精品解析：黑龙江省绥化市北林区绥化市实验中学校2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

实验中学初四数学试卷 总分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个地铁标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 4. 函数自变量x的取值范围是【　　】 A. x≥1且x≠3 B. x≥1 C. x≠3 D. x＞1且x≠3 5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知直线过点两点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 或 7. 下列给出5个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ②六边形的内角和等于720° ③相等的圆心角所对的弧相等 ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形 ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，点A，B，C在反比例函数图象上，，点A横坐标为2，点C的横坐标为4，则k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 9. 如图，矩形中，，，E为的中点，连接，交于点O，M为上一点，连接交于点N，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，平分，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，对折正方形得到折痕，连接，上有一点M，将沿翻折，点A的对应点N恰好落在上，连接分别交，，于点P，O，Q，则下列结论：①；②；③；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为____________． 14. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 15. 计算：_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 17. 如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为________米．（精确到0.1米，参考数据：，，） 18. 如图，，，．则______． 19. 若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为__________． 20. 如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD上的动点，连接AM，将直线AM绕点M逆时针旋转得，使，过点A作于点N，连接BN，则BN的最小值为__________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在坐标轴上，点，对角线，交于点，将沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，点在轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的坐标为____________． 三、解答题 23. 如图，中，， （1）尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 24. 文化是一种精神力量，为了传承中国传统文化，某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节进行． 环节一：评委对参赛选手答卷中的写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙这四项按照每项100分进行阅卷评分，后再按照权重比例100分制计入总分； 环节二：参赛选手在成语听写、诗词对句、经典诵读三项中随机抽取两项进行答题，评委按照每项100分进行评分，后各占计入总分． 1号参赛选手的答卷评分如图表①所示，10位参赛选手答卷中“国学常识”的评分如图表②所示． 写字注音 成语故事 国学常识 成语接龙 评分 85 90 90 80 图表1 （1）图表②中10个“国学常识”成绩，众数是______，中位数是______； （2）如果写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛选手在第一环节中的得分． （3）小明同学在环节二中，随机抽取了两项进行答题，请用树状图或列表法，求小明同学抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率． 25. 为拓宽学生知识面，让学生亲身实践、感悟知识的应用，某校组织七年级名师生到某研学基地开展研学活动，下面是小明和小红的对话． 请根据两人的对话解答下列问题： （1）每辆型客车和型客车每次满载分别能运送多少人？ （2）该校计划租用型客车共辆，一次将师生运送完，且每人都有座位，若型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．请求出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用； （3）研学过程中，型客车与型客车分别从甲、乙两地同时相向出发，匀速而行，型客车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，型客车比型客车晚到达甲地，型客车与型客车两车距各自出发地的路程（单位：）与所用的时间（单位：）的关系如图所示． ①型客车的速度为__________； ②第一次相遇后，型客车与型客车再经过__________相距． 26. 如图，是的外接圆，为直径，点是劣弧的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若半径，，求的长度． 27. 数学活动课上，同学们将两个全等三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学初四数学试卷 总分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项的法则，幂的乘方，完全平方公式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，幂的乘方，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列四个地铁标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据两个视图可确定该几何体分为上下两层，上面一层只有一个小正方体，下面一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体分为上下两层，上面一层只有一个小正方体， 下面一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体， ∴搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有4种， 故选：B． 4. 函数自变量x的取值范围是【　　】 A. x≥1且x≠3 B. x≥1 C. x≠3 D. x＞1且x≠3 【答案】A 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A． 考点：函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件． 5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系：，． 6. 已知直线过点两点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、解一元一次不等式组，首先根据直线过点两点，可以求出直线的解析式为，根据可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的解集． 【详解】解：直线过点两点， ， 解得：， 直线的解析式为， 又， ， 整理得：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：．   故选：C ． 7. 