且BC=CD,过点C作⊙O的切线，与AE的延长线相交于点P,若CD=3√2， 求PC的长. 【答案】(1)60° (2)5 【分析】(1)连接CE、AD,先由圆内接四边形对角互补及已知条件求出∠DCE=30°，再由圆周角定理 得到∠DAE、∠ADE的角度，最后由直角三角形两锐角互余即可； (2)连接AD、BD、OC,先证△ODE是等边三角形，得到∠DOE,再由平行线性质及圆周角定理的推论 确定BD是⊙O的直径，进而得到△BCD是等腰直角三角形，求出圆的半径及∠COP,最后在RtACOP中， 解直角三角形即可得到答案， 【详解】(I)解：连接CE、AD,如图所示： 图① 在圆内接四边形ABCE中，∠BAE+∠BCE=180°， 11/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAE+∠BCD=150°， .∠DCE=30°， DE DE, :.∠DAE=∠DCE=30°， “AE为⊙O的直径， ∠ADE=90°， 则∠AED=90°-30°=60°； (2)解：连接AD、BD、OC,如图所示： B 图② 则0C⊥CP, 由(1)知∠AED=60°， :0E=0D, :AODE是等边三角形， 则LD0E=60°， :AB∥DE, :∠BAE=∠AED=60°， 在Rt△ADE中，∠DAE=90°-60°=30°，则∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°， ∴BD是⊙O的直径， 则∠BCD=90°， 由BC=CD可得BC=DC=3V2,即△BCD是等腰直角三角形， :BD=√2BC=√2x3√2=6， .OB=OD=OC=-BD=3, C0⊥BD, ∠C0P=30°， 12/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtaC0P中，tan30°= Cg,解得PC=3x CP CP 2=5 3 4. (2026天津宁河·二模)在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点 D 图① 图② (I)如图①，D为劣弧AC上一点，若∠BAC=35°，求∠BOC和∠ADC的大小： (②)如图②，过点C作AB的垂线，交AB于点H,交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交CB的延长线于点F, 连接BE,AE,若AC=CE,BF=3,求EF的长度. 【答案】(I)LB0C=70°，∠ADC=125° 235 【分析】(1)先通过圆心角定理得出∠BOC=70°，再根据直径所对圆周角为直角得出LABC=55°，最后 利用圆内接四边形的性质得出结果； (2)由垂径定理得出AC=AE，继而证得△ACE是等边三角形，利用同弧所对圆周角相等得到 ∠ABC=LABE=60°，从而求得∠EBF的度数；连接OE,证得△BOE是等边三角形，得出OE∥BF，由切 线的性质得出∠BFE=90°，利用解30°直角三角形的性质即可得出结果. 【详解】(1)解：LBAC=35°， ∠B0C=70°， 如解图①，连接BC, B 解图① AB为⊙O的直径， LACB=90°， LBAC=35°， 13/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=55, ∠ADC=180°-∠ABC=180°-55°=125°. (2)解：~AB为⊙O的直径，AB⊥CE, ·AC=AE, ·AC=AE, 又×AC=CE, .AC=AE CE, “△ACE是等边三角形， ∠ACE=∠AEC=60°， .∠ABC=∠ABE=60°， ∴∠EBF=180°-∠ABC-∠ABE=60°， 如解图②，连接OE, B E 解图② 0B=0E,∠0BE=60°， △BOE是等边三角形， L0EB=60°， ∠OEB=LEBF, ∴OE∥BF, ∠0EF+∠BFE=180°， ~EF是⊙O的切线，OE为半径， ∴OE⊥EF, L0EF=90°， ∠BFE=90°， 在Rt△BEF中，BF=3,tan∠EBF=tan60°= EF =5, BE EF=tan60°x3=33. 14/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2025·天津西青·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点 D,且AE⊥CD,垂足为点E. B (I)求证：直线CE是⊙O的切线： (2)若BC=3,CD=3√2，求半径OB与线段AE的长. 【答案】（①）见解析： (2)0B=1.5,AE=2 【分析】(I)连接0D,证明OD⊥CE即可. (2)连接0D,根据0D⊥CE,得到(OB+3)2=OD2+CD2计算即可. 根据EAOD,列比例式计算即可. 【详解】(1)连接0D, B ×AD平分∠CAE,OA=OD, ∴.∠EAD=∠OAD=∠ODA, ..EAlOD, AE⊥CD, OD⊥CE, ∴直线CE是⊙O的切线. (2)连接0D,根据OD⊥CE, (0B+3)=OD2+CD2, (0B+3)2=0B2+(32, 15/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得OB=3 EAI‖OD, .0D-0C=45_3 AE AC 64 43 ·AE=二×二=2 32 6. (2026天津东丽一模)已知在⊙O中，点C为AB的中点，连接0C交弦AB于点E,点D在⊙O上， 连接OA,OB,BD,CD. D D E B E F 图① 图② (1)如图①，连接AC,若∠D=28°，求∠OBA和∠0AC的度数： (②)如图②，过点A作⊙O的切线交0C延长线于点F,若LD=30°，OA=3,求AB和AF的长. 