4.3 三角形全等经典模型--一线三等角 复习专题练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以“一线三等角”模型为核心，通过分层训练构建“模型认知-变式应用-综合迁移”的方法体系，强化全等推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题（选择5/填空5）|利用角的互余/外角证等角，结合AAS/ASA判定全等|从等腰直角三角形到一般三角形，逐步渗透“一线三等角”基本构造| |模型深化|3题（11-13）|通过“K字模型”推导线段和差关系，掌握直线旋转位置分类|模型呈现→静态应用→动态旋转，形成全等条件转化的推理链| |综合拓展|3题（14-16）|结合折叠/对称构造模型，迁移解决跨情境问题|融合空间观念与模型意识，提升复杂图形中模型识别与应用能力|

第四章《三角形》复习题--三角形全等经典模型一一一 线三等角 一、选择题 1.如图，已知AC=CD,∠B=LE=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是() D h12 B C A.△ABC≌△CED B.BC=ED C.LA=∠D D.∠A+∠D=90° 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,DB⊥AB于点B,且DB=AB,DE⊥CB交CB的 延长线于点E,则△BCD的面积为() D A.18 B.9 C.6 D.4.5 3.如图，在△ABC中，LBAC=90°，AE是经过点A的一条线段，且B,C在AE的两侧， BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,若CE=3,BD=AE=8,则DE的长是() A B E A.8 B.7 C.5 D.6 4.如图，三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.将点C放在直线1上，过点A作AD⊥1 于点D;三角形纸片MPN中，项点P放在直线1上，∠MPN=90°，MP=NP.点M与点B重合， 过点N作NH⊥1于点H.若DP=I2,CD=3,AD=4,则NH=() B(M) H N A.3 B.4 C.5 D.6 5.在△ABC和△CDE中，点A,C,D在同一条直线上，LA=LD=LBCE,BC=CE.若 AB=3,AD=7,则DE的长为() A.8 B.7 C.3 D.4 二、填空题 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点A,B分别作过点C的直线的垂线AE,BF.若 AE=2,BF=4,则EF=. 7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE⊥CE于E,BD⊥CE于D,AE=3,BD=5,则 DE的长为 8.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,则BE= B D 9.如图，四边形ABCD中，ABI‖CD,AB=4,CD=I0,AD=AE,BF=BC, LDAE=LCBF=90°，则四边形AFBE的面积为 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点C作CD⊥AC,且CD=AC,连接BD,若S△BcD=18, 则BC的长为 三、解答题 11.小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面 垂直.如图，小明从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即 DM=1m)的B处接住他后用力一推，爷爷在C处接住他.已知奶奶与爷爷到OA的水平距离 BD=1.2m,CE=1.6m,∠B0C=90°，BD⊥OA,CE⊥0A,B0=C0,设OA的延长线与地面交于 M. (1)△OBD与△COE全等吗？请说明理由. (2)当爷爷在C处接住小明时，求小明距离地面的高EM. Eh.--- ----uD M 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条线段，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于 点E,BD=AE. A D B E (1)求证：△ABD≌△CAE; 证明过程： :BD⊥AE,∠BAC=90°， ∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， () 在△ABD和△CAE中， =909 BD=AE :△ABD≌△CAE() (2)若CE=3,BD=9,求DE的长. 13.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC的延长线于点 E.由LBAC+∠DAE=∠DAE+∠D=90°，得∠BAC=∠D.又∠ACB=LAED=90°，AB=AD,可以 推理得到△ABC≌△DAE,我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型. A E 【模型应用】 (1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MW经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E.