第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末归纳提升-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 章末归纳提升 [网络构建] 实数的性质 a-b>0台a>b a-b=0台a=b a-b<0台a<b 不等 比较大小 关系 比较法 不等式的有关概念 不1.a>b台b<a(对称性) 等2.a>b,b>c→a>c(传递性) 式3.a>b→a+c>b+c(可加性) 的4.a>b,c>0→ac>bc(可乘性) 基 a>b,c<0→ac<bc(可乘性) 5.a>b,c>d→a+c>b+d(同向可加性) 性 6.a>b>0,c>d>0→ac>bd(同向同正可乘性) 7.a>b>0→a”>b(n∈N,n≥2)（可乘方性） 1.a,b∈R,a2+b2≥2ab(当日 变式：(a+b)2≥4ab, 仅当a=b时取等号) a2+62 a+b)9 元二次函数 基 2.a,b>0,a+b 推广：a1,a2,…,am>0 ab 不 (当且仅当a=b时取等号) a1十a2十…+a≥a1a2…a 方程 x,y>0,若和x十y=s(定值)，当x=y时，积xy 不等式 基本不等式 取得最大值 与最大（小）值 x,y>0,若积xy=(定值)，当x=y时，和x十y 取得最小值2√D 求最值 “一正，二定，三相等”解决实际问题 元二次不等式的解集 元 A>0,{x|x<x1,或x>x2} 二 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 A=0,{x|x∈R,且x≠- a 不 △<0，x∈R ax2+bx+c<0(a 0)的解集 4>0,{x|1<x<x2} 4≤0,0 (ax2十bx十c=0的两根为x1,x2且x1<x2) 一元二次不 等式的应用 从实际问题中建立一元二次不等式 ·54 第二章一元二次函数、方程和不等式 [归纳提升] 题型一 不等式的性质及应用 题型二 解二元三次不等式 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽 内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形 在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问 式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不 题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到 等式的性质及运用. 一元二次方程的解法及其根与系数的关系的 应用 [例1](1)如果a,b,c满足c<b<a且ac<0, [例2]解下列关于x的不等式： 那么下列选项中不一定成立的是() (1)-1<x2+2x-1≤2； A.ab-ac B.c(b-a)>0 (2)m2x2+2m.x-3<0. C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 (2)不等式x2+6x+10<0的解集是( A.0 B.R C.(xlx>5) D.{x|x<2} G3)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,6的 取值范围. ◇[变式训练] 2.解下列不等式（组）： (1)/(x+2)>0, z2<1; (2)6-2x≤x2-3x<18. ⊙[变式训练] 1.(1)(多选)下列命题正确的有 A.若a>1,则日<1 B.若a+c>b,则上< 题型 利用基本不等式求最值 C.对任意实数a,都有a2≥a D.若ac2>bc2,则a>b 基本不等式：<护a>0,b>0)是每年高 (2)已知a≥0.6>0，且a≠6，比较号+与 考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以 及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际 a+b的大小. 问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上 设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的 技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高 考中也经常出现， [例习1设a≥0.6>0.2a+6=1,则+号的最 小值为 (2已知a6都是正数，且d+答-1.则y a√J1+b的最大值为 ·55· 数学·必修第一册 ◇[变式训练] 题型五构建不等式模型解决实际问题 3若>0>0.且x+2y=5,求+号的最小 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本 章中体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元 值，并求出取得最小值时x,y的值. 二次不等式的实际应用， [例5]某水产养殖场拟造 个平面图为矩形且面积为 160平方米的水产养殖网 箱，为了避免混养，箱中要安 装一些筛网，如平面图所示.如果网箱四周网 衣（图中实线部分）建造单价为每米112元，筛 网（图中虚线部分）的建造单价为每米96元， 题型四 恒成立问题 网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及 筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价y 解法有以下几种 (元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米) (1)变更主元法 的函数，并求出最低造价. 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般 知道取值范围的变量要看作主元 (2)分离参数法 若m<y恒成立，则m<y的最小值， 若m>y恒成立，则m>y的最大值. (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过 函数图象直观化. [例4]设函数y=mx2-mx一1，(1≤x≤3)，若 ⊙[变式训练] y<一m十5恒成立，求m的取值范围. 5.某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每 天售出100件，若售价降低x成(1成=10%)， 售出商品的数量就增加x成，要求售价不能 低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x 之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域： (2)若再要求该商品一天营业额至少10260 ⊙[变式训练] 元，求x的取值范围. 4.对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x+p >4x十p一3恒成立，试求x的取值范围. ·56参考答案 解不等式得x≥600（舍去）或x≤100， 2a+b=1, 由题意知x>0,所以0<x100. a4 当且仅当 b=4a,即 时等号成立 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面 (a-b, \b2 积的二分之一 1 章末归纳提升 a 的最小值为8 b 归纳提升 [例1][解析](1)因为c<a.