专题03概率初步易错必刷题型专项训练(16大题型共计49道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03概率初步易错必刷题型专项训练 本专题汇总概率初步全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.事件的分类 题型02.判断事件发生可能性大小 题型03.求某事件的频率 题型04.概率的意义理解 题型05.频率与概率关系辨析 题型06.由频率估计概率 题型07.频率估计概率的综合应用 题型08.列举随机试验所有可能结果 题型09.判断试验结果是否等可能 题型10.列举法求概率 题型11.按概率公式计算概率 题型12.根据概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏的公平性 题型15.几何概率 题型16.转盘抽奖概率应用 易错必刷题型01.事件的分类 典题特征：给出生活实例，让区分必然事件、不可能事件、随机事件。 易错点：把大概率随机事件当成必然事件，把小概率随机事件当成不可能事件；凭感觉乱分类，不按定义判断。 1．在下列事件中，不可能事件是（    ） A．13名同学中一定有两人的出生月份相同 B．掷两枚相同正方体骰子，点数之和为14 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中9环 【答案】B 【分析】本题考查不可能事件的判断，先明确不可能事件的定义：一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，再对各选项逐一判断即可 【详解】解：∵一年共12个月份，13名同学中一定有两人出生月份相同， ∴A是必然事件，不符合要求； ∵正方体骰子的最大点数为6，两枚骰子的最大点数和为， ∴点数和为14一定不会发生， ∴B是不可能事件，符合要求； ∵任意一个圆一定是轴对称图形， ∴C是必然事件，不符合要求； ∵射击运动员射击一次，命中9环可能发生也可能不发生， ∴D是随机事件，不符合要求 2．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【详解】解：①水中捞月指从水中捞取月亮，月亮不在水中，只是倒影，因此不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 3．下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误； ∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误； ∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误； ∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确． 易错必刷题型02.判断事件发生可能性大小 典题特征：袋子装不同数量球、转盘不同区域，比较谁摸到/转到的可能性大。 易错点：不看数量、面积比例，凭主观直觉判断；误以为可能性大就一定会发生。 4．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 【答案】C 【分析】本题根据可能性大小的判断方法解题，哪种颜色的球数量越多，摸到该颜色球的可能性越大，先计算出红球的数量，再比较四种颜色球的数量大小即可得到结论. 【详解】∵总球数为100个，绿球5个，黄球12个，黑球3个， ∴红球数量为 个， ∵ ，即红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大. 5．在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 【答案】 黑 5 【分析】本题考查的是可能性的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 先求出摸出各种颜色的袜子的可能性，再比较出其大小；根据4种颜色的袜子，故至少要摸出5只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子，即可作答． 【详解】解：∵黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只， ∴从中任意摸出1只袜子，摸出黑色袜子的可能性， 摸出白色袜子的可能性， 摸出黄色袜子的可能性， 摸出红色袜子的可能性， ∵， ∴摸出黑色袜子的可能性比较大； 依题意，黑色袜子，白色袜子，黄色袜子和红色袜子，即有4种颜色的袜子， ∴至少摸出只袜子后，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 故答案为∶黑，5． 6．把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 易错必刷题型03.求某事件的频率 典题特征：给出试验总次数、某事件发生次数，计算频率。 易错点：分不清分子分母，把总次数当分子；计算小数、分数约分出错；把频率和概率混为一谈。 7．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 8．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 【答案】D 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，即可作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率约为，不合题意； C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意． 9．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色（若指针指向分界线，默认指向右边扇形），不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 533 668 转到黄色区域的频率 0.360 0.325 0.333 0.334 (1)计算：___________，___________；（结果精确到0.001） (2)估计随机转动转盘一次，转盘停止后，“指针指向黄色区域”的概率．（结果精确到0.01） 【答案】(1)0.310，0.334 (2)0.33 【分析】本题考查了频数，频率之间的关系，用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键． （1）利用频率等于频数除以总数即可求解． （2）利用频率来估计概率即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.310，0.334； （2）解：由表中数据可得，转盘停止后，“指针指向黄色区域”的概率为0.33． 易错必刷题型04.概率的意义理解 典题特征：判断关于概率说法的对错，解释概率代表的实际意思。 易错点：认为概率大就下次一定发生，概率小就绝对不会发生；不懂概率是长期规律，不是单次结果。 10．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． 11．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球：_______(只写一种即可)． 【答案】放入4个黄球，1个白球（答案不唯一） 【分析】根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可． 【详解】解：根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可，例如：在袋中放入4个黄球，1个白球， 故答案为：放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）． 