12.1图形的平移（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

12.1图形的平移 题型一   生活中的平移现象 1．（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北随州·期中）广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 题型二  根据平移的性质 求线段长或周长 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，．现将沿方向平移得到，与相交于点D，若点恰好在的平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将直角三角形向右平移4个单位长度，得到直角三角形，连接.若三角形的周长为24，则四边形的周长是_______． 4.．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 题型三  根据平移的性质 求面积 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 2．（广东深圳市红岭教育集团2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 题型四 根据平移性质求角的度数 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将沿方向平移，得到，若，，求的度数． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 题型五 根据平移性质判断结论正误 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，是由平移得到的，则有①；②；③；④，以上结论正确有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 题型六 点的平移规律 1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，其中且．则下列结论：①；②轴；③轴；④若点，则点在线段上．正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 4．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 5．（23-24八年级下·天津宁河·期中）如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 6．（25-26七年级下·湖北随州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 7．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．求的值． 题型七 平移的实际应用 1．（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 2．（25-26七年级下·云南昆明·期中）劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 题型一 网格中的平移问题   1．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； (2)过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； (3)经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 2．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图．                                                                             (1)如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； (2)四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； (3)在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形各顶点的坐标分别为，，，，长方形EFGH各顶点的坐标分别为，，，．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形，则平移的距离为______； (2)在（1）平移的过程中，设长方形与长方形重叠的面积为S，与之间的距离为d． ①请直接写出平移过程中S的最大值为______； ②求当S取得最大值前S与d之间的函数表达式； ③若平移的速度为每秒个单位，求时的运动时间． 5．（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 题型二  几何动点问题 1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度/s的速度沿x轴向右移动． (1)点B的坐标为________； (2)当时，点P的坐标为________，点Q的坐标为________； (3)当点P，Q满足轴时，求t的值． (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形的面积为10时，求点P的坐标． 2．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移到线段，且点D在x轴上． (1) ，点C的坐标为 ； (2)如图2，过点B作直线轴，直线上有一动点P，以每秒2个单位长度从点B向方向运动，运动时间为t秒，连接与线段交于点Q，连接， ①用含t的式子表示三角形的面积； ②当t为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； 3．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 题型三 平移中的新定义问题 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 2．（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 题型一 平移中的探究规律题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是______． 题型二 利用平移求最值 1．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 2．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）探索最短距离 背景材料： 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想，在物流配送、人工智能等路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． (1)如图1，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，山峰到河流的垂直距离为，营地到河流的垂直距离为，山峰与营地的水平距离是，则将军走过的最短路径的总长度为_____． (2)如图2，某工厂计划在一条笔直的公路上建设换衣间、工具室，换衣间与工具室之间的距离为．工人每天从点进入大门，先去换衣间换成工装，再去工具间拿上工具，最后走到道路同侧的车间点． 换衣间与工具室应该建在什么位置，使得工人走路的总路程最短？请你在图3中绘制出点、的具体位置，保留作图痕迹． 若大门到公路的垂直距离为，车间到公路的垂直距离为，大门到车间的水平距离为，则工人走过的最短路程是_____． (3)如图4，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，点与点的水平距离为，垂直距离为，从处到达处，需经两座桥（桥宽不计），两座桥都垂直于河岸，则从点到点的最短距离为_____． 题型三 平移综合题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移个单位长度． (1)【操作】在图中分别描出点从点出发平移次和平移次后可能到达的所有点． (2)【探究】 ①观察图象，判断平移次后可能到达的所有点是否在同一条直线上，若是，求出直线的解析式，并证明，若不是，请说明理由； ②直接写出平移次后可能到达的点所在图象的解析式． (3)【应用】 若点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长满足，直接写出点的坐标． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1图形的平移 题型一   生活中的平移现象 1．（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 【答案】A 【分析】平移的定义是：物体沿直线方向移动，移动过程中物体本身方向不发生改变，无绕定点的转动． 【详解】解：A.拉出抽屉时，抽屉沿直线做方向不变的移动，符合平移的定义，属于平移； B.放飞风筝时，风筝运动中方向会不断变化、伴随转动，不属于平移； C.转动方向盘是绕中心点的旋转运动，不属于平移； D.荡秋千是绕悬挂点的摆动，属于旋转类运动，不属于平移． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移只改变图案的位置，不改变图案的大小，方向和形状，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图案是由机器人平移得到的． 4．（24-25七年级下·湖北随州·期中）广水市以清代古民居为代表，保存了一批精美的雕花窗棂传统建筑．下面四幅图是在窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 题型二  根据平移的性质 求线段长或周长 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质．根据平移的性质有：，即可解答． 【详解】解：沿着射线向右平移得到， ， ， ，， ． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，．现将沿方向平移得到，与相交于点D，若点恰好在的平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，从而把的周长转化为计算求解即可； 【详解】解：， ， ， 点恰好在的平分线上， ， ， ， 的周长为：， ，．现将沿方向平移得到， ， ， 的周长为：； 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将直角三角形向右平移4个单位长度，得到直角三角形，连接.若三角形的周长为24，则四边形的周长是_______． 【答案】32 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点连线的长度等于平移距离，将四边形的周长转化为的周长与倍平移距离的和即可求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 因为四边形的周长， 又因为， 所以四边形的周长， 因为的周长为， 所以， 所以四边形 的周长 ． 4.．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则， ∴阴影部分的周长为：． 题型三  根据平移的性质 求面积 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 【答案】D 【分析】由题意易证：即可解决问题． 【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ， ． 2．（广东深圳市红岭教育集团2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，设与交于点，根据平移的性质，结合等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据，利用梯形的面积公式即可得出阴影部分面积． 【详解】解：如图，过点作于，设与交于点， ∵， ∴， ∵将沿着一定方向平移到的位置， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，的边长为3，把沿方向平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 / 【分析】本题考查了平移的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用平移前后图形的高不变，先求出三角形的高，再计算阴影部分面积；易错点是混淆平移距离与线段长度，误将的长度直接作为阴影部分的底边长． 先根据平移的性质，结合的面积求出的高，再计算阴影部分的底边长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，与的高相等，设高为． 解得 故答案为：． 题型四 根据平移性质求角的度数 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，将沿方向平移，得到，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得，继而得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 题型五 根据平移性质判断结论正误 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，是由平移得到的，则有①；②；③；④，以上结论正确有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；据此即可判断求解． 【详解】解：由平移的性质可知，①；②；③，正确； ④，不一定成立，故不正确． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平移的性质：对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形逐一判断四个结论即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形纸板中，，将纸板沿射线方向平移得到，与交于点．下列四个结论：①；②；③若，四边形面积为30，则平移距离的长为5；④若，则．其中正确的有________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】 利用平移的性质即可判断①②③，证明，，即可判断④． 【详解】解：由平移的性质得，，，故①②正确； ∵， ∴， ∵四边形面积为30， ∴，即， ∴，即平移距离的长为5，故③正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④错误． 综上，正确的结论有①②③． 题型六 点的平移规律 1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，其中且．则下列结论：①；②轴；③轴；④若点，则点在线段上．正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据已知点的坐标逐一判断结论即可. 【详解】解：①∵ ，，， ∴向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到， 向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到， ∴线段向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到， ∴ ，故①正确； ② ∵ ，，两点纵坐标相等 ∴ 轴，故②正确； ③ ∵ 平行于轴的点横坐标相等，横坐标为，横坐标为 又∵ 已知 ∴ 不平行轴，故③错误； ④ ∵ 线段上所有点纵坐标都为，横坐标范围为 ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 点满足线段的范围，即在线段上，故④正确. 综上，正确结论为①②④. 3．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【答案】2 【分析】平面直角坐标系中，点的平移遵循规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．据此列方程组解答． 【详解】解：，先向下平移4个单位（纵坐标减4），再向右平移3个单位（横坐标加3），得到，因此可得方程组： 横坐标：，解得； 纵坐标：，解得； 因此． 4．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】或 【分析】解决本题的关键是进行分类讨论，在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点的纵坐标相同，可求点B的纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可得点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， 又∵，可能右移，横坐标为； 可能左移横坐标为， ∴点B的坐标为或． 5．（23-24八年级下·天津宁河·期中）如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质得，，再根据顶点O、P、M坐标可知，线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点，最后由平移的坐标特征即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点， ∴顶点N的坐标是． 6．（25-26七年级下·湖北随州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， ∴，， ∴，； （2）解：∵将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点A，B，的坐标分别为，，， ∴，点到的距离为， ∴， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ∴， 解得：，即； 如图，当M在B右侧时， ∴， 解得：，即． 7．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．求的值． 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 题型七 平移的实际应用 1．（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【答案】地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期中）劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 【答案】(1) (2)故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地 【分析】（1）通过平移拼接，将含小路的草坪转化为边长的正方形，计算面积即可； （2）按长宽比设未知数，求出所需白菜地的实际长，与空地边长比较判断是否可行． 【详解】（1）解：根据题意可知，草坪种植的面积为． （2）解：设白菜地的长为，则宽为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则白菜地的长为，宽为， ，， ，则， 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【答案】(1)草坪的总面积为平方米； (2)草坪一年维护总费用为1155元． 【分析】（1）左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形，即总面积为，化简即可； （2）将，代入求出总面积，再计算维护费即可． 【详解】（1）解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 平方米 答：草坪的总面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米） （元） 答：草坪一年维护总费用为1155元． 题型一 网格中的平移问题   1．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； (2)过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； (3)经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据的坐标建立坐标系，再确定的坐标即可． （2）根据平移的性质确定格点即可． （3）根据顶点移到点确定平移方式，再确定即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． ∴ （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，三角形即为所求． 2．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)，平行且相等 【分析】（1）先确定平移方式，再画出点，顺次连接即可； （2）根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）设点的坐标是，则，求出的值即可，再根据平移的性质即可得． 【详解】（1）解：∵随着点平移到点， ∴平移方式是：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 画出平移后新如图所示： ． （2）解：由（1）已得：平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵， ∴，，， 即，，． （3）解：设点的坐标是， ∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 如图，连接线段， 由平移的性质得：线段与之间的关系是平行且相等． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）在由小正方形组成的方格纸中，每个小方格的边长均为1．A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图．                                                                             (1)如图，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段，连接，得到四边形； (2)四边形的面积为______，点P是四边形外一点，过点P作直线，使直线平分四边形的面积； (3)在图中的格点上找一个点Q，使得的面积为4，满足条件的点Q的个数为______． 【答案】(1)见解析 (2)12；图见解析 (3)8 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可；作出直线，使直线经过四边形对角线的交点即可； （3）先求得的长以及边上的高，确定，找出，过作出的平行线，找到对应格点即可判断． 【详解】（1）解：四边形如图所示； （2）解：四边形的面积为； 直线如图所示； （3）解：设边上的高为， ∵， ∴，解得：， 如图所示，满足条件的点Q的个数为8个． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形各顶点的坐标分别为，，，，长方形EFGH各顶点的坐标分别为，，，．平移长方形得到长方形，且点的坐标为． (1)画出长方形，则平移的距离为______； (2)在（1）平移的过程中，设长方形与长方形重叠的面积为S，与之间的距离为d． ①请直接写出平移过程中S的最大值为______； ②求当S取得最大值前S与d之间的函数表达式； ③若平移的速度为每秒个单位，求时的运动时间． 【答案】(1)图见解析，； (2)①；②；③或． 【分析】（1）根据题意画出长方形，再算出平移距离即可； （2）①由平移过程中S的最大值为长方形的面积即可求解； ②由长方形的面积为长乘以宽，在平移的过程中，长度始终不变，可得答案； ③分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：如图， 长方形即为所求， 平移的方向为点到， ∴平移的距离为：； （2）解：①平移过程中S的最大值为长方形的面积， ， ， ∴； ②∵长方形的面积为长乘以宽，在平移的过程中，长度始终不变，， ∴S与d之间的函数表达式为； ③最大面积为4，则重叠面积为2有两种情况： 第一种情况：如图，刚进入有重叠，，则， ∴， 第二种情况：离开时， 当时，由图可知，此时平移的距离d为， ∴， 综上所述：t的值为或． 5．（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 题型二  几何动点问题 1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度/s的速度沿x轴向右移动． (1)点B的坐标为________； (2)当时，点P的坐标为________，点Q的坐标为________； (3)当点P，Q满足轴时，求t的值． (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形的面积为10时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，以及正确列出一元一次方程． （1）根据题意，直接求得点的坐标即可； （2）根据平移方式以及时间，求得坐标即可； （3）根据可得两点的横坐标相等，列出方程求解即可； （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴， 可得的横坐标为， 由点B到x轴的距离是4可得的纵坐标为， 则点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 当时，，则，可得， ，可得， 故答案为：，； （3）设经过t秒后，，此时两点的横坐标相等， 两点的横坐标分别为，， 则，解得； （4）解：设经过t秒后，四边形的面积为10， 由点P移动到y轴左侧可得，，此时， 则四边形的面积为， 解得， ，则点的坐标为． 2．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移到线段，且点D在x轴上． (1) ，点C的坐标为 ； (2)如图2，过点B作直线轴，直线上有一动点P，以每秒2个单位长度从点B向方向运动，运动时间为t秒，连接与线段交于点Q，连接， ①用含t的式子表示三角形的面积； ②当t为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； 【答案】(1)， (2)①三角形的面积为；② 【分析】（1）由点D在x轴上，得到，解得，则，再根据平移得到点C的坐标； （2）①由运动可得，再求出点到直线的距离，最后根据三角形的面积为计算即可； ②连接，由平移可得，由等底等高可得，再根据三角形的面积等于三角形的面积，得到，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵且点D在x轴上， ∴，解得， ∴， ∵线段平移到线段，且向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到， ∴向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即点C的坐标为； （2）解：①由运动可得， ∵点C的坐标为，过点B作直线轴， ∴点到直线的距离， ∴三角形的面积为； ②∵，，， ∴， 连接， 由平移可得， ∴由等底等高可得， ∵三角形的面积等于三角形的面积，即， ∴， ∴， ∴，解得， ∴当时，三角形的面积等于三角形的面积． 3．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 题型三 平移中的新定义问题 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 【答案】 【分析】根据“2→3变换点”的定义，可求解点的坐标；根据点在一次函数上，设出坐标，由此可得的坐标，再根据垂直的条件联立求解即可． 【详解】解：①已知点的逆变换点为，逆变换是先向左平移个单位，再向下平移个单位． 设点的坐标为，根据逆变换规则可得： ， ， 所以点的坐标为． ②设点的坐标为， 因为点在一次函数的图象上， 所以， 点经过“变换”后得到点的坐标为， 将代入可得的坐标为， 已知过点与点的直线与直线垂直， 直线的斜率为，则过点与点的直线斜率为， 根据斜率公式，可得，即， 得：。解得：， 将代入的坐标中， 可得的横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 2．（25-26八年级下·广西桂林·期中）在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相伴点的定义，结合点的平移规律得到： 点的相伴点坐标为． （1）直接代入原坐标计算即可； （2）由相伴点反向推导点A的坐标； （3）先写出点B的相伴点坐标，再利用y轴上点的横坐标为0的性质求解． 【详解】（1）解 根据题意, 点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到相伴点，因此点的相伴点坐标为． 将代入得 ， 因此，点的相伴点坐标为． （2）设点的坐标为，则点的相伴点满足， 解得 ， 因此点的坐标为． （3）点 的相伴点坐标为，即， 因为点的相伴点在轴上, 轴上点的横坐标为 ， 可得 ， 解得． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． (1)点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． (2)在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)①2；；② 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）①求出的半交换点，，进而得到点T的半交换点在线段上，根据任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到的横纵坐标的范围，进行求解即可；②求出平移后的长方形的顶点坐标，根据线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到，结合，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的半交换点为， ∵点N的半交换点为， ∴点N的坐标为，即； （2）解：①∵点，， ∴点的半交换点为，， ∵为线段上的任意点， ∴T的半交换点在线段上， ∵线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为2； ②∵将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形， ∴，，，， ∵点的半交换点为，，线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 题型一 平移中的探究规律题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了对称与平移的性质．首先由是等边三角形，点B、C的坐标分别是、，求得点A的坐标，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点A的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，继而求得把经过连续9次这样的变换得到，则点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图，过作交于， 点B、C的坐标分别是、， ∴轴，， ∵是等边三角形， ∴，轴，， ∴， ∴点A的坐标为， 根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第2次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第3次变换后的点A的对应点的坐标为，即， 第n次变换后的点A的对应点的为： 当n为奇数时为， 当n为偶数时为， ∴把经过连续9次这样的变换得到，则点A的对应点的坐标是：． 故答案为：． 题型二 利用平移求最值 1．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 2．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）探索最短距离 背景材料： 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想，在物流配送、人工智能等路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． (1)如图1，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，山峰到河流的垂直距离为，营地到河流的垂直距离为，山峰与营地的水平距离是，则将军走过的最短路径的总长度为_____． (2)如图2，某工厂计划在一条笔直的公路上建设换衣间、工具室，换衣间与工具室之间的距离为．工人每天从点进入大门，先去换衣间换成工装，再去工具间拿上工具，最后走到道路同侧的车间点． 换衣间与工具室应该建在什么位置，使得工人走路的总路程最短？请你在图3中绘制出点、的具体位置，保留作图痕迹． 若大门到公路的垂直距离为，车间到公路的垂直距离为，大门到车间的水平距离为，则工人走过的最短路程是_____． (3)如图4，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，点与点的水平距离为，垂直距离为，从处到达处，需经两座桥（桥宽不计），两座桥都垂直于河岸，则从点到点的最短距离为_____． 【答案】(1) (2)见解析； (3) 【分析】（1）通过作对称点，将“将军饮马问题”转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可； （2）“两定点定长线段” 的最短路径问题，核心是平移对称，把 “定长线段” 转化为固定距离，再转化为两点之间线段最短的问题；构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可； （3）利用平移河宽，将折线问题转化为直线，根据两点之间线段最短进行确定最短路径，再构造直角三角形，根据勾股定理求解线段长即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于河边的对称点，连接交河边于点，连接，则，线段的长即为将军走过的最短路径的总长度， 设与交于点，过点作交河边于点，过点作交延长线于点， 根据题意得，，，， ， 在中，， 即将军走过的最短路径的总长度为； （2）解：如图，将点沿直线方向向右平移，得到，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，将点向左平移，得到点，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 根据对称的性质可知，， ，此时使得工人走路的总路程最短； 如图，设与交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点， 根据题意得，，，，， ，， 在中，， ， 即工人走过的最短路程是； （3）解：如图，过点作垂直于外河岸，过点作垂直于外河岸，连接，分别与内河岸相交于点，；过点作垂直于外河岸于点，过点作垂直于外河岸于点，则，则， 由作图可知： ， 即从点到点的最短路径为，，即为两座桥的位置， 延长与交于点，则， 根据题意得，，，， ，， 在中，， ， 即从点到点的最短距离为． 题型三 平移综合题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 【答案】6或 【分析】根据题意判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，再分类求解，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由平移的性质得，点A，F，C，D共线， ∴， ∴四边形始终是平行四边形， ∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，此时点重合，如图 ∴． ∴， ②当四边形是矩形时，如图 ∴， 设， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 综上所述：当6或时四边形是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移个单位长度． (1)【操作】在图中分别描出点从点出发平移次和平移次后可能到达的所有点． (2)【探究】 ①观察图象，判断平移次后可能到达的所有点是否在同一条直线上，若是，求出直线的解析式，并证明，若不是，请说明理由； ②直接写出平移次后可能到达的点所在图象的解析式． (3)【应用】 若点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1)描点见解析 (2)①是，，证明见解析；② (3)或 【分析】（1）分别列举平移次和次的所有方向组合，计算对应坐标后在坐标系中描点； （2）①先取平移次的两个端点用待定系数法求直线解析式，再验证第三个点满足该解析式；②设向右平移次，则向上平移次，用表示横纵坐标，消去参数得到次平移的通用解析式； （3）设向右平移次、向上平移次，由点在上得，结合路径长的范围求整数解，进而得到点坐标． 【详解】（1）解：平移次后可能到达的点：向右平移次：；向上平移次：； 平移次后可能到达的点：两次都向右：；一次向右一次向上：；两次都向上：； 在坐标系中描点如下： （2）解：①是，平移次后可能到达的所有点在同一条直线上； 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上， ∴、、在同一条直线上； ②； 平移次后，设向右平移了次（为整数，），则向上平移了次， 横坐标为，纵坐标为， 因此，平移次后可能到达的点所在图象的解析式为：； （3）解：点的坐标为或； 设向右平移次，向上平移次（，为非负整数），总平移次数， 点在直线上，故横坐标等于纵坐标，即， 路径长为总移动距离：， 代入得， 由，得， 因为是整数，所以或： 当时，，点； 当时，，点， 综上，点的坐标为或． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．    如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： (1)在图3中，和的数量关系为_________； (2)在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； (3)在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： (4)在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)猜想正确，理由见解析 (4) 【分析】（1）由，根据线段的和差关系等量代换即可证得； （2）由勾股定理可得的长，由，可得的长，然后根据列式计算即可； （3）由平移可得，由平行线的性质可得，，根据等边对等角结合等量代换证明，，即可证得； （4）由平移可知，，进而表示出，，，根据，可表示出，，然后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：，即， ，即； （2）解：，，， ， ， ，即， ，， ， ，即纸片的平移距离为； （3）解：猜想正确，理由如下： 由平移可得， ，， ，， ，， ，， ，， 和均为等腰三角形； （4）解：由平移可知，，则， 由（3）知，，， ， 设，，， ， ， ，， ， 当点与点重合时，停止平移，此时， ， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.1图形的平移 A 基础达标题 题型一 生活中的平移现象 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 题型二根据平移的性质求线段长或周长 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】32 4.【答案】11 题型三根据平移的性质 求面积 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】1.5 题型四根据平移性质求角的度数 1. 【详解】解：将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF,∠B=75°，∠F=25°， ∴△ABC≌△DEF, .∠ACB=∠F=25° .∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-75°-25°=80°， ∴.∠A的度数为80° 1/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 【详解】(1)解：由平移的性质可得AB∥DE, .∠BAD+∠2=180° ,∠BAC+∠1+∠2=180°， .∠1=30°，∠2=80° ∴.∠BAC=70°. (2)解：∠BAD=∠BED,证明如下： 由平移的性质可得AB∥DE,AD∥BE, .∠BAD+∠2=180°，∠BED+∠2=180° ∴.∠BAD=∠BED 题型五根据平移性质判断结论正误 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】①②④ 4.【答案】①②③ 题型六点的平移规律 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】2 4.【答案】 (,3)（-5,3) 或 5.【答案】 (6,3) 【详解】(1)解：将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， :6-45-2)3-40-2） .C(-1,3),D(-1-2): (2)解：将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD, .ABII CD,AB=CD 2/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形ABCD是平行四边形， ·点A,B,C的坐标分别为B,5),(很，0)13) 3-(-1)=4 :AB=CD=5,点B到CD的距离为3 S平行四边形ABCD=4×5=20 1 .S.ABC S年行西边影0一之 ×20=10 M(m,0) 设 D(-1,-2)」 如图，当M在B左侧时， 以 C M O、 B D 1 .SM8p=)×2×(3-m)=10 2 M(-7,0) 解得：m=-7,即M 如图，当M在B右侧时， M B D .SMB=)×2×(m-3)=10 2 解得：m=13,即M(3,0) 7. 3/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：“点 (6,2) 在直线=：+8 6k+8=2, .k=-1, y=-x+8 直线解析式为 如图，过点B作BM⊥OE于点M,过点C作CN⊥OF于点N, W山- B ME 则∠AMB=90°，∠CND=90°， :.∠ABM+∠BAM=90°， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=DA, ∴.∠DAO+∠BAM=90°. ∴.∠DAO=∠ABM ∴△DAO≌△ABM(AAS) ∴.OA=BM,OD=AM B(6,2) ∴.BM=2,OM=6 .0A=2, .AM=4, .OD=4 CDN≌ADAO(AAS) 同理可得 ∴.DN=OA=2,CN=DO=4 ..ON =OD+DN=6. 4/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(4,6) 将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线I上， C(4,6-m) 则平移后点 ∴.6-m=-1×4+8. 解得m=2 题型七平移的实际应用 1. 1.6+0.8=2.4(m) 【详解】解： 2.4×2=4.8(m2） 4.8×50=240(元)， 答：地毯的长度至少需要2.4米，购买地毯至少需要240元. 2. (20-1)×(20-1)=361m2 【详解】(1)解：根据题意可知，草坪种植的面积为 (2)解：设白菜地的长为3xm,则宽为2xm, 3x×2x=300 解得=5V2.5=-52 (不符合题意，舍去)， 则白菜地的长为 ，宽为102m 52m 15√2=√45020=√400 450>400,则152>20 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地， 3. 【详解】(1)解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 (3a+b-b)(2a-b) 5/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3a(2a-b) =(6a2-3ab）平方米 答：草坪的总面积为 6a2-3ab)平方米： (2)解：当a=20,b=1.5时， 原式=6×202-3×20×1.5 =2310(平方米) 2310×0.5=1155(元) 答：草坪一年维护总费用为1155元. B 能力提升题 题型一 网格中的平移问题 1. 【详解】(1)解：建立平面直角坐标系如图所示. C(4,2) B (2)解：如图，AM即为所求. (3)解：如图，三角形DEF即为所求 【详解】(1)解：：△ABC随着 P(八)平移到点 (x+4,y-2) 6/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .平移方式是：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， △AB,C 画出平移后新 如图所示： y C(-1,4) 5 4 2 5-y3219 2.3.4 4(-4,=0-2 3 =4 (2)解：由(1)已得：平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， A(4,-,B(11),C(1,4) 4(4+41-2).B+41-2)C(-1+4,4-2） 即4(0，-3).8(5-）C(3,2) (3)解：设M点的坐标是 M(m,n) :三角形4BC外有一点M经过同样的平移后得到点 M(5,3) .m+4=5,n-2=3 ∴.m=1,n=5 :M点的坐标是 1,5) MM,PP 如图，连接线段 7/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M C(-1,4) M B1,P1 5-432-10 12.3.45x 4-4.-0.-2 3 -5 由平移的性质得：线段MM1与PP之间的关系是平行且相等. 3. 【详解】(1)解：四边形ABCD如图所示： (2)解：四边形4BCD的面积为2×2×6x2=12, 直线如图所示： (3)解：设BC边上的高为h, BC=V22+22=2V2 :5ce=BCxh=2h=4,解得：有=2N: 2 如图所示，满足条件的点Q的个数为8个。 8/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 02 0, O B 06 备用图 4. 【详解】(1)解：如图，长方形AB'CD'即为所求， 9 8 7 6 5 --E 4 3 2 D 1 23456789x 3,4)B'(8,9) 平移的方向为点 到 .平移的距离为： V(8-3)2+(9-4)}=52 (2)解：①平移过程中S的最大值为长方形ABCD的面积， AD=V1+12=√2 CD=V22+22=2√2 :S=AD-CD=V2.22=4 ②：长方形的面积为长乘以宽，在平移的过程中，BC长度始终不变，BC=AD=V2, 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =v√2d ∴.S与d之间的函数表达式为 ③最大面积为4，则重叠面积为2有两种情况： √2d=2d=√2 第一种情况：如图，刚进入有重叠， ,则 9 8 7 6 5 A 3 C() 2 2 3 4 5 6789x t= =2N2s 1 2 第二种情况：离开时， 9 8 ----------- 7 6 5 …E B 3 C( 2 A 01 23456789x 当S=2时，由图可知，此时平移的距离d为4V2, 4v2 t= 1 -82s 2 10/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22s82s 综上所述：t的值为 或 5. △AB,C 【详解】(1)解： 即为所求. B -4-3-2-1 (2)解：如图可知： 4(4,4)B(1,2)C(4,-1) (3)解：△ABC在平移过程中扫过的面积为： S=S。ABc+SACG4 2×5x3+3x5 15 +15 2 45 2· 题型二 几何动点问题 1. 【详解】(1)解：点A的坐标为(6,0)，点B是第一象限的点，且BA1x轴， 可得B的横坐标为6， 由点B到x轴的距离是4可得B的纵坐标为4， 则点B的坐标为(6,4)， 故答案为：(6,4)： (2)解：由题意可得，BC=AO=6 11/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当I=2时，BP=3,则CP=BC-BP=3,可得P(3,4), 故答案为：3.4’2“月 (3)设经过t秒后，P№∥y,此时PQ两点的横坐标相等， P、Q 6-2tt 两点的横坐标分别为 则6-2t=t,解得t=2: (4)解：设经过t秒后，四边形PO2C的面积为10， 由点P移动到y轴左侧可得，t>3,此时CP=21-6, 则四边形P00C的面积为2(21-6+)×4=10， 11 解得t= 3 CP=2-6=4 则点p的坐标为手 【详解】(1)解： .D(a+3,a+2) 且点D在x轴上， ∴a+2=0,解得a=-2, D(1,0) :线段4B平移到线段CD,且80，-2》向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 (1,0) :1(40 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 (-4+1,0+2) 即点C的坐标为3,2) (2)解：①由运动可得BP=2t, -3,2 ,点C的坐标为 ,过点B作直线 BEy轴， 12/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C到直线BE的距 h=2-(-2)=4 “三角形PCB的面积为，BP×4x2I=, ②4(4,0).B(0-2）DL0) 1 :5a4m=2x5x2=5, 连接BD, D B 由平移可得AB∥CD, ∴由等底等高可得SABc=SMD=5, 三角 4C0的面积等于三角 BPO的面积，即 S△Mce=SABPO Ssace+Ssce=SsaP+Samce S.ABC=S.BPC 5=41,解得1=】 4 5 当(= 4时，三角形ACQ的面积等于三角形BPO的面积. 3. 【详解】(1)解：a+2+b-5=0 .a+220,b-5≥0 ∴.a+2=0.b-5=0. ∴a=-2,b=5, 13/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(-2,5)B(-5,0) A平移到D向下平移了5单位，向右平移5个单位， .B到C向下平移了5单位， “C(0,-5) D(3,0) (2)解：由(1) 当点P在y轴上时， S.CPD=OD.CP 2 *3xCP=30 1 解得：CP=20, 点P的坐标 ,-25)或0,15) 当点P在x轴上时， 1 S.e =70C.DP 1 ×5×DP=30 解得：DP=12, 点P的坐标为 5.0)或-9,0) 放点P的坐标0-25)或015)或5,0)或-9,0). (3)解：S.con=2 ×5×3=7.5<9 N不在△COD内， N(m,n) ~E,F运动速度之比是1：2， .CF=2DE 14/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设DE=k,CF-2k, 当N在x轴上方时，如图： D S.CDN=S.DEN+S.CDE=S.CFN+S.CDF xk×n+)xkx5=×2k×(-m)+)×2kx3, 1 1 2 2 2 ∴.2m+n=1, 又Sa=8.aow+8am+5am-x3xn+分x3x5+×5x(-m）=9, 1 1 2 .3n-5m=3, 解得：m=0,n=1, .N(0,1) 当N在x轴下方时，作NG⊥x轴于G,NH⊥y轴于H,如图： F DG S.CDN=S.DFN -S.CDF=S.DEN -S.CDE .x2xm-xzkx3-2xkx(m)-2xkx5. .2m+n=1, 5om=5eaem-5cw-5c-5om=-nm-×5x3-X(m-3k(-n）X-5-小km=9, .5m-3n=33 15/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36 解得：m=, n=-61 11 3661 综上所述，N点坐标为(0，)或1i 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题 解题的关键， 题型三平移中的新定义问题 1. 【详解】解：①已知点B的逆变换点为C(1,2),逆变换是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位. 设点B的坐标为x,),根据逆变换规则可得： x=1+2=3」 y=2+3=5 所以点B的坐标为(3,5) ②设点P的坐标为(m,n), 1 因为点p在一次函数y=2x+3的图象上， 所以n= 2m+3 点P(m,川经过“2→3变换”后得到点P'的坐标为(m+2,n+3), 将n= m+3代入可得p的华标为a+2m+0, 1 已知过点B3,5)与点p的直线与直线y=-2x+3垂直， 1 直线y=一2x+3的斜率为2，则过点B与点p的直线斜率为2， 1 (- m+6)-51 根据斜率公式，可得2 m+2)-3=2,即2m+ =2, m-1 6 得：2m+1=2m-0。解得：m=9 16/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 将m=号代入p的坐标(m+2,2m+6中， 可得p的横坐标为+2-16 6 6、3 1x6 ,纵坐标为25 627 5, 1627 所以p的坐标为55 P(x,y 【详解】(1)解根据题意，点 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到相伴点，因此点P x+3,y+2) 的相伴点坐标为 将=1y=2 2f代入+3y+2 得x+3=1+3=4y+2=2+2=4 因此，点2 的相件点坐标为(44) x+3=5 (2)设点A的坐标为(x,),则点A的相伴点满足y+2=4, x=2 解得y=2, 因此点A的坐标为 2,2) (a,a+2) (3)点 的相伴点坐标为 +8a+2+2),即a+3a+到 因为点B的相伴点在'轴上，y轴上点的横坐标为0， 可得a+3=0, 解得a=-3】 3. M(0,6) 3,0) 【详解】(1)解：由题意，点 的半交换点为 2,-1) 点N的半交换点为 17/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-1×2,2×2) 点N的坐标为 m（-2,4) 即 E(m,n)F(m+k,n) (2)解：①，点 点EF的羊交换点为行》.F尽") ,T为线段EF上的任意点， ∴.T的半交换点T在线段EF上， ,线段EF上任意点T的半交换点在长方形ABCD的边上或内部， 、1<P3-2≤m<m+k≤-1， 22 六1≤n≤6， 0<m+k_m≤1 22 .0<k≤2， ∴.k的最大值为2； ②，将长方形ABCD沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形AB'CD, 6-4-286-4-c36-.D3-2 E 线段EF上任意点T的半交换点在长方形AB'CD'的边 上或内部， 1 -8≤n≤-2， 4s” ≤-1 2 ,解得3 3-t≥-4 2 ≤t≤7： 拓展培优题 18/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一 平移中的探究规律题 1. 【详解】解：如图，过A作AD L BC交BC于D, 3 2 1 -3-2-10 123 D7B-1 点B、C的坐标分别是 （-1,-1)(-3-1) .BC∥x轴，BC=2, ,△ABC是等边三角形， 六AB=BC=2'AD1x轴，BD=CD=)BC=1, AD-A-BD=3 “点A的坐标为(2，-1-V) 根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为(2+21+)，即0,1+)】 第2次变换后的点A的对应点的坐标为0+2，-1，即21-) 第3次变换后的点A的对应点的坐标为2+21+)），即(4,1+). 第n次变换后的点A的对应点的为： 当n为奇数时为(2m-2,1+V⑤)】 当n为偶数时为 (2n-2,-1-V5) 19/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “把△ABC经过连续9次这样的变换得到△AB'C',则点A的对应点的坐标是： (16,1+5) 故答案为： 16,1+5) 题型二利用平移求最值 1.【答案】 2.【答案】19 3. 【详解】(1)解：如图，作点A关于河边I的对称点A',连接AB交河边I于点P,连接AP,则 AP+BP=A'P+BP=A'B,线段AB的长即为将军走过的最短路径的总长度， 营地B 山峰A。 D 河流 H 设AA与I交于点C,过点B作BD⊥I交河边I于点D,过点A'作AH⊥BD交BD延长线于点H, 根据题意得，DH=A'C=AC=3m,BD=6m,A'H=12m, .BH BD+DH=6+3=9m. 在Rt△ABH中，A'B=√AH+BH=V12+9P=15m 即将军走过的最短路径的总长度为l5m: (2)解：①如图，将点A沿直线CD方向向右平移5m,得到A',作点E关于直线CD的对称点E,连接 A'E交直线CD于点N,将点N向左平移5m,得到点M,连接NE, E AA'll MN,AA'=MN, 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形A4NM是平行四边形， ∴AM=A'N, 根据对称的性质可知，WE=NE, AM+MN+NE=AN+MN+NE=A'E'+MN,此时使得工人走路的总路程最短： ②如图，设EE'与CD交于点H,过点A作AG⊥CD交CD于点G,过点A作A'Q⊥E'E交E'E延长线于 点0， E' G D A 根据题意得，AG=H0=20m,A0=GH=25m,EH=E'H=10m,AA'=MN=5m, .A'Q=AQ-AA'=25-5=20m.E'Q=E'H+HQ=10+20=30m, 在R△AE'Q中，AE'=VA'Q+Eg=N202+30=10N3m .AM+MN+NE=4'E'+MN =(10v13+5)m 即工人走过的最短路程是10，B+S)m (3)解：如图，过点A作AA垂直于外河岸，过点B作BB垂直于外河岸，连接AB',分别与内河岸相交 于点D',E';过点D'作D'D垂直于外河岸于点D,过点E作E'E垂直于外河岸于点E,则 A4'=DD'=6m,BB'=EE'=6m 北C D/IA' 王王国 D 111 111 Eh 伦 B B --H 由作图可知：AD+DD'+DE+EE'+BE =A'D'+AA'+D'E'+BB'+B'E' 21/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =AA'+BB'+(A'D'+D'E'+B'E A4'+BB'+A'B', 即从A点到B点的最短路径为AA'+BB+AB,DD',EE'即为两座桥的位置， 延长AA与BB交于点H,则A'H⊥B'H, 根据题意得，AA'=BB=6m,AH=22m,BH=18m, .AH=AH-AA'=22-6=16m,B'H=BH-BB'=18-6=12m, 在RaAB'H中，AB'=VAH'+BH=V62+12=20m .AD+DD'+D'E'+EE'+BE=AA+BB'+A'B'=6+6+20=32m, 即从A点到B点的最短距离为32m 题型三平移综合题 32 1. 【答案】6或 2. 【详解】(1)证明：如图所示，过点P作PT∥AB, D 由平移的性质可得AB∥CD, .PT∥AB∥CD .∠APT=∠BAP,∠DPT=∠CDP, .∠APD=∠APT+∠DPT=∠BAP+∠CDP. (2)解：①如图所示，设直线MN交x轴于点K, 22/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D BPO a=-2,k=6A(0,4) B(-20).D64) :MN∥AP,点P与原点重合， .MN∥OA,即MN∥y轴， .K(6,0) S.0=.o+wS.=14 ×2x4+9x6[6-(2]0K=14, .2 2 .OK=2 0(6,2) ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， Q B OPC 图3-1 AP∥D0. .∠AQD+∠PAQ=180° ∴.∠AQD+∠DAP+∠QAP=180° 23/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ·∠OAD=∠DAP 2 :∠AQD+∠DAP+)∠DAP=180, ·∠A0D=180-3 4DAP 由平移的性质可得AD∥BC, .∠BAD=180°-∠ABC=120° ∴.∠BAP=∠BAD-∠DAP=120°-∠DAP, <BAP=180 3 3∠DAP :∠A0D=∠BAP 2 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， B OP C 1图3-2 AP∥D2, .∠AQD=∠PAQ. :20D=DP, PQ-DAP :∠AQD=)∠DAP 2 由平移的性质可得AD∥BC, .∠BAD=180°-∠ABC=120°」 ∴.∠BAP=∠BAD-∠DAP=120°-∠DAP, .∠BAP=120°-2∠AQD: 24/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， ∠A0D=3∠BAP或∠BAP=120°-2LA0D 【详解】(1)解：平移次后可能到达的点：向右平移次： (L,0) 向上平移次：(0,2) 平移2次后可能到达的点：两次都向右：(2,0)，一次向石一-次向上.，2) 两次都向上：(0,4) 在坐标系中描点如下： 0 (2)解：①是，平移2次后可能到达的所有点在同一条直线上： 设直线的解析式为'=+b,把 2,0)(0.4代入，得 2k+b=0 b=4, [k=-2 解得b=4, .直线的解析式为y=-2x+4, 当x=1时，y=-2×1+4=2, 02 )在直线'=-2x+4上， :2,0Q).么2)在同-一条直线上： ②y=-2x+2n: 平移”次后，设向右平移了次（心为整数，0≤x≤”），则向上平移了-次， 25/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 横坐标为，纵坐标为 (n-x)=2n-2x 因此，平移n次后可能到达的点所在图象的解析式为：y=-2x+2n: (3)解：点2的坐标为 46,46).（48,48) 设向右平移a次，向上平移b次(a,b为非负整数)，总平移次数n=a+b, 点Q在直线y=x上，故横坐标a等于纵坐标2b,即a=2b, 路径长t为总移动距离：t=a×l+b×2, 代入a=2b得t=4b 由90≤t≤96，得22.5≤b≤24， 因为b是整数，所以b=23或24： 当b=23时，a=46,点 0(46,46) 当b=24时，a=48,点 Q(48,48) 综上，点P的坐标为 46,46)（48,48) 或 【详解】(1)解：“AD=BD,即 AD =BD. M0-D,D=B0,-DD,即40，=BD (2)解：∠ACB=90°，AC=8cm,BC=6cm, .AB=4C2+BC2=82+62=10cm AD=BD=CD :AD=BD=CD=AB=5cm,AD =5cm, AD =2D.D AD,+DD=AD 2D,D+D,D=5 26/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.D= 5 cm,即△ACD,纸片的平移距离为3cm; (3)解：猜想正确，理由如下： C.D ICD 由平移可得 ∴.∠AFD2=∠C∠C2=∠DEB AD=CD C2D,BD, ∴.∠A=∠C1∠C2=∠B ∴∠AFD,=∠A∠B=∠DEB ∴AD2=FD2BD=DE ∴△AD2F.△BDE 和 均为等腰三角形； AD2 AD-D2D =(5-x)cm (4)解：由平移可知， D,D=cm,则 FD2=AD2=(5-x)cm DE=BD =AD2=(5-x)cm 由(3)知， PE:PF:D,D=3:4:5 设PE=3张.PF=4hD,D=5 .D.D.=xcm PE= *,Pr= 5, ∴y=PE+PF+FD2+DE+D,D 34 写+亏x+5-+(6-+x 27/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 s104 x, D “当点9与点B重合时，停止平移，此时=5， 0<x≤5， y=10+号0<xs5) 28/28