【答案】（①）L0BA=34°，∠0AC=62 2)35,35 【分析】(1)根据题意得，∠B0C=∠A0C=2∠D=56°，再根据等腰三角形的定义可得 ∠04c=∠0cA=180°-∠C01=62. 2 (2)由圆周角定理得∠AOE=60°，可求出AE,AF的长，进而可求出AB的长. 【详解】(I)解：C为AB的中点， ·BC=AC. ∴0C⊥AB. 16/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBDC=28°， ∠B0C=∠C0A=2LD=56°， ∠0BA=90°-∠B0C=34°. 0C=0A, ∠0AC=∠0cA=180°-∠C0A=62. 2 (2)解：由(1)知∠C0A=2∠D,0C⊥BA. D ○ ∠D=30°，0A=3, ∠A0E=60°， AE=OAsin60°= 3v5 C为AB的中点， AB=2AE=3√5， AF切⊙O于点A, ∴0A⊥AF,即∠0AF=90°， 又∠A0F=60°， AF=0Atan60°=3V5. 17/17 题号猜押 天津中考数学23题（解答题） 考点1 一次函数的实际应用（行程问题） 1．（2026·天津红桥·二模）已知学生宿舍、凉亭、体育场依次在同一条直线上，凉亭离宿舍，体育场离宿舍．张强从宿舍出发，先匀速骑行到达体育场，在体育场锻炼了，之后匀速骑行到达凉亭，在凉亭休息了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间 2 10 40 50 张强离宿舍的距离 2 ②填空：张强从宿舍到体育场的骑行速度为________； (2)当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (3)同宿舍的李明比张强提前离开体育场，匀速步行直接回宿舍，如果李明和张强同时到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 2．（2026·天津河东·二模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速跑步了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速步行返家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 5 17 40 50 小华离家的距离 ____ ____ ____ ____ ②填空：小华从公园返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 考点2 一次函数的实际应用（利润问题） 1．（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 1．（2026·天津河北·二模）已知小明的家，体育馆，超市依次在同一条直线上，体育馆离家，超市离家，小明从家出发，先匀速骑行了到体育馆，在体育馆锻炼了，之后匀速骑行了到超市，在超市停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中表示时间，表示小明离家的距离，图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 小明离开家的距离 ②填空：小明从超市匀速骑行回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的爸爸在小明离开家后从体育馆以的速度匀速步行去超市，在小明的爸爸离开体育馆后到他到达超市前的过程中，两人相遇，求相遇时小明离开家的时间是多少？（直接写出结果即可） 2．（2026·天津北辰·二模）已知乐乐的家、文具店、文化广场、学校依次在同一条直线上，文具店离家，学校离家．放学后，乐乐从学校出发，匀速骑行了到家，到家后发现忘了买作业本，于是立刻离开家，匀速步行了到文具店，在文具店停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中乐乐离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表∶ 乐乐离开学校的时间 1 6 10 20 乐乐离家的距离 0 ②填空：乐乐从文具店返回家的速度为_________ ； ③当时，请直接写出乐乐离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)乐乐从学校出发的时候，乐乐的奶奶从离家的文化广场步行回家，步行的速度为，那么在这个过程中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 3．（2026·天津和平·二模）已知小华的学校、书店、博物馆依次在同一条直线上，书店离学校，博物馆离学校．小华从学校出发，和同学一起乘车匀速前往博物馆，到达博物馆，在博物馆参观学习一段时间，之后匀速骑行到书店，在书店停留后，再用匀速骑车回学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间 小华离学校的距离 ②填空：小华在博物馆参观学习的时间为___； ③填空：小华从书店返回学校的速度为____； ④当时，请直接写出小华离学校的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开博物馆前，同学李明从博物馆出发匀速步行返回学校，和小华同时到达学校．在小华从博物馆到学校的过程中，对于同一个的值，小华离学校的距离为，李明离学校的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2026·天津南开·二模）已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍，补给站距离宿舍．