下列给出5个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ②六边形的内角和等于720° ③相等的圆心角所对的弧相等 ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形 ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形内心的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据正方形的判定方法，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误； 根据多边形的内角和公式，六边形的内角和等于720°，所以②正确； 根据圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误； 根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法，顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确； 根据三角形内心的性质，三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以⑤错误． 故选A． 【点睛】本题考查了命题的真假，涉及正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形内心的性质等知识点，正确理解这些判定与性质是解题的关键． 8. 如图，点A，B，C在反比例函数图象上，，点A的横坐标为2，点C的横坐标为4，则k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数系数，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点A作轴于点D，延长过点C作交延长线于点E，根据题意表示出，，，，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴于点D，延长过点C作交延长线于点E ∵点A，C在反比例函数图象上，点A的横坐标为2，点C的横坐标为4， ∴点A的纵坐标为，点C的纵坐标为， ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 故选：A． 9. 如图，矩形中，，，E为的中点，连接，交于点O，M为上一点，连接交于点N，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先勾股定理求出，然后证明出，得到，然后求出，如图所示，延长交延长线于点F，然后连续利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，， ∵E为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 当时， ∴， ∴ 如图所示，延长交延长线于点F ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 11. 如图，在中，平分，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，延长与交于点E，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，延长与交于点E， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 12. 如图，对折正方形得到折痕，连接，上有一点M，将沿翻折，点A的对应点N恰好落在上，连接分别交，，于点P，O，Q，则下列结论：①；②；③；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到四边形，是矩形，得到，然后结合正方形和折叠的性质即可得到，进而判断①；根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，得到，即可判断②；设，则，勾股定理表示出，设，则，，勾股定理得到，代入表示出，即可判断③；当时，求出，，，，然后利用四边形的面积代数求解即可判断④． 【详解】解：∵对折正方形得到折痕， ∴四边形，是矩形 ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 由折叠得， ∴，故①正确； 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故②正确； 设，则 ∵ ∴ 设，则， 如图所示，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 当时， ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积 ，故④正确； 综上所述，其中正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数． 【详解】解：0.0000007=7×10-7， 故答案为：7×10-7． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 14. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【解析】 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 15. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，与相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 17. 如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为________米．（精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】6+29 【解析】 【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝6+20（米），即可得出大楼AB的高度． 【详解】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示： 则GH＝DE＝15米，EG＝DH， ∵梯坎坡度i＝1：， ∴BH：CH＝1：， 设BH＝x米，则CH＝x米， 在Rt△BCH中，BC＝12米， 由勾股定理得：x2+（x）2＝122， 解得：x＝6， ∴BH＝6米，CH＝6米， ∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米）， ∵∠α＝45°， ∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG＝6+20（米）， ∴AB＝AG+BG＝6+20+9＝（6+29）m． 故答案为：6+29． 【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；解题关键是作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG． 18. 如图，，，．则______． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵底面圆的周长是， ∴圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数为n度，母线长是，则， 解得：； 故答案：． 20. 如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD上的动点，连接AM，将直线AM绕点M逆时针旋转得，使，过点A作于点N，连接BN，则BN的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作于点E，交于点F，作射线，证明，，继而推导出为定角，根据三角函数得．过点B作于点，根据垂线段最短，得当点N在点时，取得最小值． 