1.2 集合间的基本关系-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 随堂。步步夯实 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是() 4.由实数x,-x,x√，x所组成的集合 A.拥有手机的人B.2026年高考语文难题 里面元素最多有 个. C所有有理数 D.小于π的正整数 5.已知集合A由元素a-3,2a-1,a2-4构 2.下列说法正确的有 成，且一3∈A,求实数a的值. ①1∈N:@5∈N:③2∈Q:④2+E∈Q: ⑤}z A.1个B.2个C.3个D.4个 3.集合A={yly=x2+1},集合B={(x,y)川 y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).选项中元 素与集合的关系都正确的是 () A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B @温馨提 D.(3,10)∈A,且2∈B 学习至此，请完成配套训练 1.2集合间的基本吴系 课程标准 素养解读 会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表示集合 理解集合之间包含与相等的含义，能 间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和 识别给定集合的子集 直观想象素养 课前。预习学案 [情境引入] 这天，正巧公孙龙骑着白马来到函谷关 关吏说：“你人可入关，但马不能.” 公孙龙辩道：“白马非马，怎么不可以过 关？”关吏说：“白马是马.” 这一则寓言故事.对于一般人，说“白马是 公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣， 马”就如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确 无误.怎么可能“白马非马”呢？如果赵国的白 但仍坚持说：“按照规定只要是赵国的马就不 马组成集合A,赵国的所有马组成集合B. 能入关，管你是白马还是黑马.” [问题](1)集合A中的元素与集合B中的 公孙龙微微一笑，道：“‘马’是指名称而 元素的关系是怎样的？ 言，‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个 (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 概念。‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和 (3)故事中的“白马非马”是为何意？ ‘马’或‘马’和‘白’，这是两个不同的概念。比 如说你要马，给黄马、黑马可以，但是如果要白 马，给黑马、给黄马就不可以，由此证明‘白马 和‘马’不是一回事！所以说白马非马.” ·5· 数学·必修第一册 [知识梳理] ?思考1.任意两个集合之间是否有包含 [知识点一]子集、集合相等、真子集 关系？ l.Venn图 用平面上 的内部代表集合，这种 图称为Venn图. 2.子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 2.符号“∈”与“二”有什么区别？ 般地，如果集 一般地，对于 合A的任何一 两个集合A, 个元素 B,如果集合 如果集合A 集合B的元 A中 三B,但存在 素，同时集合 元素都是集合 元素 B的任何一个 B中的元素，就 且 ,就 [知识点二]空集 概 元素 集 称集合A为集 称集合A是 因 合A的元素，那 我们把 的集合，叫做 合B的子集，记 集合B的真 定义 么集合A与集 作 (或 子集，记作A 空集 合B相等，记作 ),读作 手B(或B吴 记法 0 也就是 A B” A) 规定 空集是任何集合的 ,即0二A 说，若A二B,且 (或“B B三A, (1)空集只有一个子集，即它本身，心二⑦ A”) 特性 则 (2)若A≠0，则A 图 B B(A) B(A) B A ?思考3.0与0，{0}，{}有何区别？ 示 (1)任何一个 集合是它本身 (1)若A≡B [预习自测] 的子集 且BC,则 1.下列关系式正确的是 即 若A=B 结 AC A.0二{0} B.0∈{0} (2)对于集合 且B=C, 论 (2)若A二B A,B,C,如果 则 C.0={0} D.0{0} 且A≠B,则 A三B,且BC 2.集合{1,2}的子集有 AB ( C,那么 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.集合{1}与集合{x|x2一1=0}的关系是 6 第一章集合与常用逻辑用语 课堂。互动学案 题型一 求集合的字集、真字集 题型二 集合间关系的判断 [例1]写出集合A={1,2,3}的所有子集和真 [例2]指出下列各对集合之间的关系： 子集。 (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1), 汇思路点拨了按照顺序依次写出：由0个 (1,-1),(1,1)}. 元素构成的子集；由1个元素构成的子集； (2)A={x|-1<x<4},B={xlx-5<0}. 由2个元素构成的子集；由3个元素构成 (3)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是 的子集 等腰三角形} 规律方法 (4)M={xlx=2n-1,n∈N*},N={x|x= 1.写出一个集合的所有子集的常用方法 2n+1,n∈N*}. (1)首先要注意两个特殊子集：⑦和它 汇思路点拨了“判断两集合间关系的关键是 自身. (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含 弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就 有2个元素的子集，含有3个元素的 是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地 子集，…，写出所有子集，在本例中， 用自然语言、符号语言（列举法和描述法）、 写出含有2个元素的子集时，首先从1 图形语言(Venn图)来表示集合. 起，1与每个元素搭配，然后不看1，再 看2可与哪些元素搭配. 2.求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的 集合有2”个子集，有2”一1个真子集， 有2”一2个非空真子集 (2)注意点：解决此类问题时应注意两个比 较特殊的集合，即⑦和集合本身. ⊙[变式训练] 1.(1)满足{1,2}M二{1,2,3,4,5}的集合M 有几个？ (2)已知集合A{x∈N-1<x<3},且A 中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A 共有多少个？并用恰当的方法表示这些 集合. ·7· 数学·必修第一册 规律方法 题型由集合间的关系求参数问题 判断集合间关系的常用方法 [例3](1)若集合M={xx2+x-6=0,N= (1)列举观察法 {xax十2=0，a∈R},且VM,则a的取值集 合为 当集合中元素较少时，可列举出集合中 (2)已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x2m一 的全部元素，通过定义得出集合之间的 1<x<m+1},且B二A.求实数m的取值 关系 范围， (2)集合元素特征法 [思路点拨](1)求出集合M中的元素，对 先确定集合的代表元素是什么，弄清集 VN作讨论 合元素的特征，再利用集合元素的特征 (2)借助数轴，不要漏掉B=☑的情况， 判断得出集合之间的关系. 一般地，设A={x|p(x)},B={x g(x)},①若由p(x)可推出q(x),则 A二B;②若由q(x)可推出p(x),则B 二A;③若p(x),q(x)可互相推出，则 规律方法 A=B:④若由p(x)推不出q(x),由 由集合间的包含关系求参数的方法 q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含 含关系 关系的意义，建立方程求解.此时应注意 (3)数形结合法 分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判 不等关系求解，应注意端点处是实点还是 断集合间的关系，其中不等式的解集之 虚点 间的关系，适合用数轴法. 提醒：(1)不能忽视集合为☑的情形. ⊙[变式训练] (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类 讨论。 2.(1)设集合A={x|-1<x<2},B={x|-1 ⊙[变式训练] <x<1},则 3.已知集合A={xax2+6x+3=0}. A.ACB B.BCA (1)若A二心，求实数a的取值集合： C.A-B D.A车B (2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合 (2)下列命题中正确的有 (写出全 部正确命题的序号). ①{2,4,6}三{2,3,4,5,6}；②{菱形}三{矩 形}；③{xx2=0}三{0}；④{(0,1)}三{0,1}； ⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{xx>1}二{xx≥2. ·8· 第一章集合与常用逻辑用语 随堂。步步夯实 1.集合M={x一2<x≤3，且x∈N}的真子集个 (2)若B二A,求a的取值范围. 数为 ( A.7 B.8 C.15 D.16 2.下列五个关系式：①{a,b}={ba};②{a,b}g {b,a};③{0}=⑦；④☑二{0}；⑤0∈{0}，其中 正确的个数是 () A.1 B.3 C.4 D.5 3.对于两个非空集合A,B,定义集合A一B={xx ∈A且x在B,若M={1,2,3,4,5},N={0,2,3, 6,7},则集合V一M的真子集个数为 4.设A={xx2-5.x+m=0},B={x|x-3=0}, 且B二A,则m= 5.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|1≤x≤ a,a≥1}. C温馨提西 (1)若AB,求a的取值范围； 学习至此，请完成配套训练 1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集 课程标准 素养解读 1.理解两个集合之间的并集和交集 能用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达集合 的含义 的交集和并集运算，发展学生的数学抽象和数学运算 2.能求两个集合的交集与并集 素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题] (1)问至少读过一本书的有哪些 某班有学生20人， 同学？ 他们的学号分别是1,2， (2)同时读了a,b两本书的有哪些同学？ 3,…,20,现有a,b两本 新书，已知学号是偶数的 读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b. 。9·数学·必修第一册 学习讲义 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 课前预习学案 情境引入 提示通知的对象是全体高一学生， 知识梳理 知识点一、1.研究对象2.元素集3.一样4.确定性 知识点二、l.大写拉丁字母A,B,C,…小写拉丁字母a,b C.. 2.a是集合A中的元素a∈Aa不是集合A中的元素 知识点三、NN'或N+ZQR 知识点四、1.一一列举{}2.{x∈AP(x)}{x∈ A:P(x)}{x∈A:P(x)} [思考] 1.提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也 可以是现实生活中的各种各样的事物或人等， 2.提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个 子男生没有明确的标准， 3.提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A” 与“a任A”这两种结果. 4.提示：N”是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有 的正整数组成的集合，所以N比N(N+)多一个元 素0. 5.提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，例如： {a,b}与{b,a}表示同一个集合. 6.提示：A={x|x-1=0}={1}与集合B表示同一个 集合， 预习自测 1.D2.C3.C 课堂互动学案 [例1][解](1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是 无法确定的，故不能组成一个集合；(2)元素“观众”是确 定的，所以能组成一个集合；(3)接近1的实数没有一个 明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一 个集合；(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以 不能组成一个集合 [例2]A[①√2是无理数，∴√2Q,故①错误； ②，0是非负整数，.0∈N故②错误； ③π是实数，π∈R,故③错误； ④，|一4|=4是整数，∴.|-4∈Z,故④正确.] [例3][解]若x=0,则x=0,此时集合A中有两个相 同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去. 若x2=1,则x=士1. 当x=1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当x=一1时，集合A中三个元素为1,0，一1，符合. 若x=x,则x=0或x=1, 不符合互异性，都舍去. 综上可知：x=一1， ·36 参芳答案 「例41「解](1)比5大3的数显然是8，故可表示为 {8. (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为：(x-2)2+ 0十3》=0…{=2，÷方程的解柴为2，-3)1. (y=-3, (3)由x-3>2,得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5} (4)“二次函数y=x一10的图象上的所有点”用描述法 可表示为{(x,y)ly=x2-10. 变式训练 1.AC[B中，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素 的确定性，所以B错误：D中的所有整数能组成集合，所 以D错误.] 2解折：由32∈N,x∈N知z≥0,3>0，且z≠3，故 0E<3.又x6N,故=0,12.当=0时，3=2 N:者=1时，3-3∈N:当=2时写2=6∈N故 6 集合A中的元素为0,1,2. 答案：0,1,2 3.解析：由题意知a=4,即a=士2. 答案：±2 4.解：(1)列举法：列举出所有字母得{W,e,l,c,0,m}. (2)描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以用描述 法表示为{xx=2k,k∈N}. (3)列举法：求出演方程组的解，为1或{-0 y=1 所 y=0, 以用列举法表示为{(0,0)，(1,1)} (4)描述法：{xx是正三角形}. 随堂步步夯实 1.ACD2.B3.C4.2 5.解：因为一3∈A,所以a-3=一3或2a一1=一3或a 4=-3. 若a一3=一3，则a=0,此时集合A={一3，一1，一4}，符 合题意 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3,-3} 不满足，集合中元素的互异性， 若a2-4=-3,则a=1或a=-1(舍去)，当a=1时集 合A={-2,1,-3},符合题意.综上可知，a=0,或a =1. 1.2集合间的基本关系 课前预习学案 情境引入 提示(1)集合A中的元素都是集合B的元素， (2)A是B的子集. (3)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马 组成的集合不相等】 6 知识梳理 知识点一、1.封闭曲线2.任意一个A二BB已A包 含于包含都是都是A=BA=Bx∈BxEA A二AA二CA=C手年 知识点二、不含任何元索子集 [思考] 1.提示：不一定，如集合A={1,3},B={2,3},这两个集合 就没有包含关系， 2.提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈ N,-1 N. ②“二”是表示集合与集合之间的关系，比如N二R,{1, 2,3}二{3,2,1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“二”的两边均为 集合. 3.提示： ⑦与0 ⑦与{0} 0与{0} 都表示无 相同点 都是集合 都是集合 的意思 ⑦不含任何元 0是集 心不含任何 素；{0}含一个 不同点 合；0是 元素；{0}含 元素，该元素 实数 一个元素0 是0 关系 0庄0 0手{0} 必年{财} 预习自测 1.B2.A 3.{1}{xx2-1=0}. 课堂互动学案 [例1][解]由0个元素构成的子集：0： 由1个元素构成的子集：{1}，{2，{3： 由2个元素构成的子集：1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}. 由此得集合A的所有子集为⑦，《1}，{2}，{3}，{1,2}， {1,3},{2,3},{1,2,3}. 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都 是A的真子集. [例2][解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代 表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)集合B={xx5},用数轴表示集合A,B如图所示， 由图可知A手B. B -2-1012343x (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两 边相等的三角形，故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N”, 因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素 “1”,故NM. [例3](1)[解析]化简M={xx2+x-6=0}={-3, 2},因为ax十2=0的系数a是字母，所以对a分类讨论 如下： ·36 参考答案 当a=0时，ax十2=0无解，所以V=心满足题意；当a ≠0时，az十2=0的解为x=一2，因为N三M,所以由 2=-3,得a3,由二二=2.得a=1,所以符合 .2 a 条件的a的取位桌合为0，号-} [答案]10，号-1 (2)「解]因为B二A,①当B=⑦时，m+1≤2m-1,解 得m≥2. -32m-1, ②当B≠0时有)m+1≤4， 2m-1<m+1, 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. 变式训练 1.解：(1)由{1,2}M二{1,2,3,4,5}可以确定集合M中 必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此 依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2， 3},{1,2,4},{1,2,5}:含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2， 3,5},1,2,4,5};含有五个元素：{1,2,3,4,5}.故满足题 意的集合M共有7个. (2)这样的集合共有3个， :{x∈N|-1<x<3}={0,1,2},A至{0,1,2}且A中至 少有一个元素为奇数，.当A中含有1个元素时，A可 以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}， {1,2}. 2.解析：(1)选B.如图所示 B☐6A& -1 12 A的范围包含B的范围，所以B二A. (2)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既 是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形：③中集合{x x=0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集； ④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素 不同：⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表 示元素与集合的关系时使用的符号，⑤错：⑥显然错误， 应有{xx>1}星{x|x≥2).故填①③. 答案：(1)B(2)①③ 3.解：(1)因为A三0，所以A=⑦ 当a=0时=一合别A={号}与题意苏唐： 当a≠0时，则△=36-12a<0,解得a>3. 综上，实数a的取值集合为{aa>3}. (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素. 当a=0时：由1咖A-{号}持合题意： 当a≠0时，△=36-12a=0,解得a=3. 综上所述，实数a的取值集合为{0,3}. 随堂步步夯实 1.C2.C3.74.6 数学·必修第一册 5.解：(1)若A丢B,由图可知a>2. A B 012a 一 (2)若B二A,由图可知，1≤a≤2. B 0 1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 课前预习学案 情境引入 提示(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9， 10,12,14,15,16,18,20的同学 (2)同时读了a,b两本书的有学号为6,12,18的同学. 知识梳理 知识点一、1.①所有②{xx∈A,或x∈B}2.①BUA ②A③A④二二⑤B 知识点二、1.①既属于属于B②{xx∈A,且x∈B 2.①B∩A②A③⑦④二二⑤A [思考] 1.提示：不一定，AUB的元素个数小于或等于集合A与集 合B的元素个数和. 2.提示：有，交集为空集： 3.提示：若x∈(A∩B),则x∈(AUB)成立： 反之，若x∈(AUB),则x∈(A∩B)不一定成立. 4.提示：若A∩B=A,则A二B: 若AUB=A,则B二A. 预习自测 1.D2.B3.R{x-1<x1,或5x<6} 课堂互动学案 [例1]解析](1)M={xx+2.x=0,x∈R}={0,-2Y,N ={xx2-2x=0,x∈R}=0,2},故MUN={-2,0,2}. N 5-30 (2)在数轴上表示集合M,N,可知MUN={x|x<-5 或x>一3}.故选A [答案](1)D(2)A [例2][解析](1)集合S={-2,0},T={0,2},则S∩T ={0},故选A. (2)由图知M∩N={x一1<x<1},选B. N M -2-i10123x [答案](1)A(2)B [例3](1)[解析]AUB=A,即B二A,所以m≥2. [答案]m≥2 (2)[解]A∩B=A,.AB. ①若A=⑦，则2a>a十3，a>3: ②若A≠⑦，如图所示 2aa+3-10 5 2a a+3 x ·3 则有/2a≤a+3, 或/2a≤a+3, {a+3<-1 12a>5, 解得a<-4或2 综上所速，a的取维范国是{知a<-4,或a>号} 变式训练 1.解析：(1)因为M={-1,0,1},N={0,1,2}, 所以MUN={-1,0,1}U{0,1,2}={-1,0,1,2. (2)P={xx<3},Q={x-1≤x≤4}， 如图，PUQ={xx≤4}. 34 答案：(1)D(2)C 2.C由题意可知，集合N={xx≤-2，或x≥3}， 所以M∩N={一2}.故选C. 3.解析：由集合交集的定义可得A∩B={x一2x<一1} 答案：{x-2<x<-1} 4.解：(1)由题意可知：A={xx2一3x十2=0}={1,2}，因 为A∩B={2},所以2∈B,将2代入集合B中，得 4+4(a-1)+(a2-5)=0. 解得a=一5或a=1. 当a=一5时，集合B={2,10},符合题意； 当a=1时，集合B={2,一2}，符合题意， 综上所述：a=-5或a=l, (2)若AUB=A,则B二A,因为A={1,2},所以B= 或B=(1}或{2}或{1,2. ①若B=,则△=4(a-1)-4(a-5)=24-8a<0, 解得a>3; △=24-8a=0, ②若B={1},则 2(a-1=1-a=1, 2 a-3 即 不成立； 1a=0, ,△=24-8a=0, ③若B={2},则 (z=- 2(a-1)=1-a=2, 2 即∫a=3, 不成立； a=-1, △=24-8a>0, ④若B={1,2},则)1十2=一2(a-1), 1×2=a2-5, a3, 即a=一 2,此时不成立，综上a>3. a=±√7， 随堂步步夯实 1.D2.D 3.{1,4,7} 4.{a|-3≤a-1} 8·