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行到达公园；他在公园休息后，他匀速骑行到补给站；小军在补给站用就餐，然后他返回宿舍；在回宿舍的途中，他匀速骑行后减速，以新的速度继续匀速骑行回到宿舍．下图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题 (1)填表： 小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5 小军离宿舍的距离y（单位：） 30 60 (2)填空： ①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为______________，减速后匀速骑行的速度为______________； ②当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中，直接写出小红与小军之间距离的最大值． 5．（2026·天津宁河·二模）已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 7．（2026·天津河西·一模）已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押 天津中考数学23题（解答题） 考点1 一次函数的实际应用（行程问题） 1．（2026·天津红桥·二模）已知学生宿舍、凉亭、体育场依次在同一条直线上，凉亭离宿舍，体育场离宿舍．张强从宿舍出发，先匀速骑行到达体育场，在体育场锻炼了，之后匀速骑行到达凉亭，在凉亭休息了后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间 2 10 40 50 张强离宿舍的距离 2 ②填空：张强从宿舍到体育场的骑行速度为________； (2)当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (3)同宿舍的李明比张强提前离开体育场，匀速步行直接回宿舍，如果李明和张强同时到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据函数图象分析，即可求解； ②根据函数图象，用路程除以时间，即可求解； （2）分三种情况：当时，当时，当时，结合函数图象，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得李明距离宿舍的距离关于时间的函数关系式，再分情况进行求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间 2 张强离宿舍的距离 ②张强从宿舍到体育场的骑行速度为：； （2）解：当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； ∴； （3）解：∵李明比张强提前离开体育场， ∴时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 设李明距离宿舍的距离关于时间的函数关系式为， 将代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 则相遇时，张强离宿舍的距离是： ； 当时，， 解得：， 则相遇时，张强离宿舍的距离是； 综上所述，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是或． 2．（2026·天津河东·二模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速跑步了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速步行返家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 5 17 40 50 小华离家的距离 ____ ____ ____ ____ ②填空：小华从公园返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；；； ② ③y关于x的函数解析式为 (2) 【分析】（1）①求出小华从家到书店、从公园返回家的速度，据此求解即可； ②由①可知，小华从公园返回家的速度为； ③由图可知，当和时，为一次函数，利用待定系数法求出两段一次函数的解析式，进而求出当时，小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）先求出妈妈到公园的函数解析式，再利用图象求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：小华从家到书店的跑步速度为，则离家时距离为， 由图可知，当小华离家时距离为，离家时距离为， 小华从公园返回家的速度为，离家时距离为， 故答案为：；；；； ②由①可知，小华从公园返回家的速度为； ③由图可知，当和时，为一次函数， 当时，设函数表达式为， 将点代入得：， 此时，函数表达式为； 当时，； 当时，设函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得：， 此时，函数表达式为， 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意得：， 令得：， 解得：， 如图： 由图可知， 在上，总有； 在上，、， 令得：， 解得：； 在上，， 令得：， 解得：； 综上所述，当时，x的取值范围为． 考点2 一次函数的实际应用（利润问题） 1．（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 【答案】(1) (2)用桶装纯净水花钱少 (3)元，感想见解析 【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力． （1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式． （2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得． （3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解． 【详解】（1）解：设， 时，；时，． 解之，得 与的函数关系式为． （2）解：该班学生买饮料每年总费用为元， 当时，，得． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元． 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则 ， 当时，， 要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则， 即， 解之，得元． 所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算， 由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 1．（2026·天津河北·二模）已知小明的家，体育馆，超市依次在同一条直线上，体育馆离家，超市离家，小明从家出发，先匀速骑行了到体育馆，在体育馆锻炼了，之后匀速骑行了到超市，在超市停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中表示时间，表示小明离家的距离，图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 小明离开家的距离 ②填空：小明从超市匀速骑行回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的爸爸在小明离开家后从体育馆以的速度匀速步行去超市，在小明的爸爸离开体育馆后到他到达超市前的过程中，两人相遇，求相遇时小明离开家的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②；③小明离家的距离关于时间的函数解析式为； (2)相遇时小明离开家的时间是． 【分析】（1）①②由函数图象即可求解；③分三段进行讨论求解函数关系式即可； （2）先求出小明的爸爸的距离关于时间的函数解析式，与小明对应的两段函数解析式进行联立求解即可． 【详解】（1）解：①小明从家到体育馆的速度为：， 先匀速骑行了到体育馆， 时，； 由题意以及函数图象可得，当时，小明在超市，则； 当时，小明在超市，则； ②由题意以及函数图象可得，小明从超市返回家的速度为：； ③当时，小明匀速骑行，速度为，则； 当时，小明在体育馆停留，距离不变，则； 当时，设距离关于时间的函数解析式为，则代入，得，解得， ， 综上：小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）小明的爸爸在小明离开家后从体育馆以的速度匀速步行去超市， 小明的爸爸到达超市的时间为：， 设小明的爸爸的距离关于时间的函数解析式为，则代入，得，解得， ， 由题意以及函数图象可得，当时，在小明的爸爸离开体育馆后到他到达超市前的过程中，两人相遇， 此时，解得， 相遇时小明离开家的时间是． 2．（2026·天津北辰·二模）已知乐乐的家、文具店、文化广场、学校依次在同一条直线上，文具店离家，学校离家．放学后，乐乐从学校出发，匀速骑行了到家，到家后发现忘了买作业本，于是立刻离开家，匀速步行了到文具店，在文具店停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中乐乐离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表∶ 乐乐离开学校的时间 1 6 10 20 乐乐离家的距离 0 ②填空：乐乐从文具店返回家的速度为_________ ； ③当时，请直接写出乐乐离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)乐乐从学校出发的时候，乐乐的奶奶从离家的文化广场步行回家，步行的速度为，那么在这个过程中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1000，240，600；②120；③当时，；当时，；当时， (2)或 【分析】（1）①观察函数图象，先求出乐乐从学校到家的速度，然后结合表格进行分析，列式计算，即可作答． ②观察函数图象，运用路程除以时间得出速度，即可作答． ③运用待定系数法求出，再结合前面结论进行分析，即可作答． （2）设奶奶与家的距离为，同理求出与的函数关系式为，再求出，再进行分类讨论，联立方程组，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，乐乐从学校到家的速度为：， ∴乐乐离开学校的时间为时，乐乐离家的距离为， 依题意，设在时，与的函数关系式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， 即乐乐离开学校的时间为时，乐乐离家的距离为， 观察函数图象，得出乐乐离开学校的时间为时，乐乐离家的距离为， 乐乐离开学校的时间 1 6 10 20 乐乐离家的距离 1000 0 240 600 ②观察函数图象，得出， ③依题意，当时，设与的函数关系式为， 把，分别代入， 得， ∴， ∴， 由①得， 观察函数图象，得出 综上：当时，；当时，；当时，； （2）解：设奶奶与家的距离为， ∵乐乐从学校出发的时候，乐乐的奶奶从离家的文化广场步行回家，步行的速度为， ∴， ∴， 则设，其中， 依题意，把代入， 得， 则， ∴与的函数关系式为， 设在时，与的函数关系式为， 依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． 依题意当时，， ∴， 解得， 把代入，得； 依题意当时，， ∴， 解得， ∵ ∴此种情况不符合题意，故舍去； 依题意当时，， ∴， 解得， 把代入，得． 3．（2026·天津和平·二模）已知小华的学校、书店、博物馆依次在同一条直线上，书店离学校，博物馆离学校．小华从学校出发，和同学一起乘车匀速前往博物馆，到达博物馆，在博物馆参观学习一段时间，之后匀速骑行到书店，在书店停留后，再用匀速骑车回学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间 小华离学校的距离 ②填空：小华在博物馆参观学习的时间为___； ③填空：小华从书店返回学校的速度为____； ④当时，请直接写出小华离学校的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开博物馆前，同学李明从博物馆出发匀速步行返回学校，和小华同时到达学校．在小华从博物馆到学校的过程中，对于同一个的值，小华离学校的距离为，李明离学校的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；②；③；④ (2) 【分析】（1）①根据图像读取各阶段的速度、位置，直接计算或读取距离值；②根据图像可直接求解；③书店到学校，用时，据此计算速度即可；④按图像的三个区间，用待定系数法分别求直线解析式； （2）先根据李明的行程求出他的距离函数，再分区间与小华的距离函数对比，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：①根据图像可知，小华匀速骑行到博物馆的速度为， 则当，小华离学校的距离为， 当，小华在博物馆参观学习，离学校的距离为， 当，小华在书店，离学校的距离为； ②根据图像可知，小华在博物馆参观学习的时间为：； ③小华从书店到学校的距离为，用时，则速度为． ④当，设， 将，代入，可得 ， 解得， 则函数解析式为； 当，函数解析式为； 当，设函数解析式为， 将，代入，可得 ， 解得， 则函数解析式为， 综上，关于时间的函数解析式为． （2）解：设李明离学校的距离关于时间的函数解析式为， 根据题意，可知该函数图像过和，代入可得 ， 解得， 则， 据（1）可知，关于时间的函数解析式为， 当，可得，解得； 当，可得，解得， 综上，当，的取值范围为． 4．（2026·天津南开·二模）已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍，补给站距离宿舍．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行到达公园；他在公园休息后，他匀速骑行到补给站；小军在补给站用就餐，然后他返回宿舍；在回宿舍的途中，他匀速骑行后减速，以新的速度继续匀速骑行回到宿舍．下图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题 (1)填表： 小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5 小军离宿舍的距离y（单位：） 30 60 (2)填空： ①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为______________，减速后匀速骑行的速度为______________； ②当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中，直接写出小红与小军之间距离的最大值． 【答案】(1)，， (2)①，；② (3) 【分析】（1）根据图像得到的解析式即可得到时的值，根据图像即可得到和时的值； （2）①用距离除以时间即可；②利用待定系数法求解析式； （3）分、、三种情况分析距离即可． 【详解】（1）解：当时，过，则， 时，； 由图可知时，，时，； （2）解：①减速前匀速骑行的速度为， 减速后匀速骑行的速度为； ②由（1）知当时，， 当时，， 当时，设此时解析式为，过， ，解得，则， 综上，； （3）解：设小红返回宿舍中解析式为，又过， ，解得，则 当时，小红与小军之间距离最大值为， 当时，小军行驶的解析式为， 则小红与小军之间距离为， 当时，小红与小军之间距离最大，最大值为， 当时，小军行驶的解析式为， 则小红与小军之间的距离为， 综上，小红与小军之间距离的最大值为． 5．（2026·天津宁河·二模）已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.16，0.8，2.4；②0.12；③； (2)． 【分析】（1）①根据图象信息完善表格即可；②由路程除以时间可得答案；③分情况求解函数解析式即可. （2）求解，结合，分情况讨论即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴填表如下： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②∵， ∴小天从体育馆返回家的速度为； ③当时，小天匀速骑行的速度为； ∴； 当时，； 当时， 设，将点，代入， 得， 解得， ∴， 综上所述，； （2）解： ∵小天妈妈的速度为， ∴设，将代入得， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③当时，； 当时，；当时， (2) 【分析】（1）①根据函数图象得出对应时间点的距离值，或者求得对应一次函数的表达式，代入时间值，得到对应的距离值． ②根据小明从超市返回家的路程和时间，根据速度路程时间，得到答案． ③根据不同时段的运动状态（匀速、静止），利用待定系数法求解一次函数表达式． （2）根据两人的行进路线和运动时间，判断两人相遇时所在的时间段，进而根据两人运动的时间相同建立一元一次方程得到答案． 【详解】（1）解：①由图可知，离开家，距家的距离为， 由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数为一次函数， 设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：， 解得：， ∴函数表达式为：， ∴离开家即为当时，， ∴离开家时，距家的距离为， 由图可知，离开家，距家的距离为； ②小明从超市返回家的路程为：，匀速步行返回家， 小明从超市到家的速度为：； ③由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数分三段组成： 当时，设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴当时，函数表达式为：， 由图可知，当时，， 由①可知，当时，函数表达式为：， ∴小明离家的距离关于时间的函数解析式为： 当时，；当时，；当时，； （2）解：∵小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，小亮的速度为， 此时小明从体育馆到超市，小明的骑行时间为：，骑行距离为：， ∴小亮在内的步行距离为：， 又∵， ∴内两人已经相遇，此时小明在从体育馆到超市的途中， 设小亮步行了两人相遇， 则小明骑行的速度为：， ∴根据题意可列方程为：， 解得， ∴小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是． 7．（2026·天津河西·一模）已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；②③当时，；当时，；当时，； (2)． 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图象即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 时小华离宿舍的距离为； 由图可知小时时，小华离宿舍的距离为； 3小时时，小华离宿舍的距离为； 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 10 12 20 ②小华从图书馆返回宿舍的速度为， ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； （2）解：根据题意可知，小明的速度为， 小明从图书馆回去宿舍需要：（小时）， 小明出发时，（小时）， 小明到达宿舍时，（小时）， 依题意，当时，，当时，， 设的解析式为，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 设，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 当时，， 解得：， 如图所示，为小明的函数图象， 结合图象，当时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押 天津中考数学22题（解答题） 考点1 背靠背型 1．（2026·天津和平·二模）天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 考点2 母子型 1．（2026·天津北辰·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔AB的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点E，D，C依次在同一条水平直线上，，垂足为C．在D处测得桥塔顶部A的仰角（）为，测得桥塔底部B的俯角（）为，又在E处测得桥塔顶部A的仰角（）为． (1)求桥上部分的高度； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 考点3 借助矩形转化 1．（2026·天津红桥·二模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一座古塔的高度（如图所示）． 某学习小组设计了一个方案：点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得古塔顶部的仰角为，在处测得古塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算古塔的高度（结果保留整数）． 参考数据：，． 1．（2026·天津河北·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某建筑物的高度．某学习小组设计了一个方案：如图所示，点在同一条水平直线上，，且．在处测得该建筑顶部处的仰角为，在处测得该建筑顶部处的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算该建筑物的高度（结果取整数）．参考数据：． 2．（2026·天津河东·二模）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 3．（2026·天津南开·二模）如图，某水产养殖户开发一个三角形的养殖区域，，，三点的位置如图所示．已知，，． (1)求和的长(结果取整数)； (2)养殖户计划在的边上选取一点，修建垂钓栈道，测得，求栈道的长(结果取整数)．参考数据：，，，． 4．（2026·天津宁河·二模）综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． (1)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） (2)计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 5．（2025·天津西青·二模）如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，，，，请你根据图中的数据计算的长度．（参考数据：，，结果保留小数点后一位） 6．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 7．（2026·天津河西·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押天津中考数学21题（解答题） 押题预测 ◆考点1切线性质 1.(2026:天津南开·二模)△ABC内接于⊙O,过点C作⊙O的切线CD,连接AD,AD与⊙O相交于 点E.若∠BAC=45°，∠D=90° D 图1 图2 (1)如图1，若∠CAD=15°，求∠OBC和∠OCA的大小； (2)如图2，BO的延长线与AD相交于点F,若CD=2,AB=V30,求⊙O的半径和线段EF的长. 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆考点2垂径定理 1.(2026天津北辰·二模)在⊙0中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AD,OD, EO GF 图① 图② (I)如图①，若∠ABC=22°，求∠A0D和∠BAD的大小： (2)如图②，若∠ABC=30°，过点D作OO的切线DF,过点B作BG⊥DF,垂足为G,交O0于点H,若 ⊙ 的半轻为2，求1D和6H的长 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一考点3构造矩形 1.(2026天津河西·一模)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=90°，OB与⊙O相交于点 D,E为⊙O上一点 E 0 图① 图② (I)如图①，求∠CED的大小； (2)如图②，当点E在AO的延长线上，过点E作⊙O的切线，与AB的延长线交于点G,线段EG上有一点 F,且∠FCG=15°，若⊙O的半径为2V2,求CF的长. 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。考点4特殊角的边角关系 1.(2026天津红桥·二模)已知点C,D在以AB为直径的⊙O上，∠BAD=∠BAC,过点C作⊙O的 切线与BA的延长线相交于点P B 0 C 图① 图② (1)如图①，连接BD,若∠P=40°，求∠ABD的大小； (2)如图②，连接CD与OA相交于点F,若四边形ODAC是平行四边形，BF=3,求线段PC的长. 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通关特训 1.(2026天津河东·二模)已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线， AD=DC,AE=AB,延长AE与圆交于点F A A E E C D D F 图① 图② (1)如图①，求∠F的大小： (2)如图②，过点F的切线与OC的延长线交于点G,若FG=3,求BC的长. 2.(2026天津河北二模)已知，在⊙0中，直径CE⊥弦AB,垂足为点H,连接OA,OB,ED是⊙0的弦. D D 图① 图② (1)如图①，连接AD,若∠BOC=50°，求∠ADE的大小： (2)如图2，直线I切O0于点D,与CE的延长线交于点P,连接BD,若BD∥CE,∠BOC=30°，OA=2, 求∠BDE的大小和线段PD的长. 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026天津和平·二模)已知AE为⊙O的直径，B,C,D为OO上的点，连接AB,BC,CD, DE,∠BAE+∠BCD=150°. B B A O 图① 图② (I)如图①，求∠AED的度数； ②如图②.当B∥DE时，且C=①，过点C作O0的切线，与4的延长线相交于点P,者0=35 求PC的长. 4.(2026天津宁河二模)在⊙0中，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点. B E 图① 图② (I)如图①，D为劣弧AC上一点，若∠BAC=35°，求∠BOC和∠ADC的大小： (2)如图②，过点C作AB的垂线，交AB于点H,交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交CB的延长线于点 F,连接BE,AE,若AC=CE,BF=3,求EF的长度. 618 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025天津西青·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交O0于点 D,且AE⊥CD,垂足为点E D 0 (I)求证：直线CE是OO的切线： (2)若BC=3,CD=3V2,求半径OB与线段AE的长. 6.(2026天津东丽·一模)已知在⊙0中，点C为AB的中点，连接OC交弦AB于点E,点D在⊙0上， 连接OA,OB,BD,CD 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 0 A E C F 图① 图② (1)如图①，连接AC,若∠D=28°，求∠OBA和∠OAC的度数； (2)如图②，过点A作⊙0的切线交OC延长线于点F,若∠D=30°，OA=3,求AB和AF的长. 8/8