【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的意义． 12．某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据表格确定，满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， ∴用等式写出，所满足的数量关系为， 故答案为：； （2）解：∵从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为， ∴， 解得， 所以， 即，． 易错必刷题型05.频率与概率关系辨析 典题特征：选择题辨析频率和概率的区别、联系、变化规律。 易错点：以为做几次试验，频率就等于概率；不懂只有大量重复试验，频率才会靠近概率。 13．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 14．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 15．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 易错必刷题型06.由频率估计概率 典题特征：给多组试验频率，估算事件发生的概率。 易错点：只拿一次试验频率当概率；不会看频率稳定在哪个数值附近，乱估数。 16．“泰山国际登山节”的赛事共有两项，“专业竞技组”和“全民健身组”．小军参加了志愿者服务工作，为估算“全民健身组”的人数，对部分参赛选手做了调查：请估算本次赛事参加“全民健身组”人数的概率为_____．（精确到） 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 852 频率 0.810 0.855 0.852 0.852 【答案】 【分析】根据用频率估计概率的规则，当试验次数逐渐增大时，频率会逐渐稳定在概率附近，选取大样本下的稳定频率，再按要求精确到即可得到结果． 【详解】解：根据用频率估计概率的性质，随着调查人数增大，频率逐渐稳定在概率附近，观察表格可知，最大调查人数对应的频率为，将精确到得． 17．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 18．从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 【答案】(1)；随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； (2)． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据频率和频数的关系求得的值，利用频率估计概率即可得出结论； （）利用频率估计概率即可得出答案． 【详解】（1）解：， 由表中数据可以得出的结论是：随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； 故答案为：，随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； （2）解：从表中得出，从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是． 易错必刷题型07.频率估计概率的综合应用 典题特征：用抽样、摸球试验频率，估算总体数量、未知个数。 易错点：样本和总体对应不上；列比例算式时分子分母写反。 19．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 20．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有___________枚白棋子． 【答案】 【分析】根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可． 【详解】取到黑棋子的概率为：， 盒中约共有棋子：（枚）， 其中约有白棋子：（枚）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握用频率估计概率，用概率估计事件． 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 易错必刷题型08.列举随机试验所有可能结果 典题特征：掷两次硬币、掷两次骰子、先后摸球，要求写出全部等可能结果。 易错点：列举时漏情况、重复写；分不清放回和不放回的结果区别。 22．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 23．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 24．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 易错必刷题型09.判断试验结果是否等可能 典题特征：判断掷图钉、摸不同数量球、抽奖等结果是不是等可能。 易错点：只要有两种结果，就默认可能性一样；忽略物品数量、形状差异带来的不等可能。 25．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 26．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 27．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 易错必刷题型10.列举法求概率 典题特征：用列表、树状图，求摸球、抽奖、掷骰子某事件的概率。 易错点：列表画树状图漏结果；总情况数和符合条件情况数数错；放回不放回规则搞混。 28．在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 29．开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为______． 【答案】 【分析】该题考查了列举法求概率，先列举出所有可能情况，再由概率公式求解即可． 【详解】解：从四种美食中任选两种的所有可能情况有：（开封灌汤包，桶子鸡）、（开封灌汤包，花生糕）、（开封灌汤包，汴京烤鸭）、（桶子鸡，花生糕）、（桶子鸡，汴京烤鸭）、（花生糕，汴京烤鸭），共6种， 其中选到开封灌汤包和汴京烤鸭的情况只有1种，所以概率为． 故答案为：． 30．一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键； （1）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． （2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由于的位置已经确定，、、随机而坐的情况共有6种（如图所示）： 6种情况出现的可能性相同．其中与不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：； （2）与、均相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：． 易错必刷题型11.按概率公式计算概率 典题特征：已知总个数、符合条件个数，直接套公式算概率。 易错点：不是等可能事件还硬套概率公式；把符合条件数和总数写反。 31．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．现在再将若干个黄球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸一个球是黄球的概率是，后来放入袋中的黄球有________个 【答案】 【分析】设后来放入袋中x个黄球，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设后来放入袋中x个黄球，根据题意得 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：后来放入袋中的黄球有6个. 32．如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小正方形的边长为，则正方形地板的面积为，黑色三角形区域的面积为，即可得米粒最终停留在黑色三角形区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， 正方形地板的面积为， 黑色三角形区域的面积为， ∴米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是． 33．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项不符合题意． 34．如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转），小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字3是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字不超过6的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字不超过6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机 (2) (3)小颖的看法对，见解析 【分析】本题考查了事件的分类与概率的计算，解题的关键是明确随机事件、必然事件、不可能事件的定义，掌握古典概型与几何概型的概率计算公式． （1） 根据随机事件的定义判断即可； （2） 找出图1中数字不超过6的情况数，结合总情况数，利用古典概型公式计算概率； （3） 分别计算小亮转出红色的概率，再与（2）中结果比较，判断看法是否正确． 【详解】（1）解：图1中转动转盘，指针可能指向数字3，也可能指向其他数字，故转到数字3是随机事件． 故答案为：随机． （2）解： 图1中共有9种等可能的结果，其中数字不超过6的有1，2，3，4，5，6，共6种结果， 小明转出的数字不超过6的概率为 （3）解：小颖的看法正确，理由如下： ∵ 图2中绿色部分扇形圆心角为， 红色部分扇形圆心角为， 小亮转出的颜色是红色的概率为 小明转出数字不超过6的概率也为， 两人的概率相同，小颖的看法是对的． 答：小颖的看法是对的，因为小明转出数字不超过6的概率与小亮转出红色的概率均为，二者相等． 易错必刷题型12.根据概率作判断 典题特征：给出具体概率数值或计算出概率，依据概率大小判断事件发生趋势、方案优劣、说法是否合理。 易错点：用单次发生结果推翻概率规律；不会根据概率接近0或接近1做合理判断；不按数据凭主观感觉下结论。 35．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 36．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是_____________． 【答案】红球或黄球/黄球或红球 【分析】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案． 【详解】∵， ∴原来白颜色的球被抽到的可能性是 ； ∵＞ ， ∴添加的球是红球或黄球． 故答案为：红球或黄球． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键． 37．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 易错必刷题型13.已知概率求数量 典题特征：已知摸到某颜色球的概率和总数量，求该颜色球个数。 易错点：列方程比例关系写错；逆向计算时搞反乘除关系。 38．某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共100张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后再放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下折线统计图．估计箱子中绿色卡片的数量是________张． 【答案】30 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据题意可得摸到绿色卡片的概率为，再由概率公式可得答案． 【详解】解：由题意得，随着试验次数的增加，摸到绿色卡片的频率逐步稳定在附近， ∴摸到绿色卡片的概率为， ∴估计箱子中绿色卡片的数量是张． 39．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，先计算已知数据中“针与直线相交”的频率，观察频率的稳定值，再用该稳定值乘以投掷次数，估算频数． 【详解】解：计算各组“针与直线相交”的频率： 频率稳定在0.314附近， 当投掷次数为时，频数， 最接近选项中的． 故选B． 40．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． (1)“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 【答案】(1)随机 (2)白球15个，黑球45个 (3)6 【分析】（1）根据盒子里装有颜色不同的黑、白两种球可得答案； （2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量； （3）设需要从盒子里取走x个白球，根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵盒子里装有颜色不同的黑、白两种球， ∴“王颖随机摸出一个球，她摸出的是黑球”是随机事件； （2）解：∵摸到白球的频率为0.25，黑、白两种球共60个， ∴盒子里白球为：个， 盒子里黑球为：个； 答：盒子里白球有15个，黑球有45个． （3）解：设需要从盒子里取走x个白球， 根据题意得：， 解得：， 答：需要从盒子里取走6个白球． 易错必刷题型14.游戏的公平性 典题特征：甲乙两人做摸球、转盘游戏，判断规则是否公平。 易错点：只算一方概率就下结论；不会改写规则让游戏变公平；双方概率算错看不出差距。 41．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率，掌握用概率公式计算概率是解题的关键． 根据概率公式计算转动一次甲和乙的平均得分，比较平均得分是否相等，若相等则游戏规则公平，否则不公平． 【详解】解：由题意可知，转盘被分为4个面积相等的扇形，共有4种等可能的结果， 其中指针停在红色区域的结果有2种，停在黄色或蓝色区域的结果共2种， 根据概率公式得，，， 转动一次，甲的平均得分为分， 转动一次，乙的平均得分为分， ， 甲乙平均得分不相等，该游戏规则不公平． 42．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 43．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到仅2的倍数，小亮去参加活动；若转到仅3的倍数，小芳去参加活动；若转到其他号码，则重新转动转盘．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】根据概率的计算公式进行解答即可． 【详解】解：不公平，理由如下： 由题意可知，共有9种等可能结果，其中转到仅2的倍数（2、4、8）的结果有3种，转到仅3的倍数（3、9）的结果有2种， （转到仅2的倍数），（转到仅3的倍数）． ， 这个游戏不公平． 易错必刷题型15.几何概率 典题特征：圆盘、长方形区域、阴影面积，求指针落在阴影部分概率。 易错点：不会用面积/长度比算概率；算错阴影面积和总面积；把份数直接当概率 44．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 一个阴影小三角形的面积为：， 则阴影部分面积为：， 正方形网格的面积为：， 所以飞镖击中阴影部分的概率为：． 45．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．如图，若铜钱直径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入小孔中的概率是_________ ． 【答案】 【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果． 【详解】解：∵直径为的铜钱的面积， 边长为的正方形小孔的面积， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率． 46．如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)她的看法对，理由见解析 【分析】（1）共有9种结果，“转出的数字大于”的结果有6种，利用概率公式计算即可； （2）计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与（1）算出的概率比较即可． 【详解】（1）解：图1被平均分成9等份，分别标有9个数字．即共有9种等可能的情况， 其中转出的数字大于3的情况有6种， 则小明转出的数字大于3的概率是； （2）解：她的看法对，理由如下： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 所以转出的颜色是红色的概率是， 所以两者概率相同． 易错必刷题型16.转盘抽奖概率应用 典题特征：转盘分不同扇形区域，求中奖、中一等奖的概率。 易错点：不看圆心角和面积，只看分了几份；边界归属分不清，随意估算概率。 47．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 48．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 49．如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率初步易错必刷题型专项训练 本专题汇总概率初步全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.事件的分类 题型02.判断事件发生可能性大小 题型03.求某事件的频率 题型04.概率的意义理解 题型05.频率与概率关系辨析 题型06.由频率估计概率 题型07.频率估计概率的综合应用 题型08.列举随机试验所有可能结果 题型09.判断试验结果是否等可能 题型10.列举法求概率 题型11.按概率公式计算概率 题型12.根据概率作判断 题型13.已知概率求数量 题型14.游戏的公平性 题型15.几何概率 题型16.转盘抽奖概率应用 易错必刷题型01.事件的分类 典题特征：给出生活实例，让区分必然事件、不可能事件、随机事件。 易错点：把大概率随机事件当成必然事件，把小概率随机事件当成不可能事件；凭感觉乱分类，不按定义判断。 1．在下列事件中，不可能事件是（    ） A．13名同学中一定有两人的出生月份相同 B．掷两枚相同正方体骰子，点数之和为14 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中9环 2．“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 3．下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 易错必刷题型02.判断事件发生可能性大小 典题特征：袋子装不同数量球、转盘不同区域，比较谁摸到/转到的可能性大。 易错点：不看数量、面积比例，凭主观直觉判断；误以为可能性大就一定会发生。 4．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 5．在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 6．把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 易错必刷题型03.求某事件的频率 典题特征：给出试验总次数、某事件发生次数，计算频率。 易错点：分不清分子分母，把总次数当分子；计算小数、分数约分出错；把频率和概率混为一谈。 7．年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 8．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 9．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色（若指针指向分界线，默认指向右边扇形），不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 533 668 转到黄色区域的频率 0.360 0.325 0.333 0.334 (1)计算：___________，___________；（结果精确到0.001） (2)估计随机转动转盘一次，转盘停止后，“指针指向黄色区域”的概率．（结果精确到0.01） 易错必刷题型04.概率的意义理解 典题特征：判断关于概率说法的对错，解释概率代表的实际意思。 易错点：认为概率大就下次一定发生，概率小就绝对不会发生；不懂概率是长期规律，不是单次结果。 10．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 11．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球：_______(只写一种即可)． 12．某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 易错必刷题型05.频率与概率关系辨析 典题特征：选择题辨析频率和概率的区别、联系、变化规律。 易错点：以为做几次试验，频率就等于概率；不懂只有大量重复试验，频率才会靠近概率。 13．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 14．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 15．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 易错必刷题型06.由频率估计概率 典题特征：给多组试验频率，估算事件发生的概率。 易错点：只拿一次试验频率当概率；不会看频率稳定在哪个数值附近，乱估数。 16．“泰山国际登山节”的赛事共有两项，“专业竞技组”和“全民健身组”．小军参加了志愿者服务工作，为估算“全民健身组”的人数，对部分参赛选手做了调查：请估算本次赛事参加“全民健身组”人数的概率为_____．（精确到） 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 852 频率 0.810 0.855 0.852 0.852 17．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 18．从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 易错必刷题型07.频率估计概率的综合应用 典题特征：用抽样、摸球试验频率，估算总体数量、未知个数。 易错点：样本和总体对应不上；列比例算式时分子分母写反。 19．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 20．