专题05探索三角形全等的条件及应用易错必刷题型专项训练(14大题型共计42道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05探索三角形全等条件及应用易错必刷题型专练 本专题汇总探索三角形全等条件及应用章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.用SSS间接证明三角形全等 题型02.全等的性质和SSS综合 题型03.用SAS间接证明三角形全等 题型04.全等的性质和SAS综合 题型05.灵活选用判定方法证全等 题型06.结合尺规作图的全等问题 题型07.网格全等求角度和 题型08.添加条件使三角形全等 题型09.倍长中线模型 题型10.旋转模型 题型11.垂线模型 题型12.其他模型 题型13.证一条线段等于两条线段和差 题型14.全等三角形综合问题 易错必刷题型01.用SSS间接证明三角形全等 典题特征：题目不会直接给三边相等，需要通过中点、线段加减、等量代换，先推出三边相等，再用SSS证全等。 易错点：不会把题目给的线段条件转化成三边相等；漏证其中一条边相等；把非对应边当成对应边。 1．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    3．完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 易错必刷题型02.全等的性质和SSS综合 典题特征：先要用SSS证两个三角形全等，再用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，求角度、边长，或者证明其他线段/角相等。 易错点：证完全等后找错对应边/角；先想用性质再证全等（逻辑顺序颠倒）；计算角度/边长时算错。 4．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 5．如图，四个同学用不同的方式得到一个与相等的角．其中正确的（   ） A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 6．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 易错必刷题型03.用SAS间接证明三角形全等 典题特征：不会直接给两边及夹角相等，需要通过角平分线、垂直、对顶角等条件，先推出夹角相等，或者通过线段转化推出两边相等，再用SAS证全等。 易错点：把“两边及其中一边的对角（SSA）”错当成SAS；找错两边的夹角；漏证夹角相等或某条边相等。 7．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    8．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 9．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型04.全等的性质和SAS综合 典题特征：先用SAS证全等，再用全等的性质求边长、角度，或者证明线段平行、垂直等结论。 易错点：证全等时角的对应关系搞反；用性质时找错对应边/角；逻辑顺序颠倒（先性质后判定）。 10．如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 11．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则______． 12．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 易错必刷题型05.灵活选用判定方法证全等 典题特征：题目给多个条件，需要自己从SSS/SAS/ASA/AAS/HL里选合适的判定定理，常带公共边、公共角、对顶角这类隐含条件。 易错点：选错判定定理；忽略隐含的等角/等边；用SSA错误判定全等。 13．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 14．根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 15．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 易错必刷题型06.结合尺规作图的全等问题 典题特征：给尺规作三角形的步骤，判断作图依据；或者根据作图痕迹，证明两个三角形全等。 易错点：搞混作图对应的判定定理（比如作一个角等于已知角对应SSS）；忽略作图里“等弧对等边”的条件。 16．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 17．如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 易错必刷题型07.网格全等求角度和 典题特征：在正方形网格里，给几个由格点组成的角，求这些角的和，需要构造全等三角形来转化角度。 易错点：不会构造全等三角形；角度转化错误；计算角度和时算错。 19．如图，在的正方形网格中，求______度． 20．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 21．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 易错必刷题型08.添加条件使三角形全等 典题特征：给两个三角形的部分相等条件，让补充一个条件使两个三角形全等，常需要分情况讨论。 易错点：补充的条件不符合判定定理；漏写符合条件的情况；补充的条件没法证明全等。 22．如图，点、在上，，添加__________条件，能够使得（只能用题目已有的字母表示）． 23．如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 易错必刷题型09.倍长中线模型 典题特征：题目里出现三角形的中线，要证明线段不等关系、线段相等或角相等，需要延长中线构造全等。 易错点：不知道倍长中线的方法；倍长后找错全等三角形；漏写辅助线的作法。 25．在中，，中线，则边的长的取值范围是___________． 26．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 易错必刷题型10.旋转模型 典题特征：图形里有等腰三角形、等边三角形、正方形，需要旋转三角形，让相等的边重合，构造全等。 易错点：不会判断旋转中心和旋转角度；旋转后找错对应边/角；忽略旋转后的角度关系。 28．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 29．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 30．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 易错必刷题型11.垂线模型 典题特征：题目里有角平分线、高，或者要证明线段和差，需要过点作垂线构造直角全等三角形。 易错点：不知道作垂线的位置；构造的直角三角形没法证全等；忽略垂直的90°条件。 31．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 32．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 33．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 易错必刷题型12.其他模型 典题特征：不属于倍长中线、旋转、垂线的常见模型，需要作平行线、截长补短等辅助线构造全等。 易错点：找不到合适的辅助线作法；辅助线破坏原有图形条件；证全等时条件不足。 34．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 35．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 36．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 易错必刷题型13.