若AD=10,BE=6,则DE=· (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE; (3)当直线MW绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE之间具有怎样的数量关系？ 请证明这个数量关系， MD M M B 图1 图2 图3 14.直线CD经过∠BCA的顶点C,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=LCFA=∠a 【数学思考】 若直线CD经过LBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： (1)①如图1，若LBCA=90°，La=90°，求证：EF=BE-AF; (2)②如图2，若0°<LBCA<90°，当∠α与∠BCA之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然 成立，并给予证明 【问题拓展】 (3)如图3，若直线CD经过LBCA的外部，La=LBCA,请直接写出EF,BE和AF之间数量关 系 图2 图3 15.已知点A,B在直线1两侧，点C,D在直线I上，点P为1上一动点，连接AP,BP,且 CP=DB. (1)如图(1)所示，当点P在线段CD上时，若LACP=LBDP=90°，∠PAC=LBPD,则PA PB(选填“>”“<”或“=”)； (2)如图(2)所示，当点P在DC延长线上时，若LACP=LBDP=90°，∠PAC=∠BPD,探究 线段CD,AC,DB之间的数量关系，并说明理由； (3)如图(3)所示，当点P在线段CD上时，若LACP=LBDP≠90°，将△PBD沿直线1对折 得到△PB'D,此时∠ACP=∠APB',探究线段CD,AC,DB'之间的数量关系，并说明理由. D D 图(1) 图(2) 图(3) 16.【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作 垂线，垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE; D H B A D B GC 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线1上，如果 LCEA=LADB=LBAC,求证：ED=BD+CE; 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB, AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中LBAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上 的高.延长GA交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,,S2大小关系， 并说明理由， 参考答案 一、选择题 1.C 解：A.:AC⊥CD,LACD=90°，∠1+∠2=90°，：LB=∠E=90°∠1+∠A=90°，∠A=∠2， ∠B=∠E 在△ABC和△CED中{∠A=∠2，：△ABC≌△CED(AAS),结论正确，故不符合题意； AC=CD B.:△ABC≌△CED,BC=DE,结论正确，故不符合题意； C.由选项A得∠A=∠2，结论错误，故符合题意； D.:∠2+LD=90°，∠A=∠2，·LA+∠D=90°，结论正确，故不符合题意； 故选：C. 2.D 解：DB⊥AB,DE⊥CB, ∴.∠ABD=90°，∠BED=90°， ∴.∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°， ∴.LABC=LBDE, ,∠ACB=∠BED=90°，DB=AB, ∴.△ACB≌△BED(AAS), ∴.BC=DE=3, S.c=xBCx DE-x3x3-4.5. 2 故选：D 3.C 解：BDAE,CE⊥AE, .LADB=∠CEA=∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠ABD=LCAE, .BD=AE=8, ∴.△ADB≌CEA(ASA), ∴AD=CE=3, ∴.DE=AE-AD=5, 故选：C. 4.C 解：如图，过点B作BG⊥1于点G,则∠CBG=90°， A B(M) G ,∠ACB=90°， ∴.∠1+∠2=90°， ,AD⊥1于点D, ∴.∠ADC=90°， ∠1+L3=90°， ∴.∠2=∠3， 在△ADC和△CGB中， ∠ADC=∠CGB ∠3=∠2 AC=CB ∴.aADC≌aCGB, .AD=CG=4,CD=BG=3,PG=PD-CD-CG=5, ∠BPN=90°， ∴.∠4+L5=90°， NH⊥I于点H, .∠NHP=90°， ∴.∠5+L6=90°， .L4=∠6， 在△BPG和△PNH中， ∠BGP=∠PHN ∠4=∠6 BP=NP ∴.aBPG≌aPNH, ∴.PG=NH=5. 故选：C 5.D 解：：LA=LD=LBCE, ∠ACB+∠DCB=180°-LBCE=180°-∠A=∠ACB+∠ABC, ∠DCB=∠ABC :BC=CE, .△ABC≌△DCE(AAS, ∴.DE=AC,DC=AB=3, :DE=AC=AD-DC=4, 故选：D. 二、填空题 6.6 解：AE⊥EF、BF⊥EF, .∠AEC=∠CFB=90°， .∠BCF+∠CBF=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠ACE=∠CBF, 在△AEC和△CFB中， [∠AEC=∠CFB ∠ACE=∠CBF, AC=BC ∴.△AEC≌△CFB(AAS), .∴.EC=BF=4,AE=CF=2 .∴.EF=EC+CF=4+2=6, 故答案为：6. 7.2 解：：∠ACB=90°、，AE⊥CE、BD⊥CE .∠AEC=∠CDB=90 :LACE+LBCD=90°、LACE+∠CAE=90° .∠CAE=∠BCD 在△ACE和△CBD中 I∠AEC=∠CDB ∠CAE=∠BCD AC=BC ∴△ACE≌△CBD(AAS AE=CD=3、CE=BD=5 .DE=CE-CD=5-3=2 故答案为：2 8.0.8cm 解：.∠ACB=90°，BE⊥CE,AD⊥CE, ∴.∠BEC=∠CDA=90°， ∴.∠ACD+LBCE=LBCE+LCBE=90°， ∴.LACD=LCBE, 在△BCE与aCAD中， [∠CBE=∠ACD ∠BEC=∠CDA, BC=AC ∴.△BCE≌△CAD(AAS), .AD CE 2.5cm,CD=BE ∴.BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8(cm). 故答案为：0.8cm. 9.12 解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,I,G, M D B 6 T..c .∴.∠M=LAGE=LFHB=LI=90°， ,∠DAE=LCBF=90°， ∴.∠1=L2=90°-∠3，∠4=L5=90°-L6, .AD AE,BF=BC, ∴.△AGE≌△MA(AAS),△FHB≌△BIC(AAS), ∴.AM=EG,FH=BI, 设AM=EG=xFH=BI=y, .MI=AM+AB+BI=x+4+y, AB∥CD,DM⊥AB,CI⊥AB, .∴.CD=MI=4+x+y=10, ∴.x+y=6, 四边形AFBE的面积=SAABF+S△ABE, ∴.四边形AFBE的面积=AB×FH+AB×EG 1 =。AB(FH+EG】 2x4x(x+功 2*4x6 =12, 故答案为：12. 10.6 解：如图，作DE⊥BC交BC延长线于点E. D B E .∠ABC=90°，DE⊥BC,CD⊥AC, ∴.∠ABC=∠ACD=∠E=90°， ∴.∠A+∠ACB=∠ACB+∠DCE=90°， ∴.LA=LDCE. 在△ABC和△CED中， [∠ABC=∠E ∠A=∠DCE, AC=CD ∴.△ABC≌△CED, ∴BC=ED, .SABCD =18, ∴ac-DE=l8. 即号8c2=18, .BC=6. 故答案为：6 三、解答题 11. 解：(1)解：aOBD与aCOE全等，理由如下： :BD⊥OA,CE⊥OA, .∴.∠BD0=∠0EC=90o, :∠B0D+∠0BD=90°， 又：∠B0C=LB0D+∠C0E=90°， :∠OBD=LC0E, 在△OBD与△COE中， ∠OBD=∠COE ∠BD0=∠OEC=90° BO=CO :△OBD≌△COE(AAS); (2)解：：△OBD≌aC0E, ·BD=0E=1.2m,0D=CE=1.6m, :EM=0D+DM-0E=1.6+1-1.2=1.4m 即小明距离地面有1.4m高. 12.解：(1)证明：，BD⊥AE,∠BAC=90°， .∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， :∠1=∠2（等角的余角相等）， 在△ABD和△CAE中， ∠ADB=∠CEA=90° .BD=AE ∠1=∠2 .△ABD≌△CAE(ASA), 故答案为：∠1=∠2，等角的余角相等，∠ADB=∠CEA,∠I=∠2，ASA; (2)解：由(1)可得：△ABD≌△CAE, ∴.AE=BD=9,AD=CE=3, .DE=AE-AD=9-3=6, DE的长为6. 13.(1)解：DE=AD-BE,证明如下； AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ADC=90°=∠CEB, ,LCAD+∠ACD=90°=∠ACD+∠BCE, ∴.LCAD=LBCE, 在△ADC和aCEB中， I∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC ∴.△ADC≌△CEB(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE, ∴.DE=CE+CD=AD+BE, ∴.DE=AD+BE; AD=10,BE=6, ∴.DE=10+6=16, 故答案为：16. (2)证明：，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.LADC=90°=LCEB, ,∠CAD+∠ACD=90°=∠ACD+LBCE, ∴.LCAD=LBCE, 在△ADC和aCEB中， ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC ∴.