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有___________枚白棋子． 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 易错必刷题型08.列举随机试验所有可能结果 典题特征：掷两次硬币、掷两次骰子、先后摸球，要求写出全部等可能结果。 易错点：列举时漏情况、重复写；分不清放回和不放回的结果区别。 22．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 23．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 24．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 易错必刷题型09.判断试验结果是否等可能 典题特征：判断掷图钉、摸不同数量球、抽奖等结果是不是等可能。 易错点：只要有两种结果，就默认可能性一样；忽略物品数量、形状差异带来的不等可能。 25．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 26．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 27．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 易错必刷题型10.列举法求概率 典题特征：用列表、树状图，求摸球、抽奖、掷骰子某事件的概率。 易错点：列表画树状图漏结果；总情况数和符合条件情况数数错；放回不放回规则搞混。 28．在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 29．开封是一座历史悠久的古城，以其深厚的文化底蕴和令人垂涎的美食吸引着无数游客前来探访．为了进一步提升游客体验，某旅行社推出了免费品尝美食活动，每位游客可以从如图所示的四种美食中任选两种进行品尝，那么游客小华选到开封灌汤包和汴京烤鸭的概率为______． 30．一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 易错必刷题型11.按概率公式计算概率 典题特征：已知总个数、符合条件个数，直接套公式算概率。 易错点：不是等可能事件还硬套概率公式；把符合条件数和总数写反。 31．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．现在再将若干个黄球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸一个球是黄球的概率是，后来放入袋中的黄球有________个 32．如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 33．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 34．如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转），小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字3是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字不超过6的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字不超过6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 易错必刷题型12.根据概率作判断 典题特征：给出具体概率数值或计算出概率，依据概率大小判断事件发生趋势、方案优劣、说法是否合理。 易错点：用单次发生结果推翻概率规律；不会根据概率接近0或接近1做合理判断；不按数据凭主观感觉下结论。 35．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 36．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是_____________． 37．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错必刷题型13.已知概率求数量 典题特征：已知摸到某颜色球的概率和总数量，求该颜色球个数。 易错点：列方程比例关系写错；逆向计算时搞反乘除关系。 38．某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共100张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后再放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下折线统计图．估计箱子中绿色卡片的数量是________张． 39．1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 40．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右． (1)“王颖摸出一个球，她摸出的是黑球”是______________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； (2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)如果要使摸到黑球的概率为，需要从盒子里取走多少个白球？ 易错必刷题型14.游戏的公平性 典题特征：甲乙两人做摸球、转盘游戏，判断规则是否公平。 易错点：只算一方概率就下结论；不会改写规则让游戏变公平；双方概率算错看不出差距。 41．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 42．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 43．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到仅2的倍数，小亮去参加活动；若转到仅3的倍数，小芳去参加活动；若转到其他号码，则重新转动转盘．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 易错必刷题型15.几何概率 典题特征：圆盘、长方形区域、阴影面积，求指针落在阴影部分概率。 易错点：不会用面积/长度比算概率；算错阴影面积和总面积；把份数直接当概率 44．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D．1 45．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．如图，若铜钱直径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入小孔中的概率是_________ ． 46．如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 易错必刷题型16.转盘抽奖概率应用 典题特征：转盘分不同扇形区域，求中奖、中一等奖的概率。 易错点：不看圆心角和面积，只看分了几份；边界归属分不清，随意估算概率。 47．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 48．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 49．如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $