微专题01 平移与几何变换综合（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题01 平移与几何变换综合 题型01 平移与平面直角坐标系的综合 这种题型通常将平移放置在直角坐标系中，考查平移前后点或图形坐标的变化规律，常与三角形/四边形面积、动点问题相结合，是填空和选择题的高频考点。 解题方法：坐标平移“加减法”与“割补法” 1. 坐标变换法则（核心公式）： (1) 点(x,y)平移：左右移改变x（右加左减），上下移改变y（上加下减）。 (2) 图形平移：图形上所有点发生同样的平移。若要求平移后图形上某点的坐标，只需对原坐标套用上述法则。 2. 面积计算技巧（通用思路）： (1) 当平移后与平移前的图形产生重叠或围成新图形时，求面积首选“割补法”。 (2) 巧妙利用平移的性质：阴影部分面积往往等于某个规则图形（如三角形、长方形）的面积，或者通过“整体减去空白”来求解。 3. 关键步骤： (1) 第一步：根据已知点的平移前后坐标，准确求出平移的向量（即向右/左几个单位，向上/下几个单位）。 (2) 第二步：将平移向量应用到未知点坐标上。 (3) 第三步：若求面积，画出准确的草图，标出各关键点坐标，利用底乘高或割补法计算。 1．（25-26七年级上·云南丽江·期中）已知坐标平面内有点，如果将坐标系向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么P点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标系平移后点的坐标变化． 【详解】解：∵坐标系向左平移2个单位， ∴点P横坐标增加2，即； ∵坐标系向上平移3个单位， ∴点P纵坐标减少3，即， ∴点P在新坐标系中的坐标为． 故选：C 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．熟练掌握了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系是解题的关键． 坐标系平移时，点在新坐标系中的坐标可通过点相对于原坐标系进行相反的平移得到．轴向上平移2个单位，相当于点向下平移2个单位；轴向左平移3个单位，相当于点向右平移3个单位． 【详解】∵轴向上平移2个单位， ∴ 点的坐标减少2； ∵轴向左平移3个单位， ∴ 点的坐标增加3． ∴ 新坐标，，即点在新坐标系中的坐标为． 故选D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知的顶点在坐标系中的坐标分别为：． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位后得．请在坐标系中画出，并写出点的坐标分别为______． (2)若与轴分别交于两点，则______． 【答案】(1)画图见解析，，， (2) 【分析】（）将的三个顶点分别向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，顺次连接即可得到，再根据图形写出各点坐标即可； （）利用待定系数法求出直线的解析式，得出点的坐标，进而即可求解； 本题考查了平移作图，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，，，， 故答案为：，，； （2）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，． (1)在坐标系中画出三角形并写出三角形的面积为______． (2)点是三角形内任意一点．将三角形平移至三角形的位置，点、、、的对应点分别是、、、．若点的坐标为，在坐标系中画出三角形． 【答案】(1)见解析，5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）先描出A、B、C并顺次连接A、B、C，再利用割补法求出对应的三角形面积即可； （2）根据点P和点的坐标可知平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，据此可得、、的坐标，描出、、病顺次连接、、即可． 【详解】（1）解；如图，即为所求， 的面积为：． 故答案为5； （2）解：如图，即为所求． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点均在坐标系的格点上，是的边上一点，经平移后点的对应点为， (1)请画出上述平移后的，并直接写出点、的坐标及以、、、为顶点的四边形的面积． (2)在（1）的条件下，为坐标系中的一点，且满足．，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，，以、、、为顶点的四边形的面积为12； (2)． 【分析】本题点的平移，左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；求四边形的面积通常整理为求几个三角形的面积的和． （1）横坐标加5，纵坐标加2，说明向右移动了5个单位，向上平移了2个单位；以、、、为顶点的四边形的面积可分割为以为底的2个三角形的面积； （2）根据题意画出图形，由点的位置，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ∴，， ∴以、、、为顶点的四边形的面积为； （2）解：如图，即为所作， ∴． 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 题型02 平移与线段、角度的计算综合 这类题目脱离坐标系，直接在几何图形（如三角形、长方形）中考查平移的基本性质。常以选择题或简单解答题的形式出现，重点检验对“对应关系”的把控。 解题方法：锁定“对应元素”的等价替换 1. 核心性质（万能钥匙）： (1) 对应点所连的线段：平行（或共线）且相等。 (2) 对应线段：平行（或共线）且相等；对应角：相等。 2. 通用思路： (1) 求线段长/周长：观察所求线段是否为原图形的“对应线段”（直接相等），或者是否处于由对应点连线构成的平行四边形/三角形中（利用平行四边形对边相等或三角形三边关系求解）。 (2) 求角度：寻找所求角所在的三角形或多边形，利用“对应角相等”将已知角的度数转移到目标位置，再结合三角形内角和、外角性质或平行线性质求出结果。 3. 关键步骤： (1) 第一步：明确指出哪两个点是对应点，哪两条线段是对应线段（书写推理的依据）。 (2) 第二步：根据平移性质列出等量关系式。 (3) 第三步：代入已知数据进行计算。 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，画出相应的图形，并直接写出点的坐标________． (2)在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使（表示三角形的面积）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点在轴上，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)存在点，使，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与平移变换-平移，三角形的面积，一次函数与几何图形综合题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或函数解决问题． （1）首先根据，点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）设点， 则，进而表示出， 再计算出，根据列式，解方程即可得解； （3）由于点在轴上，故设，根据，点的坐标找到点的平移方式，得到， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，令，得到点的坐标，最后根据列式，解方程即可得解． 【详解】（1）解：画出对应的图形如下： 点平移后的对应点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， 点平移后的对应点为，即． 故答案为：． （2）解：设点， 则， ， ，， ，即， 或， 或， 存在点，使，点的坐标为或． （3）解：点在轴上， 设， 点的对应点为，点的坐标为， 线段向左平移个单位，再向上或向下平移个单位， ， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点， 将点和点代入得： ，解得， ， 令，则， ， ， 令，则有：或， 解得或， 或， 点的坐标为或． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ①_，_； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为_，点的坐标为_； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 【答案】（1）；（2）①，；②点的坐标；（3）①，；②或，过程见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键； （1）设的长为，根据题意得，，进而列出方程，解方程，即可求解． （2）①根据算术平方根与偶次幂的非负性求得； ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为，设，根据，建立方程，解方程即可求解； （3）①待定系数法求得直线解析式为，即可得出，根据平移的性质得出； ②分两种情况：点在点的左边和左边，分别根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）设的长为，根据题意得， ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴，则， 故答案为：，． ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为， ∴ ∵， ∴ 设 根据题意得： 解得： ∴ （3）①设直线解析式为，代入， 解得： ∴直线解析式为 当时， ∴ ∵将线段沿轴向右平移个单位得到线段，的对应点为， ∴ 故答案为：，． ②分两种情况： 第一种情况：如图所示，点在点的左边 过点作， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， 第二种情况：如图所示，点在点的右边 过点 作， ，， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、 ， ． ，，之间满足的数量关系为或． 4．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；； （2）①连接，，过点作轴于点D，表示出，然后根据得到，求出； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q，由平移性质可知，，得到，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴； （2）①连接，，过点作轴于点D 设 由平移性质可知，， ∴点到的距离点到的距离 ∴ ∵且 ∴，解得 ∴； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q， 由平移性质可知， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形面积公式，算术平方根的非负性，掌握平移的性质、三角形面积公式是解题的关键． 5．（23-24七年级下·福建龙岩·月考）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 6．（23-24八年级上·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”． (1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为_； (2)如图2，在中，，，． ①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是_． ②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，不等式组的求解，求一次函数的解析式等，解题的关键是用转化的思想借助参数构建不等式组． （1）根据“关联点”的定义可知点，Q关于原点对称，由此即可解决问题． （2）①作出关于对称的，由题意可得当线段向右平移时，与的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可． ②分别求出直线与州的交点和点关于点的对称点的坐标，根据题意即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为， ∴， ∵点是点关于原点的关联点， 即点，点关于原点对称， ∴， 故答案为：． （2）解：①如图中，作关于对称的， 当线段向右平移时，与的边有两个交点，即满足条件， 观察图象可知当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， 当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， ∴当时，平移后的线段上存在两个关于点的“关联点”， 故答案为：． ②设直线所在的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线所在的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即直线与轴的交点为； 则点关于点的对称点坐标为， 点关于点的对称点坐标为， ∵线段上存在关于点的关联点， 即点在线段上或点在线段上， 可得或， 解得：或． 题型03 平移在面积问题与等积变形中的综合 这是平移思想在几何中的经典应用，通常给出一个不规则图形或分散的线段，要求计算面积或证明面积相等。此考向极具技巧性，是拉开分差的重磅题型。 解题方法：“化曲为直”与“等积转化” 1. 核心思想： (1) 将分散的线段集中（常用于求面积时的底和高）。 (2) 将不规则图形转化为规则图形。 2. 通用思路与技巧： (1) 求不规则阴影面积：观察阴影部分能否通过“平移”补全成一个规则的长方形或三角形。例如，某些曲折的边缘，平移后会变成直线的边。 (2) 证明面积相等（等积变换）：如果要将一个三角形的面积进行转移，可以尝试将该三角形的一条边（作为底边）平行移动，因为“等底同高的三角形面积相等”。 3. 关键步骤： (1) 第一步：分析题目给出的图形特征，识别出哪些部分可以通过平移进行重组。 (2) 第二步：实施平移操作（在脑海或草稿纸上），构造出便于计算面积的规则图形。 (3) 第三步：利用新构造图形的面积公式列出算式并求解。 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B在x轴正半轴上，且点A在点B的左边，将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． (1)若点，，．则点D坐标为__________，__________； (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作垂直y轴于点N，连接，，．若点，，，，的面积为，点D到直线的距离为2．问：是否存在m，使得面积是面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，． 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系，三角形面积公式． （1）求出点A的平移规律，点B用相同的平移规律即可得到点D的坐标，根据两点间的距离公式即可得到； （2）先根据平移规律求出，，根据点D到直线的距离为2，得到点M，N的纵坐标为，，根据的面积为求出，做出图形，根据等底三角形面积比等于高的比计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A向右平移了1个单位，向上平移了2个单位； ∴点B的对应点为点， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵点A在x轴正半轴上，， ∴， ∵将线段进行平移得到线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点，，，， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∵点D到直线的距离为2， ∴点M，N的纵坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即且轴， 如图， ∵面积是面积的2倍， ∴点到的距离是点到的距离的2倍， ∴ 解得：，符合， ∴． 5．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）初二的墨墨同学学习了平面直角坐标系后，经常会遇到在平面直角坐标系中求面积的问题，她在做第二周晚课卷子时发现一个规律：不用画图，直接用公式求面积的方法﹐得到了老师的肯定．同学们戏称为“墨墨定理”：已知平面直角坐标中不在同一条直线上的三个点，分别为、、，则这三个点所围成的三角形的面积为：．为了正确的记忆并使用这个公式，她把过程分为三步： 第一步：把点、、按顺序排列，每次取一横坐标与下一个纵坐标顺序相乘，计算、、； 第二步：把点、、按顺序排列，每次取一横坐标与下一个纵坐标顺序相乘，计算、、； 第三步：计算． 墨墨又遇到了一个新问题，请同学们和她一起解答：在平面直角坐标系中三角形的三个顶点分别是、、，将这个三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，且m，n是方程组的解． (1)请求出方程组的解并写出点的坐标； (2)请直接写出点和的坐标； (3)在x轴上是否存在一点K，使（数学意义：三角形的面积等于三角形的面积）？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)；； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了平移综合题，坐标与图形的变化以及题意中的“墨墨定理” 公式，解题的关键是理解题意，熟练掌握“墨墨定理” 公式． （1）求出方程组的解即可得的坐标； （2）由题意可知平移规律为：横坐标减，纵坐标减，即可得解； （3）存在，设，先求的值，再求出，由，进而得出的值，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得，， 把代入可得， 方程组的解为 点的坐标为， 即； （2）解：由平移到，可知平移规律为：横坐标减，纵坐标减， 平移后横坐标：，纵坐标：， 即， 平移后横坐标：，纵坐标：， 即， 故答案为：；； （3）解：存在， 设， 先求：将、、，代入 “墨墨定理” 公式： ， 再求：将、、，代入公式： ， ， ， ， ， 或， 轴上存在点，点的坐标为或． 题型04 平移与全等三角形的判定综合（压轴必考） 作为本专题的“压轴大戏”，这类证明题通常给出一个四边形或三角形，要求通过平移构造新的图形，进而证明线段相等、平行。难度较大，考查逻辑推理能力。 解题方法：构造辅助线的“平移大法” 1. 核心技巧（构造平行四边形）： (1) 遇中点，移对角线：如果题目中有中线或线段中点，常将三角形的一边平移，使得中点成为平行四边形的对角线交点，从而构造出全等三角形。 (2) 遇平行，移线段：如果已知一组对边平行，可以通过平移另一条边来构造平行四边形。 2. 通用思路（答题模板）： (1) 目标导向：看清要证明的结论，这符合平行四边形的判定定理，提示我们需要通过平移来构造平行四边形。 (2) 无中生有（作辅助线）：过关键点作已知线段的平行线，截取等长线段，连接相关点，创造出新的三角形或四边形。 (3) 推导演绎：利用“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等定理证明新构造的四边形是平行四边形，进而得出对应边、对应角的关系，完成原题的证明。 3. 关键步骤： (1) 第一步：仔细阅读原题，标记出所有已知的等量关系。 (2) 第二步：确定平移对象和方向。 (3) 第三步：写出严格的证明过程，每一步都要有坚实的依据。 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，首先由平移的性质知，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】由平移的性质知， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以的面积为． 故选A． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌握了两种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形，若两条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等．请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题： 如图（1），中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F； (1)求证：； (2)将图（1）中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、图形的平移等知识． （1）利用余角和对顶角的性质得到，即可证明结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可证明猜想成立． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵于D， ∴， ∴ ∴； （2）猜想：． 证明：如图， ∵， ∴． ∵于D， ∴， ∴，即． 由平移的性质可知：， ∵平分， ∴， ∴即 在与中， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)或或 【分析】本题主要考查了平移作图，求图形的面积，全等三角形的判定定理，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据平移的性质确定出点对应点的位置，然后顺次连线即可； （2）根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据三角形全等的条件，并结合网格特点进行分析即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． （2）解：由图得，的面积为． （3）解：根据与全等（点与点不重合），作图如下： 由图知，点的坐标为或或． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； （2）解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． (2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 【答案】(1)画图见解析   作法见解析 (2) 【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置； （2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长． 【详解】（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①）， ②连接，与交于点， ③过点作于点， ④连接，． 天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①． （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②． 由（1）得，，， 连接， ， 在和中 ， ， ． 在中，，， ， 则， ． 故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为． 【点睛】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键． 6．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点：A，B，C均为格点：请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，作（D在下方），且； (2)在图1中，作的中点O，在线段上作点P，使得； (3)在图2中，在线段上作点Q，使得． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题考查了格点作图，涉及平移的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据题意利用平移的性质可画出，观察网格，点A先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点C，将点B用同样的平移方式得到点D，连接即可； （2）连接交于点O，由（1）的作图，易证得，则点O为的中点，取格点E，连接，交于点P，则为等腰三角形，由三线合一可知，结合对顶角相等，即可得； （3）构造等腰直角三角形，交于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 由格点可知，点A到点C为从下数3格，再向右数1格， 同理，将点B从下数3格，再向右数1格得点D，连接即可得到且． （2）解：如图，，即为所求： 连接，与交点O， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点O为中点， 由格点图可知，是等腰三角形， ∴是的中垂线， 根据等腰三角形三线合一的定理可得：， ∵， ∴． （3）解：如图，即为所求： 取格点S，使得，连接， 由格点图特征可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接交于点Q，． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平移与几何变换综合 题型01平移与平面直角坐标系的综合 题型02平移与线段、角度的计算综合 平移与几何变换综合 题型03平移在面积问题与等积变形中的综合 题型04平移与全等三角形的判定综合 00 德点型破 题型01平移与平面直角坐标系的综合 嫦方法 这种题型通常将平移放置在直角坐标系中，考查平移前后点或图形坐标的变化规律，常与三角形四边 形面积、动点问题相结合，是填空和选择题的高频考点。 解题方法：坐标平移“加减法”与“割补法” 1. 坐标变换法则（核心公式）： (1)点(c,y)平移：左右移改变x(右加左减)，上下移改变y(上加下减)。 (2)图形平移：图形上所有点发生同样的平移。若要求平移后图形上某点的坐标，只需对原坐标套用 上述法则。 2. 面积计算技巧（通用思路）： (I)当平移后与平移前的图形产生重叠或围成新图形时，求面积首选“割补法”。 (②)巧妙利用平移的性质：阴影部分面积往往等于某个规则图形（如三角形、长方形）的面积，或者 通过“整体减去空白”来求解。 3.关键步骤： (1)第一步：根据已知点的平移前后坐标，准确求出平移的向量（即向右/左几个单位，向上下几个单 位)。 (2)第二步：将平移向量应用到未知点坐标上。 (3)第三步：若求面积，画出准确的草图，标出各关键点坐标，利用底乘高或割补法计算。 1.(25-26七年级上·云南丽江·期中)已知坐标平面内有点P(2,4),如果将坐标系向左平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度，那么P点在新坐标系中的坐标为() 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.(0, B.(4,7) C.(4, D.(0,7 2.(25-26八年级上江苏扬州·期中)点A在平面直角坐标系x0y中的坐标为4,3)，将坐标系x0y中的x轴 向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系xOy,在新坐标系x'Oy'中， 点A的坐标为() A.(4,3 B.（7,0 C.(1,5 D.（7, 3.(25-26七年级上·全国·课后作业)已知ABC的顶点在坐标系中的坐标分别为： A-5,1,B(0,4,C(0,-6). (1)将ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得△A,B,C.请在坐标系中画出△AB,C,并写出 点4，B,C的坐标分别为： (2)若AC,A,B,与y轴分别交于D,E两点，则DE= 4.(24-25七年级下·内蒙古呼和浩特期中)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是 A-3,2）,B(0,4),C(-1,0). 5 3 2 -5-4-3-2-1912345x 5 (1)在坐标系中画出三角形ABC并写出三角形ABC的面积为 (2)点P(a-4,b+2)是三角形ABC内任意一点，将三角形ABC平移至三角形A,B,C,的位置，点A、B、 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C、P的对应点分别是A、B、C、P.若点P的坐标为(a,b),在坐标系中画出三角形AB,C· 5.(24-25七年级下·北京·期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC各个顶点均在坐标系的格点上， P(a,b)是ABC的边AC上一点，ABC经平移后点P的对应点为P(a+5,b+2), (I)请画出上述平移后的△A'B'C',并直接写出点A、C的坐标及以A、C、!、C为顶点的四边形的面 积. (2)在(1)的条件下，D为坐标系中的一点，且满足BD∥AC'.BD=AC',直接写出点D的坐标. 6.(25-26八年级上江西赣州·期中)综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面 的问题：如图1，在平面直角坐标系中，A(0,2),B(4,3),在x轴上找一点C,使得AC+BC的值最小. 你能求出点C的坐标吗？ 【方法探究】 (1)小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点A,连接A'B交x轴于点C,则此 时AC+BC的值最小；然后连接OB,利用S.4oB=S。Aroc+Soc,列方程求出点C的坐标.请按小明的 方法完成画图，并求出点C的坐标； 【类比推广】 (2)小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面 直角坐标系中，A0,2),B(5,-3),直线m经过点D(0,-1),且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找 点M,N,使得MN⊥x轴，且AM+BN的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点 M,N的坐标； 【拓展创新】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，A(0,6,B(6,0),点C线段OA上，且OC=2,OD⊥BC交AB 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 于点D,求点D的坐标. B D m 图1 图2 图3 题型02平移与线段、角度的计算综合 妹方法 这类题目脱离坐标系，直接在几何图形（如三角形、长方形）中考查平移的基本性质。常以选择题或 简单解答题的形式出现，重点检验对“对应关系”的把控。 解题方法：锁定“对应元素”的等价替换 1. 核心性质（万能钥匙)： (①)对应点所连的线段：平行（或共线）且相等。 (2)对应线段：平行（或共线）且相等；对应角：相等。 2.通用思路： (1)求线段长周长：观察所求线段是否为原图形的“对应线段”（直接相等），或者是否处于由对应点 连线构成的平行四边形三角形中（利用平行四边形对边相等或三角形三边关系求解）。 (②)求角度：寻找所求角所在的三角形或多边形，利用“对应角相等”将已知角的度数转移到目标位置， 再结合三角形内角和、外角性质或平行线性质求出结果。 3.关键步骤： (1)第一步：明确指出哪两个点是对应点，哪两条线段是对应线段（书写推理的依据）。 (②)第二步：根据平移性质列出等量关系式。 (3)第三步：代入已知数据进行计算。 1.(2025七年级下·全国.专题练习)如图，直线l∥12，线段AB的端点A在Z上，端点B在上 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M B B B ED 图1 图2 (I)如图1，平行移动线段AB到CD,点M在线段CD上，连接AM,BM.如果△AMC的面积为 S,△BMD的面积为S2,△AMB的面积为S,写出S,S2,S,的数量关系式，并给出推理过程， (2)如图2，平行移动线段AB到CD,直线CE交线段BD于点E,点N在直线上点D的右侧；连接AE ;把△CDE沿着直线CE翻折，点D的对应点F恰好落在线段AE上；线段AB与直线马的夹角为a. ①若a=60°，∠ACF=10°，求∠DCE的度数. ②探究：如果∠CAE=∠CED,那么是否存在a,使得直线CF⊥AE,同时CE,CF把LACD三等分？ 如果存在，请求出α的值；如果不存在，请说明理由. 2.(24-25七年级下·湖北襄阳期中)在直角坐标系中，己知线段AB,点A的坐标为1，-2)，点B的坐标为 (3,0),如图1所示. 图1 备用图 (I)平移线段AB到线段CD,使点A的对应点为D,点B的对应点为C,若点D的坐标为-3,0)，画出 相应的图形，并直接写出点C的坐标 ②在的条件下，在程上龙否存在一点P,使-背(5m衣示三角形CD的面积？若行 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)平移线段AB到线段CD,使点A的对应点为D,点B的对应点为C,若点C在y轴上，连接BC, BD,若S△cD=I0,求点D的坐标. 3.(24-25八年级下·山东滨州·期末)【问题背景】(1)如图1，在直角三角形ABC中：AC=10V3,BC=5 ,AC⊥BC,垂足为C,要在距离A点的点E处做一条垂直于AC的垂线DE,垂足为E,交AB于点 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D,B=6、5,试求DE的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积=(a+)h,其中 2 a=上底，b=下底，h=高) 【触类旁通】(2)如图2，点A(-2,a),B(b,4),线段AB与x轴交于点C,且满足Va-2+(b+5)=0 ①a=_,b=_； ②求此时点C的坐标： 【实践探究】(3)如图3，在(2)的基础上将直线BA与y轴交于点D,将线段DC沿x轴向右平移6个 单位得到线段EF,点P为射线DE上一动点. ①点D的坐标为，点F的坐标为； ②点G是线段EF上一点（不与点E、F重合），当点P在射线DE上运动时（点P不与点E重合），连 接PG,请用等式表示∠EPG,∠PGF,∠DCF之间满足的数量关系，并写出求解过程. 12 图1 图2 图3 4.(24-25七年级下.福建莆田·期中)如图1，已知平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b),a、b满足 Va+2+(4-b)2=0. B B 图1 图2 (1)求AOB的面积： (2)将线段AB经过水平、竖直方向平移后得到线段AB,直线A'B交x轴于点C,A'(5,2). ①求点C的坐标； / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②如图2，线段AB上一点P(m,n,求：m、n之间的数量关系. 5.(23-24七年级下·福建龙岩·月考)在平面直角坐标系中，点A(m,n)满足Vm-4+n-2=0. VA 0 图1 图2 (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段OA沿y轴向下平移a个单位后得到线段BC(点O与点B对应)，过点C作CD⊥y轴 于点D.若4OD=3BD,求a的值； (3)如图2，点E(0,5)在y轴上，连接AE,将线段OA沿y轴向上平移3个单位后得到线段FG(点O与点 F对应)，FG交AE于点P.y轴上是否存在点Q,使S△阳=6？若存在，请求点Q的坐标；若不存在， 请说明理由. 6.（23-24八年级上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系x0y中，对于点P与图形W,若点Q为图形W上任 意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q,且线段PQ中点为M(m,0),则称点P是图形 W关于点M(m,0的“关联点”. 4 3 2 2 1 B 4-3-2-1234衣4-3234 1 -3 -3 -4 -4 图1 图2 (1)如图1，若点P是点Q0,V5关于原点的关联点，则点P的坐标为； (2)如图2，在ABC中，A2,2),B-2,0),C(0,-2). ①将线段A0向右平移d(d>0)个单位长度，若平移后的线段上存在两个ABC关于点(2,0)的关联 点，则d的取值范围是_· / 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知点S(n+2,0)和点T(n+4,0),若线段ST上存在ABC关于点N(n,0)的关联点，求n的取值范围. 题型03平移在面积问题与等积变形中的综合 啸方法 这是平移思想在几何中的经典应用，通常给出一个不规则图形或分散的线段，要求计算面积或证明面 积相等。此考向极具技巧性，是拉开分差的重磅题型。 解题方法：“化曲为直”与“等积转化” 1. 核心思想： (1)将分散的线段集中（常用于求面积时的底和高）。 (2)将不规则图形转化为规则图形。 2.通用思路与技巧： (1)求不规则阴影面积：观察阴影部分能否通过“平移”补全成一个规则的长方形或三角形。例如， 某些曲折的边缘，平移后会变成直线的边。 (2)证明面积相等（等积变换）：如果要将一个三角形的面积进行转移，可以尝试将该三角形的一条边 (作为底边)平行移动，因为“等底同高的三角形面积相等”。 3. 关键步骤： (1)第一步：分析题目给出的图形特征，识别出哪些部分可以通过平移进行重组。 (2)第二步：实施平移操作（在脑海或草稿纸上），构造出便于计算面积的规则图形。 (3)第三步：利用新构造图形的面积公式列出算式并求解。 1.(25-26八年级上·黑龙江大庆期中)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A-4,2),B(4,0), 将线段OA平移后得到线段CD,点C在y轴上，连接BD、AD,AD交y轴于点M,AD∥x轴. M (I)直接写出点C、点D的坐标； (2)点N为线段AM上一点，点N的横坐标为t,连接ON、NC,用含t的式子表示三角形CON的面积（不 要求写出t取值范围)： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，线段CD与线段EF重合（点C与点E重合，点D与点F重合），将线段EF沿y轴 向下平移，连接AE、DE、BE、BF、BD,当ADE的面积比△BEF的面积大2时，DF=MN,求 点N的坐标.（直接写出答案，无需解题过程） 2.(24-25七年级下·重庆渝中·期末)如图，在平面直角坐标系中，将点A-2,5),点B(-2,0)沿水平方向向 右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C.顺次连接A,B,C,D得 到四边形ABCD. D B (I)直接写出点C和点D的坐标： (2)若将四边形ABCD沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形4BCD,图中阴影部分的面积是72 1 求CD与x轴的交点E的坐标： (3)在(2)的条件下，若点P(-2,)是坐标系内一动点，连接PO,PE,当三角形POE的面积是四边 形ABCD的面积的二时，求点P的坐标. 3.(24-25七年级下·山东济宁期中)在平面直角坐标系中，己知点A(a,0),B(0,b),C(0,-4),且a和b满足 (a+4)2+√2-b=0.将线段AB平移，使得点A、B分别与点C、D重合. D (I)请直接写出点A、B、D的坐标：A,B,D; (2)如图，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点P,当点P在直线CD上时， ①求t的值， ②若三角形COP'的面积是三角形DOP'的面积的2倍，求点P的坐标. / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下福建厦门期中)在平面直角坐标系中，点A,B在x轴正半轴上，且点A在点B的左 边，将线段AB进行平移得到线段CD,点A的对应点为点C,点B的对应点为点D (1)若点A2,0),B(5,0),C3,2).则点D坐标为 CD= (2)点M是第四象限上的一个动点，过点M作MN垂直y轴于点N,连接DN,DM,AM.若点 4m,0),B6,0),Cm+3,2bD(3a-m,m,aDMN的面积为a+2,点D到直线MN的距离为2.问： 是否存在m,使得△ACM面积是△BCM面积的2倍？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 5.(23-24七年级下·重庆江津期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(-3,0)，点B的坐标是(0,4) ,将线段AB向右平移得到线段CD,点D的坐标为(5,4)，过点D作DE⊥x轴，垂足为E,动点P以 每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒， (I)点C的坐标是，当点P出发5秒时，则点P的坐标是 (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标： (③)当点P在线段AE上运动时，是否存在点P使得三角形BCP的面积是四边形ABDC面积的：，若存在， 求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由 6.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考)初二的墨墨同学学习了平面直角坐标系后，经常会遇到在平面直 角坐标系中求面积的问题，她在做第二周晚课卷子时发现一个规律：不用画图，直接用公式求面积的方 法，得到了老师的肯定.同学们戏称为“墨墨定理”：己知平面直角坐标中不在同一条直线上的三个点， 分别为Ax,)、B(x2,y2)、C(x3,,则这三个点所围成的三角形的面积为： 5c+y+一--小，为了正确的记忆并使用这个公式，她把过程分为三步： 第一步：把点A(x,)、B(x2,y2)、C(x,少)按顺序排列，每次取一横坐标与下一个纵坐标顺序相乘， 计算xy2、x2y3、xy; 第二步：把点C(x3)、B(x2,y2)、Ax,y,)按顺序排列，每次取一横坐标与下一个纵坐标顺序相乘， 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 计算x3y2、x2》、xy3; 第三步计算++-州 墨墨又遇到了一个新问题，请同学们和她一起解答：在平面直角坐标系中三角形ABC的三个顶点分别是 A4,3)、B(3,1、C(1,2),将这个三角形平移之后得到三角形AB,C,且点C的坐标为m,n,且m, 2m-n=-4 n是方程组 的解。 m+n=-2 4 3 31 2 C< 2 1 B -2-10123 45 -2-1012345x -1 -1 -2 备用图1 备用图2 (1)请求出方程组的解并写出点C的坐标； (2)请直接写出点A ---）和B（-’-的坐标： (3)在x轴上是否存在一点K,使S△BCK=S。4BC(数学意义：三角形BCK的面积等于三角形ABC的面积)？ 若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由. 题型04平移与全等三角形的判定综合（压轴必考) 妹方法 作为本专题的“压轴大戏”，这类证明题通常给出一个四边形或三角形，要求通过平移构造新的图形， 进而证明线段相等、平行。难度较大，考查逻辑推理能力。 解题方法：构造辅助线的“平移大法” 1. 核心技巧（构造平行四边形）： (1)遇中点，移对角线：如果题目中有中线或线段中点，常将三角形的一边平移，使得中点成为平行 四边形的对角线交点，从而构造出全等三角形。 (2)遇平行，移线段：如果已知一组对边平行，可以通过平移另一条边来构造平行四边形。 2. 通用思路（答题模板）： (①)目标导向：看清要证明的结论，这符合平行四边形的判定定理，提示我们需要通过平移来构造平 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行四边形。 (2)无中生有（作辅助线）：过关键点作已知线段的平行线，截取等长线段，连接相关点，创造出新的 三角形或四边形。 (3)推导演绎：利用“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等定理证明新构造的四边形是平 行四边形，进而得出对应边、对应角的关系，完成原题的证明。 3. 关键步骤： (1)第一步：仔细阅读原题，标记出所有已知的等量关系。 (2)第二步：确定平移对象和方向。 (3)第三步：写出严格的证明过程，每一步都要有坚实的依据。 1.(25-26八年级上·全国随堂练习)如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B到C的方向平移到aDEF的位置，AB=10,D0=4,BF=21,平移距离为6，则△OEC的面积为() B A.27 B.40 C.42 D.48 2.(24-25八年级上·河南南阳·期中)同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌握了 两种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形， 若两条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等.请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题： 如图(1)，Rt△ABC中，LACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于 点F; B D DA D 图(1) 图(2) (I)求证：CE=CF; (2)将图(1)中的ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图 (2)所示.试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论. 3.(25-26八年级上·全国·寒假作业)如图，在平面直角坐标系中，把ABC向上平移3个单位长度，再向 右平移5个单位长度，得到aA'B'C'. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 4 3 -1 5-4-3y-2-10 234 567x B -1 2 3 5 (1)在平面直角坐标系中画出△A'B'C'; (2)求aA'B'C'的面积； (3)若ABC与△PBC全等（点P与点A不重合），直接写出点P的全部坐标. 4.(24-25八年级上·陕西渭南期末)如图1，ABC与△DBC全等，且∠ACB=∠DBC=90°，BC=8, AC=3.如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△DB,C,连接AC,BD,. B B Q D D 图1 图2 (I)求证：BD,=AC,且BD∥AC1: (2)试说明△DBC沿射线BC方向平移的距离等于多少时，点A与点D之间的距离最小. 5.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图①，A,B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线L,L2是 街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15 L 20 10 L B B 60 图① 图② (1)天桥应建在何处才能使由单位A经过天桥走到单位B的路程最短？在图②中作出此时桥PQ的位置， 简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直） (2)根据图①中提供的数据计算由单位A经过天桥走到单位B的最短路线的长（单位：m). 6.(2026七年级上·江苏南京·专题练习)如图，在7×8网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们 把每个小正方形的顶点称为格点：A,B,C均为格点：请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程 用虚线表示，画图结果用实线表示 B 图1 图2 (I)在图1中，作CD∥AB(D在BC下方)，且CD=AB; (2)在图1中，作BC的中点O,在线段AB上作点P,使得∠BOP=∠AOC: (3)在图2中，在线段BC上作点Q,使得∠BAQ=45°.