△ADC≌△CEB(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE, ∴.DE=CE-CD=AD-BE, ∴DE=AD-BE; (3)DE=BE-AD. 证明：，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ADC=90°=∠CEB, ∠CAD+LACD=90°=LACD+LBCE, .∴.∠CAD=∠BCE, 在△ADC和aCEB中， I∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC ∴.△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,CD=BE, ∴.DE=CD-CE=BE-AD, ∴DE=BE-AD. 14.(1)证明：，∠BEC=∠CFA=90°，∠BCA=90°， ∴.∠BCE+∠ACF=90°=∠EBC+LBCE, ∴.LEBC=LACF, ZEBC ZFCA,ZBEC LCFA,CB=CA, ∴.△BCE≌△CAF(AAS, .'.BE=CF,CE=AF, ∴.EF=CF-CE=BE-AF, ∴.EF=BE-AF; (2)解：当∠a+LACB=180°时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当∠a+∠ACB=180°时，则∠a+∠FCA+∠ECB=180°=∠a+∠FCA+∠FAC, ∴.∠ECB=∠FAC, ,'∠EBC=∠FCA,∠BEC=∠CFA,CB=CA, .∴.△BCE≌aCAF(AAS, .BE=CF,CE=AF, ∴.EF=CF-CE=BE-AF, ∴.EF=BE-AF; (3)解：EF=BE+AF; Za+2FCA+ZFAC=180=2a+2FCA+ZECB, ∴.∠ECB=∠FAC, LEBC ZFCA,ZBEC ZCFA,CB=CA, ∴.△BCE≌aCAF(AAS), ∴.BE=CF,CE=AF, .'EF =CF +CE BE+AF, .EF BE +AF 15.(1)解：.∠ACP=∠BDP=90°，LPAC=LBPD,CP=DB, .∴.△ACP≌△PDB(AAS), .'PA=PB, 故答案为：=； (2)解：AC=CD+BD,理由如下： .∠ACP=∠BDP=90°，∠PAC=∠BPD,CP=DB, ∴.△ACP≌aPDB(AAS), ∴.AC=PD, PD CD CP CD BD ∴.AC=CD+BD; (3)解：CD=AC+DB',理由如下： :∠CAP+∠APC=180°-LACP,∠DPB"+APC=I80°-∠APB',∠ACP=∠APB', ∴.∠CAP=∠DPB', 由折叠得：BD=DB',∠BDP=LB'DP, ..CP=BD ZBDP ZACP ∴CP=DB',LACP=∠B'DP, .△ACP≌aPDB'(AAS), ∴.AC=PD, ∴.CD=PD+CP=AC+DB'. 16.(1)证明：，BD⊥直线1，CE⊥直线1， ∴.∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠DAB+∠DBA=90°. :LBAC=90°， .∴.∠DAB+∠EAC=90°. ∴.LDBA=LEAC. 在△ABD和△CAE中， [∠BDA=∠AEC=90° ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌△CAE(AAS; (2)证明：，∠EAB是△ABD的外角， .∠EAB=∠ADB+∠DBA. ∴·∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA. ,∠ADB=LBAC, .∠EAC=∠DBA. 在△EAC和△DBA中， [∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB, AC=AB ∴.△EAC≌△DBA(AAS). ∴CE=AD,EA=BD. ∴.ED=EA+AD=BD+CE; (3)S,S2大小关系是：S,=S, 理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： D B GC AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90o. ∴.LABG+LBAG=90°. ∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠DAM=90. ·∠ABG=∠DAM. 在△ABG和△DAM中， [∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM AB=AD ∴.△ABG≌△DAM(AAS). .AG =DM. 同理可证明：△AGC≌aENA, .AG=EN .DM EN. '.'S]=1AH-DM,S2=1AH-EN, .S1=S