且ac<0,所以c<0,a>0. (2a+答=1.2a+后=2. A成立，因为c<b,所以ac<ab,即ab>ac 又a是正数，b也是正数， B成立，因为b<a,b-a<0, ∴y=a√1+6=√a·(1+6) 所以c(b-a)>0. C不一定成立，当b=0时，cb<ab不成立. -2·2a1+6≤2.2a+1+b 2 2 2 D成立，因为c<a,所以a-c>0, 所以ac(a-c)<0. -i. (2):x2+6.x+10=(x+3)+1>0, r2a=1+b, a= 原不等式的解集为心.门 当且仅当a+ +?=1,即 2 时， (3)因为-2<b<-1,所以1<-b<2. 2 又因为2<a<3,所以2<-ab<6, a>0,b>0, 6=2 所以-6<ab<-2. y=a+6有接大值E. 因为-2<b<-1,所以1<b<4. 因为2<a<3,所以}<L<1 [答案]182)厄 3a2' 所以1<左<2 [例4][解]y<-m十5恒成立. 3 a 即m(x2-x+1)-6<0恒成立， 以ab的取值范国为-6<a6<一2的取值范国 :-+1=(-）+>0, 1<6<2 又m(x2-x+1)-6<0, 3 a 6 [答案](1)C(2)A :m<-x+ [例2][解](1)原不等式等价于 (z2+2x-1>-1, y 6 6 x2+2x-1≤2， x2-x+1 在1≤x≤3上的最小 即/+2>0， (-)+ ① {x2+2x-3≤0， ② 值为号只高m<号即可。 由①得x(x十2)>0， 所以x<-2或x>0: m的取位范国为{mm<号} 由②得(x十3)(x一1)0， [例5] [解]y=112 所以一3x≤1. (2✉+x2)+6 将①②的解集在数轴上表示出来，如图. (e+19×3）+10×160=320×(+2）+1600≥ 开 26240. 求其交集得原不等式的解集为{x一3≤x<一2，或0<x 此时，江=256，即=16时，取得最小值. ≤1}. 最小值为26240元. (2)当m=0时，-3<0恒成立，解集为R. 变式训练 当m≠0时，二次项系数m>0,△=16m>0,不等式化 1.(1)解析：AD[因为a>1,所以<1，所以A正确：若 为(m.x十3)(mx一1)<0. 当>0时，解集为{-品<} a+c>6,可令a=1,6=1,6=-1,则有日>方故B错 当<0时解为{品<-品} 1 误：对于C,可取a=之则u<,故C错误：因为ar> [例3][解析](1)：a>0,b>0,且2a+b=1, bc,所以c2>0,所以a>b,故D正确.] a b.4a=8, =4++号≥4+3合·号 =,b+6-Q a b ·381 数学·必修第一册 =a-6(合-) 第三章函数的概念与性质 (a2-6)0-b_a-b)'(a+b) 3.1函数的概念及其表示 ab ab 3.1.1 函数的概念 因为a>0,b>0,且a≠b, 所以(a-b)2>0,a十b>0,ab>0, 课前预习学案 情境引入 所以（后+）a+6>0, 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数. 即+>a+b. 知识梳理 b a 知识点一1.非空的数集确定的任意唯一y=f(x),x 2.解：1原不等式组可化为{2或>0，即0<<1， ∈A {-1<x<1, 所以原不等式组的解集为{x0<x<1}. 2.x的取值范围A3.函数值的集合{f(x)川x∈A}子集 (2)原不等式等价于/6-2x≤x-3x, 知识点二3.[a,十∞)(a,+co)(-∞，b](-∞，b) 1x2-3x<18, 知识点三、1.定义域对应关系值域2.定义域对应 一x一6≥0， 关系定义域对应关系 1x2-3x-18<0, [思考] 因式分解，得红一3)(x+2)≥0， 1.提示：不一定.值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A} 1(x-6)(.x+3)<0, ∈B. 所以≤-2，或x≥3， 2.提示：不一定，可以是数表，也可以是图象 -3<x<6, 3,提示：这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的函数”的 所以一3<x≤一2或3<6」 数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对 所以不等式的解集为{x|一3<x≤-2，或3≤x<6. 象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是 3.解：因为x>0,y>0,且x+2y=5, 图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x 所以是+号=红+2(2+号) 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应 =号(3++号 的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f x y 与工的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用 ≥1+} g(x),F(x),G(x)等来表示函数. x+2y=5, 4.提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时， 当且仅当 8y=2x」 函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函 x y 数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊 即3， 时等号成立 值，如一次函数f(x)=3x十4，当x=8时，f(8)=3× y=1, 8十4=28是一个常数. 所以9+2的最小值为5，此时x=3,y=1. 5.提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合0}就不能 T y 用区间表示， 4.解：不等式x2+x>4x+p-3恒成立，即(x一1)p+ (x2-4x十3)>0， 6.提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以 设y=(x-1)p+(x2-4.x+3)是以力为自变量的一次 “一∞”或“十∞”作为区间一端时，这一端必须是小 函数，则0≤≤4时y>0恒成立， 括号 即x-1D·0+x2-4x+3>0, 7.提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值 14(x-1)+x2-4x+3>0, 城，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域 解得x>3或x<-1. 和对应关系即可 .x的取值范围是{x|x>3,或x一1 8.提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是 5.解：1)筷题意y=100(1-)·100(+品： 同一个函数 预习自测 又售价不能低于成本价， 1.A2.D3.③ 所以100(1-品）-80≥0，解得x≤2， 课堂互动学案 所以y=f(x)=20(10-x)(50十8.x)(0≤x≤2). [例1][解](1)A中的任一元素按照对应关系y=|x,在 (2)20(10-x)(50+8.x)≥10260， B中都有唯一确定的元素与之对应，故是集合A到集合B 化将得：8-30r+13<0:解得}<<是 的函数， (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到 又xE0≤≤21，所以x的取值范国为2≤≤2. 集合B的函数 ·382·