证一条线段等于两条线段和差 典题特征：要求证明一条长线段等于两条短线段的和（或差），需要用截长补短法构造全等。 易错点：截长/补短的方向错误；构造后没法证明全等；漏证线段的和差关系。 37．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 38．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 39．（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    易错必刷题型14.全等三角形综合问题 典题特征：结合多个知识点（比如角平分线、垂直、平行线、动点），需要多次证全等，或者结合辅助线解决复杂几何题。 易错点：逻辑链条断裂；多次证全等时对应关系混乱；忽略动点的多解情况。 40．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有_____．（请填写序号） 41．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 42．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05探索三角形全等条件及应用易错必刷题型专练 本专题汇总探索三角形全等条件及应用章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.用SSS间接证明三角形全等 题型02.全等的性质和SSS综合 题型03.用SAS间接证明三角形全等 题型04.全等的性质和SAS综合 题型05.灵活选用判定方法证全等 题型06.结合尺规作图的全等问题 题型07.网格全等求角度和 题型08.添加条件使三角形全等 题型09.倍长中线模型 题型10.旋转模型 题型11.垂线模型 题型12.其他模型 题型13.证一条线段等于两条线段和差 题型14.全等三角形综合问题 易错必刷题型01.用SSS间接证明三角形全等 典题特征：题目不会直接给三边相等，需要通过中点、线段加减、等量代换，先推出三边相等，再用SSS证全等。 易错点：不会把题目给的线段条件转化成三边相等；漏证其中一条边相等；把非对应边当成对应边。 1．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 2．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 3．完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据中点的定义得出，，则，即可根据求证； （2）由（1）可得，则，根据中点的定义推出，即可根据证明． 【详解】（1）证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ． 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 易错必刷题型02.全等的性质和SSS综合 典题特征：先要用SSS证两个三角形全等，再用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，求角度、边长，或者证明其他线段/角相等。 易错点：证完全等后找错对应边/角；先想用性质再证全等（逻辑顺序颠倒）；计算角度/边长时算错。 4．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是______． 【答案】SSS 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 根据题意可知和三边对应相等，可证明，可得对应角相等，从而可得射线是的平分线，即可得这种作法的依据． 【详解】解：根据题意，， ， ∴射线即是的平分线， ∴这种作法的依据是“SSS”． 故答案为：SSS． 5．如图，四个同学用不同的方式得到一个与相等的角．其中正确的（   ） A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等以及对顶角相等，正确理解题意是解题的关键． 分别利用尺规作图，作一个角等于已知角，同角的余角相等以及对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：奇奇：连接， 由作法可知，，， ∴， ∴，故正确； 思思： 同奇奇作法可证，故正确； 妙妙：根据同角的余角相等可知，故正确； 想想：根据对顶角相等可知，故正确， 故选：D． 6．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件：①，，；②，，；③，，．请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 【答案】见详解 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ， ， ， 又， ， ； 若选②，证明如下： ， ， ， ， ， 又， ， ； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 易错必刷题型03.用SAS间接证明三角形全等 典题特征：不会直接给两边及夹角相等，需要通过角平分线、垂直、对顶角等条件，先推出夹角相等，或者通过线段转化推出两边相等，再用SAS证全等。 易错点：把“两边及其中一边的对角（SSA）”错当成SAS；找错两边的夹角；漏证夹角相等或某条边相等。 7．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 8．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 9．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 易错必刷题型04.全等的性质和SAS综合 典题特征：先用SAS证全等，再用全等的性质求边长、角度，或者证明线段平行、垂直等结论。 易错点：证全等时角的对应关系搞反；用性质时找错对应边/角；逻辑顺序颠倒（先性质后判定）。 10．如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 即测量的长即可得知，间的距离． 11．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则______． 【答案】 【分析】在上取点E，使，连接，并延长交于点F，证明，可得，，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：在上取点E，使，连接，并延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 【答案】福塔底座的直径为 【分析】选择方案：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：选择方案①： ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为； 选择方案②． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为． 易错必刷题型05.灵活选用判定方法证全等 典题特征：题目给多个条件，需要自己从SSS/SAS/ASA/AAS/HL里选合适的判定定理，常带公共边、公共角、对顶角这类隐含条件。 易错点：选错判定定理；忽略隐含的等角/等边；用SSA错误判定全等。 13．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 14．根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 15．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 易错必刷题型06.结合尺规作图的全等问题 典题特征：给尺规作三角形的步骤，判断作图依据；或者根据作图痕迹，证明两个三角形全等。 