在中，，在中，，，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E，交于点F，作射线，如图 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴为定角， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴在中，， ∴， ∴，即 ∴在中，， ∴， ∵点E为定点，为定角， ∴点N在射线上运动， 过点B作于点，根据垂线段最短，得 当点N在点时，取得最小值． ∴， ∴，即， 在中，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在坐标轴上，点，对角线，交于点，将沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键；先求得，，根据题意得出为等腰直角三角形，则，连接，过点作轴，交于点，过点作，证明，得出，进而得出的中点折痕为直线，待定系数法求得解析式，即可得出的坐标，同理可得另一个点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点，在坐标轴上，点， ∴，， 依题意，在为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是矩形， ∴ ∵为直角三角形，， ∴ ∴为等腰直角三角形，则， 如图，连接，过点作轴，交于点，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴的中点坐标为即， ∵， ∴折痕直线， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： 即 当时， ∴ 同理可得，的中点为 ∴折痕直线解析式为 当时， ∴ 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为或 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，点在轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，得出，，，从而得出，，…，由，，，…得出的坐标为． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴，，， ∴，，…， ，，，… ∴的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标规律探索，解题的关键是根据给出的已知点的特点，得出坐标规律． 三、解答题 23. 如图，中，， （1）尺规作图：请在图1的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 【答案】（1）解：如图所示点即为所求；： （2） 【解析】 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心， 的长为半径画圆，再作的平分线，交于点，则点即为所求； （2）连接，过点作于点 ，由题意可得，，，由（1）知，为的平分线，则，，进而可得，则可得直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，如图所示： ，， ， ， 由（1）知，为的平分线， ， ， ， 直径、弦围成的封闭图形的面积：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图一复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 文化是一种精神力量，为了传承中国传统文化，某校以“寻根国学，传承文明”为主题开展国学知识挑战赛，比赛过程分两个环节进行． 环节一：评委对参赛选手答卷中的写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙这四项按照每项100分进行阅卷评分，后再按照权重比例100分制计入总分； 环节二：参赛选手在成语听写、诗词对句、经典诵读三项中随机抽取两项进行答题，评委按照每项100分进行评分，后各占计入总分． 1号参赛选手的答卷评分如图表①所示，10位参赛选手答卷中“国学常识”的评分如图表②所示． 写字注音 成语故事 国学常识 成语接龙 评分 85 90 90 80 图表1 （1）图表②中10个“国学常识”成绩，众数是______，中位数是______； （2）如果写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛选手在第一环节中的得分． （3）小明同学在环节二中，随机抽取了两项进行答题，请用树状图或列表法，求小明同学抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率． 【答案】（1）90， （2）86.5分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解； （2）根据加权平均数算法求解； （3）画树状图或列表表示出所有等可能的情况，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：10个“国学常识”成绩中90出现的次数最多，因此众数是90， 将10个“国学常识”成绩按从小到大顺序排列，第5位是88，第6位是89，因此中位数是， 故答案为：90，； 【小问2详解】 解：， ， 因此1号参赛选手在第一环节中的得分为86.5分； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的情况，其中抽到“成语听写”和“经典诵读”的情况有2种，， 因此抽到“成语听写”和“经典诵读”的概率为． 【点睛】本题考查众数、中位数、加权平均数、列表或画树状图法求概率等知识点，解题的关键是掌握众数、中位数的定义，以及列表或画树状图的方法． 25. 为拓宽学生的知识面，让学生亲身实践、感悟知识的应用，某校组织七年级名师生到某研学基地开展研学活动，下面是小明和小红的对话． 请根据两人的对话解答下列问题： （1）每辆型客车和型客车每次满载分别能运送多少人？ （2）该校计划租用型客车共辆，一次将师生运送完，且每人都有座位，若型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．请求出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用； （3）研学过程中，型客车与型客车分别从甲、乙两地同时相向出发，匀速而行，型客车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，型客车比型客车晚到达甲地，型客车与型客车两车距各自出发地的路程（单位：）与所用的时间（单位：）的关系如图所示． ①型客车的速度为__________； ②第一次相遇后，型客车与型客车再经过__________相距． 【答案】（1）每辆型客车每次满载能运送人，每辆型客车每次满载能运送人 （2）型客车租用辆，型客车租用辆最省钱，最少租车费用为元 （3）①；②或 【解析】 【分析】（）设每辆型客车每次满载能运送人，每辆型客车每次满载能运送人，根据题意列出方程组即可求解； （）设型客车租用辆，则型客车租用辆，根据题意列出不等式求出的取值范围，再设租金为元，求出与的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质解答即可求解； （）①由题意可得坐标为，进而即可求解；②求出型客车的速度，进而求出两车出发小时第一次相遇，再分型客车到达乙地前与型客车相距和当型客车到达乙地后与型客车相距两种情况，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出问题中的等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每辆型客车每次满载能运送人，每辆型客车每次满载能运送人， 由题意得，， 解得， 答：每辆型客车每次满载能运送人，每辆型客车每次满载能运送人； 【小问2详解】 解：设型客车租用辆，则型客车租用辆， 由题意得，， 解得， 设租金为元，则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，， 即型客车租用辆，型客车租用辆最省钱，最少租车费用为元； 【小问3详解】 解：①由题意可得点坐标为， ∴型客车的速度为， 故答案为：； ②∵型客车到达乙地后停留，然后按原路原速返回， ∴型客车全程的所用时间为， ∴， ∵型客车比型客车晚到达甲地， ∴， ∴型客车的速度为， 当时，解得， ∴两车出发小时第一次相遇， 设第一次相遇后，型客车与型客车再经过相距， ①型客车到达乙地前与型客车相距， 由题意得， 解得； 当型客车到达乙地后与型客车相距， 由题意得，， 解得； 综上，第一次相遇后，型客车与型客车再经过或相距， 故答案为：或． 26. 如图，是的外接圆，为直径，点是劣弧的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若的半径，，求的长度． 【答案】（1）见解析 证明：连接， ， ， ， 直径， ， ， ， ， ， 过半径的外端点，且， 为的切线； （2） 证明：为劣弧的中点， ， ∵，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（）连接，可得，进而由得，即可求证； （）由为劣弧的中点可得，即得，进而根据相似三角形的性质即可求证； （）过点作于点，可证，即得，得到，进而由三角函数得，即由勾股定理得，又根据角平分线的性质可得，利用的面积可求得，即得，，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ∴， ，，， ， ∴， ∴， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $