1.1 集合的概念-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、 属于关系 由自然语言和图形语言到符号语言的表达 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基过程，发展学生的数学抽象素养和数学运 础上.用符号语言刻画集合 算素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.集合中的元素只能是数、点、代数 情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始 式吗？ 人是康托尔(1829一1920，德国数学家).集合 2.某班所有的高个子男生能否构成一个 论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出 集合？ 现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合 论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代 数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学 情景2：高一开学第二天，学校通知：上午 [知识点二]元素与集合的关系 8点，在学校体育馆举行军训动员大会」 1.元素与集合的表示 [问题]这个通知的对象是全体高一学生还 通常用 表示集合； 是个别对象？ 通常用 表示集合中的 元素. 2.元素与集合的关系 [知识梳理] 知识点 关系 概念 记法 读法 [知识点一]元素与集合的相关概念 如果 1.元素：一般地，把 统称为元素，通 元素 属于 “a属于A” ,就说a属于A 常用小写拉丁字母a,b,c,…表示 与集 如果 2.集合：把一些 组成的总体叫做集 合的 关系 不属于 ,就说a a庄A“a不属于A” 合，简称为 ,通常用大写拉丁字母 不属于A A,B,C,…表示 3.集合相等：构成两个集合的元素是 的 ?思考3.元素与集合之间有第三种关系吗？ 4.集合中元素的特性： 、互异性和无 序性. 数学·必修第一册 [知识点三] 常见的数集及符号表示 方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替 竖线，写成 或 縈 非负整数集 正整 有理 整数集 实数集 (自然数集) 数集 数集 ?思考6.集合A={x|x-1=0}与集合B= {1}表示同一个集合吗？ ?思考4.N与N*(N+)有何区别？ [预习自测] [知识点四]集合的表示 1.下列各组对象中不能构成集合的是( 1.列举法：把集合的所有元素 出 A.某校高一(2)班的全体男生 来，并用花括号“ ”括起来表示集合 B.某校全体学生的家长 的方法叫做列举法。 C.李明的所有家人 D.王明的所有好朋友 ②思考5.一一列举元素时，需要考虑元素的 2.设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的 顺序吗？ 是 () A.0∈A B.aA C.a∈A D.a=A 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中 3.下列四个关系式：①5∈R:②Q:③0∈ 所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的 N;④0∈{0}.其中正确的个数是 集合表示为 ,这种表示集合的 A.1 B.2 C.3 D.4 课堂。互动学案 题型一 集合的概念 汇思路点拔了“根据集合元素的确定性 [例1]考查下列每组对象能否组成一个集 判断， 合，并说明理由。 (1)2026年全国高考数学试卷中的所有 难题； (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞 船交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员. ·2· 第一章集合与常用逻辑用语 规律方法 ⊙[变式训练] 判断一些对象能否构成集合的方法 2.集合A中的元素x满足写∈N,r∈N,则 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断 其能否构成集合的关键 集合A中的元素为 (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是 题型 集合中元素的特性 要找到一个明确的衡量标准， [例3]已知集合A含有三个元素1,0，x.若 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性 x∈A,求实数x的值 ◇[变式训练] 1.(多选)下列说法正确的是 ( [思路点拨]可令x=1,0或x解得x A.中国的所有直辖市可以组成一个集合 的值 B.高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 C.正偶数的全体可以组成一个集合 D.大于2014且小于2026的所有整数不能组 成集合 题型三 元素与集合的关系 [例2]下列关系中正确的个数为 ①W2∈Q;②0tN;③π庄R;④|-4|∈Z A.1 B.2 C.3 D.4 [思路点拨]先明确符合Q、N、R及Z的 含义，再判断√2,0，π，|一4|与相应数集的 关系 规律方法 1.判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给 出，只要判断该元素在已知集合中是否 出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集 合，只要判断该元素是否满足集合中元 规律方法 素所具有的特征即可，此时应首先明确 根据集合中元素的特性求解字母取值（范 已知集合中的元素具有什么特征， 围)的3个步骤 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 求解户根据集合中元素的确定性，解出字母所有取值 当a∈A时，则a一定等于集合A中的 检验？根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验 某个元素.反之，当a任A时，结论恰恰 作答？ 写出所有符合题意的字母的取值 相反 利用上述结论建立方程（组）或不等式 ◇[变式训练] (组)求解参数即可，注意根据集合中元 3.集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两 素的互异性对求得的参数进行检验， 个元素1和a,若P与Q相等.则a= ·3· 数学·必修第一册 题型四列举法和描述法的灵活运用 规律方法 [例4]用适当的方法表示下列集合： 用列举法和描述法表示集合的三点要求 (1)比5大3的数组成的集合： 日 明确集合中的元素 (2)方程x2+y一4x+6y+13=0的解集； 白 明确元素满足的条件 (3)不等式x一3>2的解的集合； (4)二次函数y=x2一10图象上的所有点组成 根据集合中元素的特点来 目 的集合 选择表示集合的方法 [思路点拨](3)(4)应选描述法，(1)(2)应选列 (1)根据表示集合的元素的特点选择适当 举法 方法表示集合，一般要符合最简原则 (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜 用列举法表示.描述法既可以表示元素 个数无限的集合，也可以表示元素个数 有限的集合. ◇[变式训练] 4.选择适当的方法表示下列集合 (1)Welcome中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合； y=x, (3)二元二次方程组 的解集； (y=x2 (4)所有正三角形组成的集合. 第一章集合与常用逻辑用语 随堂。步步夯实 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是() 4.由实数x,-x,x√，x所组成的集合 A.拥有手机的人B.2026年高考语文难题 里面元素最多有 个. C所有有理数 D.小于π的正整数 5.已知集合A由元素a-3,2a-1,a2-4构 2.下列说法正确的有 成，且一3∈A,求实数a的值. ①1∈N:@5∈N:③2∈Q:④2+E∈Q: ⑤}z A.1个B.2个C.3个D.4个 3.集合A={yly=x2+1},集合B={(x,y)川 y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).选项中元 素与集合的关系都正确的是 () A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B @温馨提 D.(3,10)∈A,且2∈B 学习至此，请完成配套训练 1.2集合间的基本吴系 课程标准 素养解读 会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表示集合 理解集合之间包含与相等的含义，能 间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和 识别给定集合的子集 直观想象素养 课前。预习学案 [情境引入] 这天，正巧公孙龙骑着白马来到函谷关 关吏说：“你人可入关，但马不能.” 公孙龙辩道：“白马非马，怎么不可以过 关？”关吏说：“白马是马.” 这一则寓言故事.对于一般人，说“白马是 公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣， 马”就如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确 无误.怎么可能“白马非马”呢？如果赵国的白 但仍坚持说：“按照规定只要是赵国的马就不 马组成集合A,赵国的所有马组成集合B. 能入关，管你是白马还是黑马.” [问题](1)集合A中的元素与集合B中的 公孙龙微微一笑，道：“‘马’是指名称而 元素的关系是怎样的？ 言，‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个 (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 概念。‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和 (3)故事中的“白马非马”是为何意？ ‘马’或‘马’和‘白’，这是两个不同的概念。比 如说你要马，给黄马、黑马可以，但是如果要白 马，给黑马、给黄马就不可以，由此证明‘白马 和‘马’不是一回事！所以说白马非马.” ·5·数学·必修第一册 学习讲义 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 课前预习学案 情境引入 提示通知的对象是全体高一学生， 知识梳理 知识点一、1.研究对象2.元素集3.一样4.确定性 知识点二、l.大写拉丁字母A,B,C,…小写拉丁字母a,b C.. 2.a是集合A中的元素a∈Aa不是集合A中的元素 知识点三、NN'或N+ZQR 知识点四、1.一一列举{}2.{x∈AP(x)}{x∈ A:P(x)}{x∈A:P(x)} [思考] 1.提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也 可以是现实生活中的各种各样的事物或人等， 2.提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个 子男生没有明确的标准， 3.提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A” 与“a任A”这两种结果. 4.提示：N”是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有 的正整数组成的集合，所以N比N(N+)多一个元 素0. 5.提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，例如： {a,b}与{b,a}表示同一个集合. 6.提示：A={x|x-1=0}={1}与集合B表示同一个 集合， 预习自测 1.D2.C3.C 课堂互动学案 [例1][解](1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是 无法确定的，故不能组成一个集合；(2)元素“观众”是确 定的，所以能组成一个集合；(3)接近1的实数没有一个 明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一 个集合；(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以 不能组成一个集合 [例2]A[①√2是无理数，∴√2Q,故①错误； ②，0是非负整数，.0∈N故②错误； ③π是实数，π∈R,故③错误； ④，|一4|=4是整数，∴.|-4∈Z,故④正确.] [例3][解]若x=0,则x=0,此时集合A中有两个相 同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去. 若x2=1,则x=士1. 当x=1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当x=一1时，集合A中三个元素为1,0，一1，符合. 若x=x,则x=0或x=1, 不符合互异性，都舍去. 综上可知：x=一1， ·36 参芳答案 「例41「解](1)比5大3的数显然是8，故可表示为 {8. (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为：(x-2)2+ 0十3》=0…{=2，÷方程的解柴为2，-3)1. (y=-3, (3)由x-3>2,得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5} (4)“二次函数y=x一10的图象上的所有点”用描述法 可表示为{(x,y)ly=x2-10. 变式训练 1.AC[B中，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素 的确定性，所以B错误：D中的所有整数能组成集合，所 以D错误.] 2解折：由32∈N,x∈N知z≥0,3>0，且z≠3，故 0E<3.又x6N,故=0,12.当=0时，3=2 N:者=1时，3-3∈N:当=2时写2=6∈N故 6 集合A中的元素为0,1,2. 答案：0,1,2 3.解析：由题意知a=4,即a=士2. 答案：±2 4.解：(1)列举法：列举出所有字母得{W,e,l,c,0,m}. (2)描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以用描述 法表示为{xx=2k,k∈N}. (3)列举法：求出演方程组的解，为1或{-0 y=1 所 y=0, 以用列举法表示为{(0,0)，(1,1)} (4)描述法：{xx是正三角形}. 随堂步步夯实 1.ACD2.B3.C4.2 5.解：因为一3∈A,所以a-3=一3或2a一1=一3或a 4=-3. 若a一3=一3，则a=0,此时集合A={一3，一1，一4}，符 合题意 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3,-3} 不满足，集合中元素的互异性， 若a2-4=-3,则a=1或a=-1(舍去)，当a=1时集 合A={-2,1,-3},符合题意.综上可知，a=0,或a =1. 1.2集合间的基本关系 课前预习学案 情境引入 提示(1)集合A中的元素都是集合B的元素， (2)A是B的子集. (3)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马 组成的集合不相等】 6