易错点：搞混作图对应的判定定理（比如作一个角等于已知角对应SSS）；忽略作图里“等弧对等边”的条件。 16．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 18．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可； （2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． 如图所示，直线就是所要求作的直线， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， 当点F在上方时， ， ， ． ， ； 当点F在下方时，． 易错必刷题型07.网格全等求角度和 典题特征：在正方形网格里，给几个由格点组成的角，求这些角的和，需要构造全等三角形来转化角度。 易错点：不会构造全等三角形；角度转化错误；计算角度和时算错。 19．如图，在的正方形网格中，求______度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 20．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 21．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 易错必刷题型08.添加条件使三角形全等 典题特征：给两个三角形的部分相等条件，让补充一个条件使两个三角形全等，常需要分情况讨论。 易错点：补充的条件不符合判定定理；漏写符合条件的情况；补充的条件没法证明全等。 22．如图，点、在上，，添加__________条件，能够使得（只能用题目已有的字母表示）． 【答案】（或或） 【分析】由利用等式的性质可得，已知，根据全等三角形的判定定理，若利用需添加夹角的另一边相等，若利用需添加另一组角相等，若利用需添加夹边的另一组角相等． 【详解】 即 若添加条件 在和中 ． 若添加条件 在和中 ． 若添加条件 在和中 ． 23．如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：∵，∴，即， A：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意； B：当时，可得，且，，满足，可以判定，故不符合题意； C：当，且，，满足，无法判定，故符合题意； D：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意． 24．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 易错必刷题型09.倍长中线模型 典题特征：题目里出现三角形的中线，要证明线段不等关系、线段相等或角相等，需要延长中线构造全等。 易错点：不知道倍长中线的方法；倍长后找错全等三角形；漏写辅助线的作法。 25．在中，，中线，则边的长的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用倍长中线法结合三角形三条边的数量关系即可解题． 【详解】 如图所示，延长AD至点E，使得AD=DE，则AE=10， ∵AD为中线 ∴BD=CD ∵， ∴AC=BE=6． 在三角形ABE中， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形全等的性质及三角形三条边之间的等量关系在求线段长度取值范围上的应用，熟练的运用倍长中线法及三角形全等证明性质的运用是解题关键． 26．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 27．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 易错必刷题型10.旋转模型 典题特征：图形里有等腰三角形、等边三角形、正方形，需要旋转三角形，让相等的边重合，构造全等。 易错点：不会判断旋转中心和旋转角度；旋转后找错对应边/角；忽略旋转后的角度关系。 28．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 29．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 30．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型11.垂线模型 典题特征：题目里有角平分线、高，或者要证明线段和差，需要过点作垂线构造直角全等三角形。 易错点：不知道作垂线的位置；构造的直角三角形没法证全等；忽略垂直的90°条件。 31．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 32．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 33．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 易错必刷题型12.其他模型 典题特征：不属于倍长中线、旋转、垂线的常见模型，需要作平行线、截长补短等辅助线构造全等。 易错点：找不到合适的辅助线作法；辅助线破坏原有图形条件；证全等时条件不足。 34．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 35．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 36．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 易错必刷题型13.证一条线段等于两条线段和差 典题特征：要求证明一条长线段等于两条短线段的和（或差），需要用截长补短法构造全等。 易错点：截长/补短的方向错误；构造后没法证明全等；漏证线段的和差关系。 37．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 38．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 39．（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里 【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】解：（1）如图1，， 理由如下：在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即． 理由：延长到点．使．连接，    在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点，   ，， ， ，， 符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）． 此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 易错必刷题型14.全等三角形综合问题 典题特征：结合多个知识点（比如角平分线、垂直、平行线、动点），需要多次证全等，或者结合辅助线解决复杂几何题。 易错点：逻辑链条断裂；多次证全等时对应关系混乱；忽略动点的多解情况。 40．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有_____．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①③④，根据角平分线的性质定理可判定②；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故②错误； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 41．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 42．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $